数学理卷·2018届安徽省江淮十校高三第三次（4月）联考（2018

数学理卷·2018届安徽省江淮十校高三第三次（4月）联考（2018

江淮十校2018届高三第三次联考 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知，则关于复数的说法，正确的是（ ）‎ A．复数的虚部为 B．‎ C． D．复数所对应的点位于复平面的第四象限 ‎3.已知函数最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎4.下列命题中，真命题是（ ）‎ A．，有 B．‎ C．函数有两个零点 D．，是的充分不必要条件 ‎5.若，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.若双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，当输入的时，输出的结果不大于的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知实数，满足不等式组，若直线把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提出如下问题：“今有刍童，下广两丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈，问积几何？”翻译成现代文是“今有上下底面皆为长方形的草垛，下底（指面积较小的长方形）宽丈，长丈；上底（指面积较大的长方形）宽丈，长丈；高丈.问它的体积是多少？”现将该几何体的三视图给出如图所示，则该几何体的体积为（ ）立方丈.‎ A． B． C． D．‎ ‎10.若直角坐标系内、两点满足：（1）点、都在图象上；（2）点、‎ 关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可看作一个“和谐点对”.已知函数，则的“和谐点对”有（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎11.设函数，，如果在上恒成立，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.用种不同的颜色对正四棱锥的条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.‎ ‎13.已知，，且，则向量与向量的夹角是 ．‎ ‎14.在的展开式中，的系数是 ．‎ ‎15.设为曲线上的动点，为曲线上的动点，则称的最小值为曲线、之间的距离，记作.若：，：，则 ．‎ ‎16.在中，设，分别表示角，所对的边，为边上的高.若，则的最大值是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知数列的前项的和，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项的和.‎ ‎18.四棱锥中，，且平面，，‎ ‎，是棱的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎19.近年电子商务蓬勃发展，年某购平台“双”一天的销售业绩高达亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出次成功交易，并对其评价进行统计，购者对商品的满意率为，对快递的满意率为，其中对商品和快递都满意的交易为次.‎ ‎（1）根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？‎ 对快递满意 对快递不满意 合计 对商品满意 对商品不满意 合计 ‎（2）若将频率视为概率，某人在该购平台上进行的次购物中，设对商品和快递都满意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望.‎ 附：（其中为样本容量）‎ ‎20.已知离心率为的椭圆焦点在轴上，且椭圆个顶点构成的四边形面积为，过点的直线与椭圆相交于不同的两点、.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为椭圆上一点，且（为坐标原点）.求当时，实数 的取值范围.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若在点处的切线与直线垂直，求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）若方程有两个不相等的实数解、，证明：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若射线：平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集是，求正整数的最小值.‎ 江淮十校2018届高三第三次联考 数学（理科）参考答案及解析 一、选择题 ‎1-5: CBADA 6-10: CCBAB 11、12：DC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解析：（1），，所以，‎ 得.‎ ‎（2），所以，‎ 所以.‎ 错位相减得，‎ ‎.‎ 所以.‎ ‎18.解析：（1）取中点，连接、，∵是中点，∴，且.又因为，∴.又∵，∴，∴四边形是平行四边形.∴，又，∴是等边三角形，∴，∵平面，，∴平面，∴，∴平面，∴平面.‎ ‎（2）取中点，则，平面，以为原点建立如图所示的直角坐标系.‎ 各点坐标为，，，，，.‎ 可得，，，；‎ 设平面的法向量，则得，‎ 取，‎ 设平面的法向量，则得，‎ 取，‎ 于是，‎ 注意到二面角是钝角，因此，所求二面角的余弦值就是.‎ ‎19.解析：（1）列联表：‎ 对快递满意 对快递不满意 合计 对商品满意 对商品不满意 合计 ‎，‎ 由于，所以没有的把握认为“购者对商品满意与对快递满意之间有关系”.‎ ‎（2）每次购物时，对商品和快递都满意的概率为，且的取值可以是，，，.‎ ‎；；‎ ‎；.‎ 的分布列为：‎ 所以.‎ 或者：由于，则.‎ ‎20.解析：（1）设椭圆的方程为，由题意可知，得，；‎ 又顶点构成四边形的是菱形，面积，所以，，椭圆方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为或，，，，‎ 当的方程为时，，与题意不符.‎ 当的方程为时，由题设可得、的坐标是方程组的解.‎ 消去得，所以，即，‎ 则，，，‎ 因为，所以，‎ 解得，所以.‎ 因为，即，‎ 所以当时，由，得，，‎ 上述方程无解，所以此时符合条件的直线不存在：‎ 当时，，，‎ 因为点在椭圆上，所以，‎ 化简得，因为，所以，则.‎ 综上，实数的取值范围为.‎ ‎21.解析：（1）的定义域为，，可得，‎ 令得，所以的单调递减区间是和.‎ ‎（2）由，‎ ‎∵，只要证，‎ 只需证，‎ 不妨设，即证，令，‎ 只需证，令，‎ 则在上恒成立；‎ 所以在上单调递增，，即证.‎ ‎22.解析：（1）曲线的直角坐标方程是，化成极坐标方程为；‎ 曲线的直角坐标方程是.‎ ‎（2）曲线是圆，射线过圆心，所以方程是，代入得，‎ 又，所以，因此.‎ ‎23.解析：（1）不等式，解得，所以解集是.‎ ‎（2），注意到是正整数，有，‎ 所以，令，解得，所以正整数的最小值是.‎