数学文卷·2018届湖南省长郡中学高三月考试题（五）（2018

数学文卷·2018届湖南省长郡中学高三月考试题（五）（2018

长郡中学2018届高三月考试卷（五）‎ 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．每题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．）‎ ‎1．已知为实数集，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若的平均数为3，标准差为4，且，，则新数据的平均数和标准差分别为（ ）‎ A．-9 12 B．-9 36 C．3 36 D．-3 12‎ ‎3．已知直角梯形中，，，，，，点在梯形内，那么为钝角的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数（ ）‎ A．1 B．-1 C．2 D．-2‎ ‎5．已知圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径的范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．5‎ ‎7．变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．函数的大致图象是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A． B． C． 0 D．‎ ‎11．在中，角的对边分别为，且，则角的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设点，，点在双曲线上，则使的面积为3的点的个数为（ ）‎ A．4 B．3 C． 2 D．1‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）‎ ‎13．已知，，则与的夹角的余弦值为 ．‎ ‎14．是长、宽、高分别为12，3，4的长方体外接球表面上一动点，则到长方体各个面所在平面的距离的最大值是 ．‎ ‎15．设函数的定义域为，如果，，使（为常数）成立，则称函数在上的均值为．给出下列四个函数：①；②；③；④．则其中满足在其定义域上均值为2的函数是 ．‎ ‎16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ．‎ 三、解答题 （共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知函数的图象过点，且点在函数的图象上．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，若数列的前项和为，求证：．‎ ‎18．如图，已知是直角梯形，，，，，平面．‎ ‎（Ⅰ）上是否存在点使平面，若存在，指出的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）证明：；‎ ‎（Ⅲ）若，求点到平面的距离．‎ ‎19．博鳌亚洲论坛2015年会员大会于3月27日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．‎ ‎（Ⅰ）试求受奖励的分数线；‎ ‎（Ⅱ）从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上（含90分）的概率．‎ ‎20．已知为坐标原点，，是椭圆上的点，且，设动点满足．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，求三角形面积的最大值．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若为的极值点，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若在单调递增，求的取值范围．‎ ‎（Ⅲ）当时，方程有实数根，求的最大值．‎ 请考生在（22）～（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆，圆．‎ ‎（Ⅰ）在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标（用极坐标表示）；‎ ‎（Ⅱ）求出与的公共弦的参数方程．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数，‎ ‎（Ⅰ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若关于的一次二次方程有实根，求实数的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:ADABA 6-10:BDBDA 11、12：AA 二、填空题 ‎13． 14． 15． ③ 16．‎ 三、解答题 ‎17．【解析】（Ⅰ）∵函数的图象过点，‎ ‎∴，．‎ 又点在函数的图象上，‎ 从而，‎ 即．‎ ‎（Ⅱ）证明：由，，得，‎ ‎，‎ 则，‎ 两式相减得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴．‎ ‎18．【解析】证明：当为中点时满足题意 ‎（Ⅰ）取的中点为，连结．‎ ‎∵，，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ 即．‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎∵分别是的中点，∴，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎∵，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（Ⅱ）由已知易得，．‎ ‎∵，‎ ‎∴，即．‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴平面 ‎∵平面，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅲ）由已知得，所以．‎ 又，则，由得，‎ ‎∵，‎ ‎∴到平面的距离为．‎ ‎19．【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图知，竞赛成绩在分的人数为，竞赛成绩在的人数为，故受奖励分数线在之间，设受奖励分数线为，则，解得，故受奖励分数线为86．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，受奖励的20人中，分数在的人数为8，分数在的人数为12，利用分层抽样，可知分数在的抽取2人，分数在的抽取3人，设分数在的2人分别为，分数在的3人分别为，所有的可能情况有，，，，，，，，，，满足条件的情况有，，，所求的概率为．‎ ‎20．【解析】（Ⅰ）设点，，，‎ 则由，得，‎ 即，，因为点在椭圆上，‎ 所以，，‎ 故 ‎，‎ 因为，‎ 所以动点的轨迹的方程为．‎ ‎（Ⅱ）将曲线与直线联立：，消得：，‎ ‎∵直线与曲线交于两点，设，，‎ ‎∴，又∵，得，‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ ‎∵点到直线的距离，‎ ‎∴‎ ‎，当时等号成立，满足（）‎ ‎∴三角形面积的最大值为．‎ ‎21．【解析】（Ⅰ），求导，，‎ 由为的极值点，则，即，解得：，‎ 当时，，‎ 从而为函数的极值点，成立，‎ ‎∴的值为0；‎ ‎（Ⅱ）在单调递增，则，‎ 则在区间上恒成立，‎ ‎①当时，在区间上恒成立，‎ ‎∴在区间上单调递增，故符合题意；‎ ‎②当时，由的定义域可知：，‎ 若，则不满足条件在区间上恒成立，‎ 则，‎ 则，对区间上恒成立，‎ 令，其对称轴为，‎ 由，则，‎ 从而在区间上恒成立，‎ 只需要即可，‎ 由，解得：，‎ 由，则，‎ 综上所述，的取值范围为；‎ ‎（Ⅲ）当时，方程，转化成，‎ 即，令，‎ 则在上有解，‎ 令，，‎ 求导，‎ 当时，，故在上单调递增；‎ 当时，，故在上单调递减；‎ 在上的最大值为，‎ 此时，，‎ 当时，方程有实数根，则的最大值为0．‎ ‎22．【解析】（Ⅰ）由，，‎ 得圆的极坐标方程为，‎ 圆，即的极坐标方程为，‎ 解，得：，，‎ 故圆的交点坐标为，．‎ 注：极坐标系下，点的表示不唯一．‎ ‎（Ⅱ）由，得圆的交点的直角坐标，，‎ 故的公共弦的参数方程为，．‎ ‎23．【解析】（Ⅰ）因为，‎ 所以，即，‎ 所以实数的取值范围为；‎ ‎（Ⅱ），‎ 即，‎ 所以不等式等价于 或或，‎ 所以，或，或，‎