四川省成都市高新区2019届高三10月月考数学（理）试题+Word版含答案

四川省成都市高新区2019届高三10月月考数学（理）试题+Word版含答案

2018-2019 学年高 2016 级高三 10 学月统一检测 数学试题（理科） 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷带走，仅将答题卡交回。 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合  21|  xxA ，  21|  xxB ，则 BA （ ▲ ） )2,1.(A ]2,1.(B ]2,1.[C )2,1.[D 2. 若复数 z 满足 izz 232  ，其中i 为虚数单位，则 z 等于（ ▲ ） iA 21.  iB 21.  iC 21.  iD 21.  3. 设 Ryx  ,0 ，则 "" yx  是 |"|" yx  的（ ） .A 必要不充分条件 .B 充分不必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 4. 命题 "01," 2 0 3 00  xxRx 的否定是（ ▲ ） 01,. 23  xxRxA 01,. 2 0 3 00  xxRxB 01,. 2 0 3 00  xxRxC 01,. 23  xxRxD 5. 已知 33)1()( 2  mxxmxf 为偶函数，则 )(xf 在区间 )2,4( 上为（ ▲ ） .A 增函数 .B 增函数 .C 先增后减 .D 先减后增 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ▲ ) 12.A 18.B 24.C 30.D 7. 我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的 官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表 示数字0 ，这蕴含了进位制的思想，如图所示的框图的算法思路就源于我 国 古 代 戍 边 官 兵 的 “ 烽 火 传 信 ”. 执 行 该 程 序 框 图 ， 若 输 入 ,6,2,110011  nka 则输出b 的值为 ( ▲ ) 19.A 31.B 51.C 63.D 8. 函数 )1()(  bae xxf x ，则 ( ▲ ) )()(. bfafA  )()(. bfafB  )()(. bfafC  )(),(. bfafD 大小关系不能确定 9. 函数 2 2 1 xxln)x(f  的图象大致是 ( ▲ ) 10. 在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现为其中的五个 参会国的人员安排酒店，这五个参会国的人员要在 cba ,, 三家酒店中任选一家，且这三家都至 少有一个参会国的人员入住，则这样的安排方法共有（ ▲ ） 96.A 种 124.B 种 130.C 种 150.D 种 11 . 等差数列 }{ na 的公差是 d ，且前 n 项和为 nS ，当首项 1a 和 d 变化时， 1182 aaa  是一 个定值，则下列各数也为定值的是（ ▲ ） 7.SA 8.SB 13.SC 15.SD 12. 已知椭圆 )b(ab y a x:C 01 112 1 2 2 1 2 1  与双曲线 )b,(ab y a x:C 001 222 2 2 2 2 2 2  有相同 的焦点 21 F,F ，若点 P 是 1C 与 2C 在第一象限内的交点，且 221 2 PFFF  ,设 1C 与 2C 的离心 率分别为 21 e,e ，则 12 ee  的取值范围是( ▲ )      ， 3 1.A      ， 3 1.B      ， 2 1.C      ， 2 1.D 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13. 已知函数 xxxf sin)( 2= ，则过点 ），（ 4 π 2 π 2 的切线方程为 ▲ ． 14. 实数 x，y 满足不等式组 ，则 1 1- += x yZ 的最小值为 ▲ ． 15. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆C 的方程为 0158-22 =++ xyx ，若直线 2-kxy = 上至少 存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C 有公共点，则 k 的最大值为 ▲ 16. 已知定义在 R 上的偶函数 )(xf 在[ ）， ∞0 + 上递减，若不等式 )1(2≥)1-ln-()1ln-( fxaxfxaxf +++ 对 [ )3,1∈x 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ▲ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（本小题满分 12 分） 已知 (2sin ,cos )a x x ， ( 3 cos ,2cos )b x x ，设函数 ( ) 1f x a b    ， xR . （Ⅰ）求函数 ( )f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若 ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 ( ) 1f B  ， 3b  ， 2c  ， 求 ABC 的面积. 18．（本小题满分 12 分） 0≥y 0≥- yx 0≥2--2 yx 高新区某高中德育处为了调查学生对“一带一路”的关注情况,在全 校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了 12 份问 卷,得到其测试成绩(百分制)的茎叶图如下： （1） 写出该样本的中位数,若该校共有 3000 名学生,试估计该校测试 成绩在 70 分以上的人数； （2） 从所抽取的 70 分以上的学生中再随机选取 4 人，记 表示测试成绩在 80 分以上的人数, 求 的分布列和数学期望 19．