2018-2019学年河南省高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年河南省高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年河南省高二上学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设命题，，则为 A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断 ．‎ ‎【详解】‎ 命题是全称命题， 则命题的否定是特称命题，‎ 则，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有全称量词的命题的否定， 比较基础 ．‎ ‎2．已知抛物线的准线方程x，则抛物线的标准方程为（　　　　）‎ A．x2＝2y B．x2＝﹣2y C．y2＝x D．y2＝﹣2x ‎【答案】D ‎【解析】由抛物线的准线方程求得，进一步得到抛物线方程．‎ ‎【详解】‎ 解：抛物线的准线方程，‎ 可知抛物线为焦点在轴上，且开口向左的抛物线，‎ 且，则．‎ 抛物线方程为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的简单性质，考查了抛物线方程的求法，是基础题．‎ ‎3．若等比数列的前项和为，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，代入，可以求出，然后利用等比数列的前项和公式，可以得到，进而可以求出答案。‎ ‎【详解】‎ 设等比数列的公比为，‎ 则，‎ 因为，所以，‎ 故，‎ 则.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的性质及前项和公式，属于基础题。‎ ‎4．函数的图象在处的切线斜率为（ ）‎ A．3 B． C． D．e ‎【答案】B ‎【解析】求出函数的导数，将代入即可求解切线的斜率．‎ ‎【详解】‎ ‎，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数的应用，意在考查求导运算，是基础题．‎ ‎5．在中，，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用余弦定理求得a,再利用正弦定理即得结果.‎ ‎【详解】‎ 由余弦定理：，得，‎ 由正弦定理：.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理和余弦定理公式的应用，属于基础题型.‎ ‎6．若函数f（x）＝ax﹣lnx在[1，2]上单调递增，则a的取值范围是（　　　　）‎ A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C． D．（﹣∞，‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于在内单调递增，即对恒成立，即，由此即可求解．‎ ‎【详解】‎ 解：，因为在内单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，所以；‎ 即 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数求函数的单调性，考查学生的分析能力，计算能力，推理能力，转化能力；属于中档题．‎ ‎7．若，则函数的图象在处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由微积分基本定理求得值，再根据导函数求切线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎，，，，‎ 则切线方程为，即．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查微积分基本定理和由导函数求切线方程，属于基础题.‎ ‎8．“成等差数列”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】，，，成等差数列 ,而 ,但1,3,3,5不成等差数列,所以 ‎“，，，成等差数列”是“”的充分不必要条件,选A.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎9．函数f（x）的最小值为（　　　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的最小值即可．‎ ‎【详解】‎ 解：函数，定义域为 可得，‎ 令，解得；‎ 令，解得；‎ 可知则上是减函数，在上是增函数，‎ 所以：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的导数的应用，同时考查了函数的最值的求法，属于中档题．‎ ‎10．若x＞1，则的最大值为（　　　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】令，换元，将原式转化为的算式，结合基本不等式即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 解：令，则，，‎ 原式，‎ 当且仅当即时等号成立，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式的应用，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎11．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），对任意x∈R，f'（x）＞f（x）恒成立，且f（1）＝1，则不等式ef（x）＞ex的解集为（　 　）‎ A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0]‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先根据ef（x）＞ex，构造函数，对其求导判断单调性即可。‎ ‎【详解】‎ 由题意得：令 因为f'（x）＞f（x），所以，即在R上为增函数，因为ef（x）＞ex 即,所以 故选:A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用构造函数判断函数单调性的问题，解决此类问题的关键是构造出新的函数，属于中等题。‎ ‎12．设双曲线（，）的上顶点为，直线与交于，两点，过，分别作，的垂线交于点，若到点 的距离不超过，则的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由双曲线的对称性可知点在轴上，设，求得，进而根据题设条件得到关于的不等式，得出关于离心率的不等式，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，，且，由双曲线的对称性可知点在轴上，设，则，所以.‎ 所以，所以.‎ 因为，所以，‎ 即，解得，‎ 又，所以，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的离心率的取值范围，其中解答中熟记双曲线的标准及其简单的几何性质，根据题设条件，得出关于 的不等式，即关于离心率的不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。‎ 二、填空题 ‎13．