辽宁省六校协作体2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试卷

辽宁省六校协作体2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试卷

‎2019—2020学年度上学期省六校协作体高二期中考试数 学 试 题 一选择题（共10道题，每题4分，共40分。每题4个选项中，只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1.已知＝(2，－3,1)，则下列向量中与平行的是(　　)‎ A．(1,1,1) B．(－4,6，－2) C．(2，－3,-1) D．(－2，－3,1) ‎ ‎2.已知两条直线，则的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 圆的圆心到直线的距离为，则（ ）‎ A. 或-1 B.0 C. D. -1或7‎ ‎4.在平面直角坐标系中，双曲线：的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12，则椭圆C的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.动直线与圆交于点A,B,则弦最短为 A．3 B.6 C． D． ‎ ‎7.设抛物线的焦点为F，准线为，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么（ ）‎ A. B. C. D.4 ‎ ‎8.从椭圆上一点P向轴作垂线，垂足恰为上焦点又点A是椭圆与轴负半轴的交点，点B是椭圆与x轴负半轴的交点，且 ABOP ，，则椭圆方程为（ ）‎ A. B. C D. ‎ ‎9.如图，在边长为2的正方体中，P为平面ABCD内的一动点，于H，若，则点P的轨迹为（ ）‎ ‎ A.椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 ‎10.已知A，B，P是双曲线上不同的三点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，且是关于x的方程的两个实数根，若，则双曲线C的离心率是（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ 二．多选题（共3小题，每题4分，共12分。每题4个选项中，有两个正确选项，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错得0分）‎ ‎11. 已知双曲线的渐近线方程为4x+3y=0,它的焦点是椭圆 的长轴端点，则此双曲线方程为_____离心率为______‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 设椭圆的方程为 ，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A,B两点，M为线段AB的中点。下列结论正确的是( )‎ A.直线AB与OM垂直； ‎ B.若点M 坐标为（1,1），则直线方程为2x+y-3=0；‎ C.若直线方程为y=x+1，则点M坐标为 D.若直线方程为y=x+2，则.‎ ‎13. 以下四个命题中真命题的序号是______．‎ ‎①平面内到两定点距离之比等于常数的点的轨迹是圆；‎ ‎②平面内与定点A（-3，0）和B（3，0）的距离之差等于4的点的轨迹为；‎ ‎③点P是抛物线上的动点，点P在x轴上的射影是M,点A的坐标是，则的最小值是；‎ ‎④已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是 A. ① B. ② C. ③ D. ④‎ 三．填空题（本题共4道小题，每题2空，每空2分，共16分）‎ ‎14.已知向量，，则向量与的夹角为________；若与互相垂直，则的值是________.‎ ‎15．图1是抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽米，建立如下图2所示的直角坐标系，则抛物线的解析式为________;水面下降1米后，水面宽是 _______米. ‎ ‎16.已知点，，若圆上存在点P使，则m的最大值为 ;此时点P的坐标为___________.‎ ‎17. 已知是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于两点且，，则椭圆的离心率为____；若，‎ 则椭圆方程为__________.‎ 四．解答题（共6小题，共82分）‎ ‎18.(本小题12分)（1）求经过点(1,2)且在x轴上截距等于y轴上截距的直线方程；‎ ‎（2）求过直线与的交点，且与直线垂直的直线方程.‎ ‎19. (本小题12分)已知△ABC的三个顶点坐标为，，‎ ‎(1)求△ABC的外接圆的方程；‎ ‎(2) 若圆与圆相交,求两圆的公共弦长.‎ ‎20. (本小题13分)如图所示的五面体中，平面平面, ,,，AB=AD=4．‎ ‎（1）求四棱锥的体积；‎ ‎（2）求证：‎ ‎21．(本小题13分) 已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是y轴，直线与抛物线交于不同的两点、，线段中点的纵坐标为2，且.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）设抛物线的焦点为，若直线经过焦点，求直线的方程.‎ ‎22. (本小题16分)已知椭圆的离心率为，其中一个焦点F在直线上.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线和直线与椭圆分别相交于点、、、，求 的值;‎ ‎（3）若直线与椭圆交于P，Q两点，试求面积的最大值.‎ ‎23.（本题满分16分）已知点为双曲线: 的左、右焦点，过 作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且 ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎(2)若直线与双曲线C恒有两个不同交点P和Q且 （其中O为原点），求k的取值范围;‎ ‎（3）过双曲线上任意一点R作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为M,N，求的值.‎ ‎2019—2020学年度上学期省六校协作体高二期中考试数学答案 一．选择题 ‎1.B. 2.A. 3.D. 4.C. 5.D. 6.C. 7.B. 8.D. 9.C . 10.A.‎ 二．双选题 11.BC. 12.BD. 13.AD 三．填空题 14. , 15. ，‎ ‎16. 36， 17. ， ‎ 四．解答题 ‎18. 解：(1)当直线过原点时，直线方程为2； ……2分 当直线不过原点时，设直线方程为 ……3分 直线经过即 直线方程为 ……4分 综上所述：直线方程为或 ……6分 ‎(2)由得，交点为. ……8分 设所求直线 代入点(2,2)得，C=-2 ……10分 故所求直线方程为 ……12分 ‎19.(1)设圆的方程为把△ABC各个顶点代入得，‎ ‎，解得， ……4分 故所求△ABC的外接圆的方程为 ……6分 ‎（2）设两圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则M,N的坐标满足方程组 两式相减得两圆的公共弦所在直线的方程为 ……8分 圆心到直线的距离 ……10分 则弦长 ……12分 ‎20. （Ⅰ）取AD中点，连接．在中，， 所以.‎ 因为平面平面，平面平面，平面ADE,所以平面． ……4分 又因为，，所以.因为∥，，， .……6分 所以 . ……8分 ‎（Ⅱ）因为∥，平面，平面，所以∥面…10‎ 又因为平面，平面平面，所以∥． …12分 因为平面，平面，所以∥平面． .……13分 ‎21. 解：（1）由题意可设抛物线C的标准方程为： ‎ 设A（x1，y1）、B（x2，y2），则y1+y2 =4 ……3分 ‎∵|AF|+|BF|= y1+y2 + p =6，∴p=2，所以抛物线C的方程为： ……6分 ‎（2）由已知得k一定存在且;故可设直线的方程为：y=kx+ 1， ……8分 则联立直线与抛物线方程，整理可得： ……10分 由韦达定理得，∴=4解得：k=±， ……12分 故所求直线方程为 ……13分 ‎22.（1）椭圆的一个焦点即为直线与轴的交点，所以，‎ 又离心率为则,，所以椭圆方程为； ……4分 ‎（2）设椭圆的另一个焦点为, 由已知得 ‎ ‎ ……8分 ‎（3）联立直线与椭圆方程得,， ……10分 令，得设方程的两根为，‎ 则，， ……12分 由弦长公式得，，点到直线的距离， ……14分 当且仅当， 即或时取等号，而或满足，‎ 所以三角形面积的最大值为1. . …16分 ‎23. （1）由已知得， ……2分 故双曲线的方程为： ……4分 ‎(2)设点P联立方程 ，得 因为 解得，‎ ‎ ……6分 ‎ 因为 所以故 解不等式得 ……8分 综上得， ……10分 ‎（3）由条件可知：两条渐近线分别为 ……11分 设双曲线上的点，设两渐近线的夹角为因为 ……14分，又因为 所以 ‎ ……16分