专题47+数列+数列的通项4（构造法）-2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试

专题47+数列+数列的通项4（构造法）-2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试

‎2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试　‎ ‎ 【考点讲解】‎ 一、 具本目标：‎ 掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础.‎ 二、知识概述：‎ ‎1.数列的通项公式：‎ ‎（1）如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.‎ ‎（2）数列的前项和和通项的关系：.‎ ‎2.求数列的通项公式的注意事项：‎ ‎（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．‎ ‎（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.‎ ‎（3）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. ‎ ‎3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值 得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。‎ ‎3. 已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：‎ ‎(1)先利用求出；‎ ‎(2)用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；‎ ‎(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写． ‎ ‎【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.‎ ‎4. 递推公式推导通项公式方法：‎ ‎（1）叠加法： ‎ 叠加法（或累加法）：已知，求数列通项公式常用叠加法（或累加法）‎ 即.‎ ‎（2）累乘法：已知求数列通项公式用累乘法. ‎ ‎（3）待定系数法：（其中均为常数，）‎ 解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.‎ ‎（4）待定系数法：（其中均为常数，）. （或,其中均为常数）.‎ 解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按 第（3）种情况求解.‎ ‎（5）待定系数法： ‎ 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，‎ 解出,从而转化为是公比为的等比数列.‎ ‎（6）待定系数法： ‎ 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.‎ ‎（7）待定系数法：（其中均为常数）.‎ 解法：先把原递推公式转化为其中满足，再按第（4）种情况求解.‎ （8） 取倒数法： ‎ 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解.‎ ‎（，解法：等式两边同时除以后换元转化为，按第（3）种情况求解.）.‎ ‎（9）取对数 解法：这种类型一般是等式两边取以为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求解.‎ ‎5. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命题．常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等．‎ ‎(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要 求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．‎ ‎(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法．‎ 类型一：取倒数法 已知函数,数列满足 ‎ (Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎ (Ⅱ)记,求.‎ ‎【分析】由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S－S作切入点探索解题的途径．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知得，，‎ ‎∴，即 ‎∴数列是首项,公差的等差数列.‎ ‎∴,‎ 故 ‎ ‎ (Ⅱ) ∵‎ 类型二：‎ 已知数列满足，求数列的通项公式。‎ ‎【分析】通过对递推关系式的整理，目的是构造成特殊数列.‎ 类型三：‎ 数列满足，求数列的通项公式.‎ ‎【解析】由，得 即，且.‎ ‎∴是以2为公比，3为首项的等比数列.∴‎ 利用逐差法可得 ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎∴.‎ 类型四：已知数列满足 ①求数列的通项公式；②求的值.‎ ‎【真题分析】‎ ‎1.【2015全国Ⅱ】设是数列的前n项和，且，，则________．‎ ‎【解析】本题考查的是等差数列和递推关系．由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则 ‎，所以．‎ ‎【答案】‎ 2. ‎【2018优选题】已知数列满足。的前项的和，则等于 .‎ ‎【解析】本题考点是周期函数与数列的递推关系.‎ 由题意可知 由此推得： ‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎【答案】‎ ‎3.【2017届衡水中学押题卷】数列满足， （），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎4.【2017武汉市调研】已知数列满足， ，‎ 若，则数列的通项（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】, , ,‎ 则,数列是首项为2，公比为2的等比数列， ，利用叠 加法， ，‎ ‎，则.选B. ‎ ‎【答案】B ‎5.【2019优选题】已知数列，，且，求数列的通项 ‎6.已知数列中，,，求．‎ ‎【解析】本题考点是二次构造求数列的通项公式.‎ 在两边乘以，得：．‎ 令，则，‎ 由得，，则可求得 ‎，这里的 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ 所以有：，所以．‎ 即.‎ ‎7.【2018优选题】已知数列满足， ．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，求证：对任意的， .‎ ‎【分析】(1)设数列的前项和为表示出两式相减得到关于的表达式,从而求出 (2) 化简之后裂项相消求出 ‎（Ⅱ）因为.‎ 因此有 相加整理可得：.‎ 所以对任意的，都有成立.‎ ‎8.【2019优选题】数列满足，，．‎ （1） 设，证明是等差数列；‎ （2） 求数列的通项公式．‎ ‎【解析】（1）由，得 所以有，设数列， ‎ ‎，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.‎ ‎9.已知在数列中，，，且．‎ ‎（1）设，证明是等比数列；‎ ‎（2）求数列的通项公式.‎ ‎【解析】（1）证明：由，得，‎ 且整理得：，‎ 因为数列 所以，这样就有：，‎ 由，得 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.‎ （2） 解：由（1）得，知数列是 以1为首项，为公比的等比数列，所以有：，‎ 由 得： ‎ 所以：. ‎ ‎10.【2018优秀题】设正数列，，…，，…满足=且，‎ 求数列的和.‎ ‎【模拟考场】‎ ‎1.已知数列满足，则= .‎ ‎【解析】对递推关系取倒数，得.‎ 即，分别用替换，有 ‎，，，…， ‎ 以上个式子相加，得 所以， ‎ ‎【答案】‎ ‎2.数列满足，，写出数列的通项公式__________．‎ ‎【答案】‎ ‎3.数列中, ,则数列的前5项为_______, 猜想它的通项公式是 ‎__________________.‎ ‎【解析】由可得，数列的通项公式为 ‎.‎ 由取倒数或得，所以，即数列是以 为首项公差为1的等差数列，所以，即.‎ ‎4. ‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎5．数列满足=0，求数列{a}的通项公式。‎ 分析：递推式中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列。‎ ‎6.已知数列，，且，求数列的通项 ‎【解析】将原等式的两边同时除以，得，‎ 所以有，新数列是以2为首项，公差为1的等差数列，，即 ‎ ‎7.已知数列满足，，求数列的通项公式。‎ ‎8.设数列的前项和为，‎ ‎（Ⅰ）求（Ⅱ）证明： 是等比数列；（Ⅲ）求的通项公式 ‎【解析】由得 （1）‎ 知 （2）‎ ‎（2）-（1）得 ‎ ‎∴即，‎ 两边同除以，得：，‎ 易知：，‎ 又因为，所以则 故 ‎9.已知数列中，,，求通项.‎ ‎【解析】由，两边同除以即两边同乘以得： ‎ 令，则,解之得：所以. ‎ ‎10.设数列的前项和为，已知 ‎（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求的通项公式 当时，由由（1）‎ 两边同除以，得： ‎ 令，则,‎ 构造数列 令则 由待定系数法可知则 ‎∴‎ ‎∴构成了以为首项，为公比的等比数列。‎ ‎ 从而.‎ 则又 可解得： ‎ 因此.‎ ‎11.数列的前项和为，，　‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的前项和 ‎【解析】（Ⅰ），，　‎ 又，数列是首项为，公比为的等比数列，　‎ 当时，，‎ ‎12.已知：在数列中，，当， ,求：通项公式.‎ ‎【解析】原递推式可化为： ①‎ 比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化为：‎ 则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.‎ ‎∴.‎ 当=-3同理可求得：，所以有： .‎ ‎13.【2019优选题】在数列中，，，．‎ ‎（Ⅰ）证明数列是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和；‎ ‎（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．‎ ‎14.设数列满足（）‎ ‎（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【解析】（1）因为 ①‎ ‎ 当≥2时， ②‎ ①－②得：‎ ‎（2）因为