2019-2020学年山西大学附中高二上学期12月月考试题 数学（理）

2019-2020学年山西大学附中高二上学期12月月考试题 数学（理）

山西大学附中 ‎2019～2020学年高二第一学期12月模块诊断（理）‎ 数 学 试 题 考试时间：120分钟 满分：150分 ‎ 一．选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．直线的方程为，则直线的倾斜角为(　　)‎ A．150° B．120° C．60° D．30° ‎ ‎2．椭圆的长轴长为( )‎ A．4 B．5 C．10 D．8‎ ‎3.直线与平行，则的值为（ ）‎ A．1 B．或0 C． D．0‎ ‎4．两圆，，则两圆公切线条数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5.设满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎6．在等腰三角形中，，点，点在轴的负半轴上，则直线的方程为(　　)‎ A． B. C． D．‎ ‎7.已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的短轴长为4，则的取值范围是（　　）‎ A．（12，+∞） B．（4，12） C．（4，6） D．（6，+∞）‎ ‎8．在同一平面直角坐标系中，‎ 直线和直线有可能是(　　)‎ ‎9．直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是(　　)‎ A.　 B. C． D． ‎ ‎10.已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值为(　　)‎ A．1 B． C． D．‎ ‎11.已知圆：和两点，若圆上有且只有一点，使得,则的值为（ ）‎ A．3 B．5 C．3或5 D．3或7‎ ‎12.设是椭圆：的一个焦点，是椭圆上的点，圆与线段交于两点，若三等分线段，则椭圆的离心率 为( 　)‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题(本题有4个小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13. 直线与直线的交点为，则__ . ‎ ‎14.如图所示，一圆形纸片的圆心为，是圆内一定点（不同于点），是圆周上一动点，把纸片折叠使与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与交于点，则点的轨迹是 ‎ ‎15.在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ‎ ‎16.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系中,设军营所在平面区域为,‎ 河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发,只要到达军营所在区域即回到军营,则将军可以选择最短路程为 ____.‎ 三、解答题（本题有6个小题，共70分，请将推理、计算过程写在答题卡上。‎ ‎17．（10分）在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为.‎ ‎（1）求直线的方程； ‎ ‎（2）求点的坐标.‎ ‎18．（12分）已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）过点作圆的切线，求切线方程.‎ ‎19.(12分)如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎20．（12分）在平面直角坐标系中，点，，直线，圆：.‎ ‎（1）若点在圆外，求实数的取值范围；‎ ‎（2）有一动圆的半径为1，圆心在上，若动圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知四棱锥中，底面为菱形，，平面平面，，点E，F分别为，上的一点，且，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎22．（12分）已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，过作的垂线交于点.求证：与的面积之比为4∶5.‎ 山西大学附中 ‎2019～2020学年高二第一学期12月模块诊断（理）‎ 数学评分细则 考试时间：120分钟 满分：150分 ‎ 一． 选择题（每小题5分，共60分）‎ ACBBD，CABDC，DA 二、填空题(本题有4个小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13. 14.椭圆 15. ‎(x-1)‎‎2‎‎+y‎2‎=2‎ 16.‎ 三、解答题（本题有6个小题，共70分，请将推理、计算过程写在答题卡上。‎ ‎17．（10分）在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为.‎ ‎（1）求直线的方程； （2）求点的坐标.‎ 解：（1）由边上的高所在直线方程为得，‎ 则 …………………………2分 又∵，∴直线的方程为， …………………………4分 即（或） ………………………5分 ‎（2）因为边上的中线过点，则联立直线方程： ……………7分 解得： ………………………9分 即点坐标为 ……………………………10分 ‎18．（12分）已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）过点作圆的切线，求切线方程.‎ 解：（1）设圆心，‎ 则圆心到直线的距离. …………………………1分 因为圆被直线截得的弦长为 ‎∴. …………………………3分 解得或（舍）， …………………………5分 ‎∴圆：. …………………………6分 ‎（2）当切线斜率不存在时，直线方程为：，与圆相切，满足题意；………………8分 当切线斜率存在时，设直线方程为：，即：‎ 则： ………………10分 解得： ………………11分 此时，切线方程为：，即： ‎ 所以，所求切线方程为：或 ………………12分 ‎19.(12分)如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ 解：（1）在三棱柱中，平面，‎ 四边形为矩形．‎ 又，分别为，的中点，‎ ‎ ………………2分 又，‎ ‎， ………………4分 平面． ………………5分 ‎（2）由（1）知，‎ 由平面，‎ 平面． ………………6分 如图建立空间直角坐称系．‎ 由题意得，，，，，‎ ‎，，设平面的法向量为，‎ ‎，，‎ 令，则，，平面的法向量，………………8分 又平面的法向量为， ………………9分 ‎． ………………11分 所以二面角的余弦值为． ………………12分 ‎20．（12分）在平面直角坐标系中，点，，直线，圆：.‎ ‎（1）若点在圆外，求实数的取值范围；‎ ‎（2）有一动圆的半径为1，圆心在上，若动圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．‎ 解：(1) 化为 ………………1分 由， ………………2分 又因为点在圆外，所以： ………………3分 解得： ………………4分 ‎∴ 的取值范围为： ………………5分 ‎（2）∵圆的圆心在直线上,所以,设圆心，…………6分 又半径为1，‎ 则圆的方程为: ， ‎ 又∵， ‎ ‎ ∴点在的中垂线上， ………………7分 的中点得直线: ………………8分 ‎∴点应该既在圆上又在直线上，即:圆和直线有公共点 ………………9分 ‎∴ ， ………………11分 ‎∴ 终上所述, 的取值范围为: ………………12分 ‎21．（12分）已知四棱锥中，底面为菱形，，平面平面，，点E，F分别为，上的一点，且，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值．‎ 解:（1）取边上点，使得，连接．‎ 因为，所以，且．‎ 又，所以，且．‎ 所以，且，‎ 所以四边形为平行四边形，则． ………………4分 又平面，平面，所以平面．………………5分 ‎（2）取中点，由，所以，‎ 又平面平面，交线为，且，‎ 所以平面． ………………6分 以为原点建系，以，，为轴，轴，轴．‎ 所以，，，，‎ 所以，，‎ ‎． ………………7分 设平面的法向量为，‎ 则，‎ 可取， ………………9分 所以 ………………11分 设与平面所成角为，‎ 则． ………………12分 ‎22．（12分）已知椭圆的两个顶点分别为，焦点在轴上，离心率为。‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，过作的垂线交于点.求证：与的面积之比为4∶5.‎ 解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．‎ 由题意得解得c＝.所以b2＝a2－c2＝1.‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. ………………4分 ‎(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)．‎ 由题设知m≠±2，且n≠0.‎ 直线AM的斜率kAM＝，故直线DE的斜率kDE＝－. ………………6分 所以直线DE的方程为y＝－(x－m)．‎ 直线BN的方程为y＝(x－2)． ………………8分 联立解得点E的纵坐标yE＝－.……………10分 由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n. ………………11分 ‎ 又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，S△BDN＝|BD|·|n|. ………………12分 所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5. ‎