若函数，则_____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据题意，求出函数的导数，将代入导数的解析式，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，‎ 函数，‎ 则，‎ 则；‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．‎ ‎14．若x，y满足约束条件，则的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值，且最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.‎ ‎15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以为坐标原点，为轴，为轴，为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 令，则， ， ， ， ‎ ‎， ，‎ 设异面直线与所成角为，‎ 则．‎ 异面直线与所成角的余弦值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎16．若函数y＝sin2x+cos3x+a﹣1在区间[]上的最小值为0，则a＝_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】化简函数的解析式，利用换元法，结合函数的导数，求解函数的最值然后推出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：函数，‎ 因为．所以， ‎ 令，则，，，‎ 当时，，当时，，‎ 从而，解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知椭圆W：的离心率为e，长轴为AB，短轴为CD．‎ 若W的一个焦点为，，求W的方程；‎ 若，，求W的方程．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) 见解析；‎ ‎【解析】由已知求得c与b的值，再由隐含条件求得a，然后分类写出椭圆方程；‎ 由已知求得a，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b，然后分类写出椭圆方程．‎ ‎【详解】‎ 由已知可得，，，．‎ ‎．‎ 若椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为．‎ 若椭圆焦点在y轴上，则椭圆方程为；‎ 由已知可得，，则，‎ 又，，则．‎ 若椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为．‎ 若椭圆焦点在y轴上，则椭圆方程为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题 ‎18．在中，角所对的边分别为，已知，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的周长．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)由三角函数的恒等变换化简角，再运用正弦定理边角互化得解；‎ ‎(2)由余弦定理反映三角形的三边的关系求解三角形的周长.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，‎ 得，即，‎ 所以，．‎ 因为，所以，故 ．‎ ‎（2）由余弦定理得，‎ 所以．‎ 因为，所以，．‎ 于是．‎ 的周长为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查运用三角形的正弦定理和余弦定理，属于中档题.‎ ‎19．设函数.‎ ‎（1）若，求的极值；‎ ‎（2）若，求的单调区间.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（1）当时，对函数求导，利用导数性质，即可求出极值。（2）当时，对函数求导，利用导数性质求出单调区间即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以 当时，，当，.‎ 所以在处取得极小值，极小值为，无极大值.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 令，得，.‎ 当时，，当时，.‎ 故的单调递增区间为.‎ 的单调递减区间为，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数求函数极值与单调区间的问题，属于中档题。‎ ‎20．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝5S2，a6＝6．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{an•3}的前n项和Tn．‎ ‎【答案】(1) an＝n；(2)．‎ ‎【解析】（1）设等差数列的公差为，首项为，根据已知条件构造方程组求出首项和公差，即可求出通项公式；‎ ‎（2）根据（1）的通项公式，代入利用错位相减法，求出．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设等差数列的公差为，首项为，由，‎ 得，得，，‎ 故；‎ ‎（2）由（1）知 ‎，‎ ‎，‎ 两式作差，得：‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 考查等差数列的性质，错位相减法求数列的和，属于中档题．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）若曲线在点处的切线与轴平行，且，求的值；‎ ‎（2）若，对恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）对求导，，解方程组求出，即可。（2）将代入，利用参变分离可以将问题转化为在 恒成立，求出的最小值，令即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，‎ 由，得，‎ ‎（2）因为，，‎ 等价于，‎ 令，，‎ 当时，，所以在上单调递减，‎ 当时，，所以在上单调递增，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义，函数单调性，函数的最值问题，属于中档题。‎ ‎22．如图，在三棱柱中，，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）先证明平面，故，从而得证；（2）以为原点，建立如图空间直角坐标系，求出平面的法向量为与平面的法向量为，代入公式即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连接，交于点，连接，‎ 由题知，侧面为菱形，所以，‎ 又，，所以平面，‎ 又平面，所以.‎ 因为，所以.‎ ‎（2）解：因为，所以，又，所以.‎ 所以，可知，，两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，‎ 所以，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，令，得，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，令，得，‎ 所以，‎ 故二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