（本小题满分 12 分） 如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形．在图①中，设平面 BEF 与平面 ABCD 相交于直线 l． （Ⅰ）求证：l⊥面 CDE； （Ⅱ）在图①中，线段 DE 上是否存在点 M，使得直线 MC 与平面 BEF 所成角的正弦值等于 5 5 ？若存在，求出点 M 的位置；若不存在，请说明理由． 20. （本小题满分 12 分） 在直角坐标系 xoy 中，椭圆 )0(1: 2 2 2 2  bab y a xE 的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，点 M 在 椭圆 E 上，且 xMF 2 轴， 2 2 2 MF ， 21FMF 的周长为 222  . （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）过点 S（4，0）作两条直线与椭圆 E 分别将于交于 A、B、C、D，且使 xAD  轴，如 图，问四边形 ABCD 的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请 说明理由. 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2. (1)讨论 f (x)的单调性； (2)若 f (x)有两个零点，求 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分 10 分） 选修 4-4 坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程是 3cos ( sin x y       为参数） （1）将 C 的参数方程化为普通方程； （2）在直角坐标系 xOy 中， (0,2)P ，以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标 系，直线 l 的极坐标方程为 cos 3 sin 2 3 0,Q      为 C 上的动点，求线段 PQ 的中点 M 到直线l 的距离的最小值． 23.（本小题满分 10 分） 选修 4-5 不等式选讲 设函数 ( ) 3 3f x x a x    ， ( ) 1 3g x x   ，其中 0a  . （Ⅰ）求不等式 ( ) 5g x x  的解集； （Ⅱ）若对任意 1x R ，都存在 2x R ，使得 1 2( ) ( )f x g x ，求实数 a 的取值范围. 2018-2019 学年高 2016 级高三 10 学月统一检测 数学试题（理科）参考答案 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1~6 ABAACC 7~12 DCBDCD 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13. 14. 15. 16. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（本小题满分 12 分） 已知 ， ，设函数 ， . （Ⅰ）求函数 的单调递增区间； （Ⅱ）若 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ， ， 求 的面积. 17．解：（I） ，……………2 分 令 ，……………3 分 则 ，……………5 分 所以函数 的单调增区间为： ．……………6 分 （II）由（I）知 ，即 ， 而 ，知 ，所以 ，即 ．……………8 分 由 ，有 解得 .……………10 分 ． 故所求面积为 ．……………12 分 18．（本小题满分 12 分） 高新区某高中德育处为了调查学生对“一带一路”的关注情况,在全校组织了“一带一路知 多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了 12 份问卷,得到其测试成绩(百分制)的茎叶图如下： （1）写出该样本的中位数,若该校共有 3000 名学生,试估计该校测试成绩在 70 分以上的人数； （2）从所抽取的 70 分以上的学生中再随机选取 4 人，记 表示测试成绩在 80 分以上的人数, 求 的分布列和数学期望. 18.解：（1）中位数为 76 ……2 分, 样本中 70 分以上的所占比例为 ，故可估计该校测 试成绩在 70 分以上的约为 3000 2000 人 ………5 分 （2 由题意可得， 的可能取值为 0，1，2，3，4，……………6 分 , , , . .……………8 分 所以 的分别列为： 0 1 2 3 4 ……………10 分 .……………12 分 19．（本小题满分 12 分） 如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形．在图①中，设平面 BEF 与平面 ABCD 相交于直线 l． （Ⅰ）求证：l⊥面 CDE； （Ⅱ）在图①中，线段 DE 上是否存在点 M，使得直线 MC 与平面 BEF 所成角的正弦值等于 ？若存在，求出点 M 的位置；若不存在，请说明理由． 19．（I）证明：由题意，AD//EF，∵ EF 面 BEF，AD 面 BEF， ∴ AD//面 BEF． ………………………………………………………………2 分 又∵ AD 面 ABCD，面 ABCD∩面 BEF=l，∴ AD//l，……………4 分 由主视图可知，AD⊥CD，由侧视图可知，DE⊥AD，……………5 分 ∵ CD∩AD=D，∴ AD⊥面 CDE． ∴ l⊥面 CDE．………………6 分 （II）如图，建立空间直角坐标系 D-xyz， 则 A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，E(0，0，1)，F(1，0，1)， ∴ =(1，0，0)， =(0，-1，1)，……7 分 设面 BEF 的一个法向量 n=(x，y，z)， 则由 ·n=0， ·n=0 可得 令 y=1，则 z=1， ∴ n=(0，1，1)， …………………………9 分 设 M(0，0，m)，则 =(0，2，-m)， ∴ cos< ，n>= ，解得 m= 或 m=6（舍），……11 分 即存在满足点 M，此时 M 的位置在线段 DE 的 处（靠近 E 点）．……12 分 20. （本小题满分 12 分） 在直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分 别为 、 ，点 M 在椭圆 上，且 轴， ， 的周长为 . （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）过点 S（4，0）作两条直线与椭圆 E 分别将于交于 A、B、C、D，且使 轴，如 图，问四边形 ABCD 的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请 说明理由. 20.解：(Ⅰ)设 ，由题意可得 ，即 .…………1 分 则 ，∴ ，又 的周长为 ……3 分 ∴ 又∵ ∴ ……5 分 ∴所求椭圆 E 的方程为 .……………6 分 (Ⅱ)设 ， ，则由对称性可知 ， . 设直线 与 轴交于点 ，直线 的方程为 ， 联立 ，消去 ，得 ，……………8 分 ∴ ， ， 由 三点共线 ，即 ， 将 ， 代入整理得 ， 即 ，……………10 分 从而 ，化简得 ，解得 ，于是直线 的方程为 ，故 直线 过定点 .同理可得 过定点 ， ∴直线 与 的交点是定点，定点坐标为 .……………12 分 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围. 21.解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a).……………1 分 (ⅰ)设 a≥0，则当 x∈(－∞，1)时，f′(x)<0； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. 所以 f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.……………2 分 (ⅱ)设 a<0，由 f′(x)＝0 得 x＝1 或 x＝ln(－2a). ①若 a＝－ e 2，则 f′(x)＝(x－1)(ex－e)， 所以 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.……………3 分 ②若 a>－ e 2，则 ln(－2a)<1，故当 x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；当 x∈(ln(－2a)， 1)时，f′(x)<0. 所以 f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a)，1)上单调递减.……4 分 ③若 a<－ e 2，则 ln(－2a)>1， 故当 x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0；……………5 分 当 x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0. 所以 f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a))上单调递减.……6 分 (2)(ⅰ)设 a>0，则由(1)知，f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.又 f(1)＝－e， f(2)＝a，取 b 满足 b<0 且 b a 2(b－2)＋a(b－1)2 ＝a 3 b>0，所以 f(x)有两个零 点.……………8 分 (ⅱ)设 a＝0，则 f(x)＝(x－2)ex，所以 f(x)只有一个零点.……………9 分 (ⅲ)设 a<0，若 a≥－ e 2，则由(1)知，f(x)在(1，＋∞)上单调递增.又当 x≤1 时 f(x)<0，故 f(x)不存 在两个零点.若 a<－ e 2，则由(1)知，f(x)在(1，ln(－2a))上单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单调 递增.又当 x≤1 时，f(x)<0，故 f(x)不存在两个零点.……………11 分 综上，a 的取值范围为(0，＋∞).……………12 分 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程是 为参数） （1）将 C 的参数方程化为普通方程； （2）在直角坐标系 中， ，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标 系，直线 的极坐标方程为 为 C 上的动点，求线段 PQ 的中点 M 到直线 的距离的最小值． 22．解：(Ⅰ)消去参数得 ． …………………………………4 分 （Ⅱ）将直线 l 的方程化为普通方程为 ．……………6 分 设 Q( )，则 M( )， ∴ ，……………8 分 ∴ 最小值是 ．……………………………………10 分 23.（本小题满分 12 分） 选修 4-5：不等式选讲 设函数 ， ，其中 . （Ⅰ）求不等式 的解集； （Ⅱ）若对任意 ，都存在 ，使得 ，求实数 的取值范围. 23．解：（I）不等式 ， ……………2 分 则 解得： 或 ，即 ……………4 分 所以不等式 的解集为 ．……………5 分 （II）设 的值域为 , 的值域为 ． 对任意的 ，都存在 ，使得 等价于： ， 而 ．……………7 分 ①当 时， 不满足题意； ②当 时， ，由 得 ，得 ， 不满足题意； ③当 时， ，由 得 ，得 ， 满足题意；……………9 分 综上所述，实数 的取值范围是： ．……………10 分