2018-2019学年浙江省金华市十校高二上学期期末调研考试数学试题

2018-2019学年浙江省金华市十校高二上学期期末调研考试数学试题

‎2018-2019学年浙江省金华市十校高二上学期期末调研考试数学试题 ‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.在空间直角坐标系中，点与点（ ）‎ A. 关于平面对称 B. 关于平面对称 C. 关于平面对称 D. 关于轴对称 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“关于哪个对称，哪个坐标就相同”，得出正确选项.‎ ‎【详解】两个点和，两个坐标相同，坐标相反，故关于平面对称，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间点对称关系，考查理解和记忆能力，属于基础题.‎ ‎2.圆与圆的位置关系是（ ）‎ A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算两个圆的圆心距以及，比较大小后得出正确选项.‎ ‎【详解】两个圆的圆心分别为，圆心距，两个圆半径均为，故，所以两个圆相交.故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查圆的圆心和半径以及圆心距的计算，属于基础题.‎ ‎3.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项.‎ ‎【详解】当“”时，如，，故不能推出“” .当“”时，必然有“”.故“”是“”的必要不充分条件.‎ ‎【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查含有绝对值的不等式，属于基础题.‎ ‎4.给定①②两个命题：①为“若，则”的逆否命题；②为“若，则”的否命题，则以下判断正确的是（ ）‎ A. ①为真命题，②为真命题 B. ①为假命题，②为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断①原命题的真假性，得出其逆否命题的真假性.写出②的否命题，并判断真假性.由此得出正确选项.‎ ‎【详解】对于①原命题显然为真命题，故其逆否命题也为真命题.对②其否命题是“若，则”，由于时，，故否命题是假命题.所以①为真命题，②为假命题，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查四种命题及其相互关系，考查命题真假性的判断，属于基础题.‎ ‎5.设是两条异面直线，下列命题中正确的是（ ）‎ A. 存在与都垂直的直线，存在与都平行的平面 B. 存在与都垂直的直线，不存在与都平行的平面 C. 不存在与都垂直的直线，存在与都平行的平面 D. 不存在与都垂直的直线，不存在与都平行的平面 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出一个正方体，根据正方体的结构特征，结合线、面平行和垂直的定理，判断出正确选项.‎ ‎【详解】画出一个正方体如下图所示，分别是的中点.由图可知，，平面，平面.由此判断A选项正确，本题选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间异面直线的位置关系，考查线面平行等知识，属于基础题.‎ ‎6.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数的导数，然后令求出正确选项.‎ ‎【详解】依题意有，故，所以选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查复合函数的导数计算，考查函数除法的导数计算，属于中档题.‎ ‎7.如图，在空间四边形中，，，，，则异面直线与所成角的大小是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过计算出的数量积，然后利用夹角公式计算出与所成角的余弦值，进而得出所成角的大小.‎ ‎【详解】依题意可知, .设直线与所成角为，则，故.所以本小题选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用空间向量的数量积，计算空间两条异面直线所成角的大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.要求两条异面直线所成的角，可以通过向量的方法，通过向量的夹角公式先计算出夹角的余弦值，再由此得出所成角的大小.‎ ‎8.经过坐标原点的直线与曲线相切于点.若，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数在上的表达式，利用导数求得切线的斜率，写出切线方程，利用切线方程过原点求出切点的坐标满足的等式，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】当时，故，.所以切点为，切线的斜率为，由点斜式得，将原点坐标代入得，即，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查经过某点的曲线切线方程的求解方法，考查含有绝对值的函数的解析式，考查利用导数求曲线的切线方程，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.本题的关键点有两个：一个是函数在上的表达式，另一个是设出切点，求出切线方程后，将原点坐标代入化简.‎ ‎9.已知椭圆的右焦点是，为坐标原点，若椭圆上存在一点，使是等腰直角三角形，则椭圆的离心率不可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别根据为直角时，椭圆的离心率，由此得出正确的选项.‎ ‎【详解】当时，代入椭圆方程并化简得，解得.当时，，，故.当时，，即，，，解得.综上所述，C选项不可能，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等腰直角三角形的性质，考查椭圆离心率的求解方法，属于中档题.‎ ‎10.在正方体中，分别为线段、上的动点，设直线与平面、平面所成角分别是，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在图中分别作出直线与平面、平面所成的角，根据边长判断出，求出的表达式，并根据表达式求得的最小值，也即是的最大值.‎ ‎【详解】设正方体边长为.过作，而，故平面，故.‎ 同理过作，得到.由于，故，所以，即.而，当取得最小值时，取得最小值为，即取得最大值为.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和平面所成的角，考查三角函数最值的判断与求解，属于中档题.‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11.已知直线：，若的倾斜角为，则实数_______；若直线与直线垂直，则实数_______．‎ ‎【答案】 (1). (2). 2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据倾斜角求得斜率，由此列方程求得的值.根据两直线垂直的条件列方程，由此解出的值.‎ ‎【详解】当倾斜角为时，斜率为，故.由于直线和直线垂直，所以，解得（时不是直线方程，舍去）.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线倾斜角与斜率的关系，考查两直线垂直的条件，属于基础题.‎ ‎12.已知函数，则在处的切线方程为_________；单调递减区间是_______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得的导数，由此求得切线的斜率，并求得切线方程，根据导数求得函数的单调区间.‎ ‎【详解】依题意.，故切线方程为.由，解得，即函数的单调递减区间为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用导数求函数的单调区间，属于中档题.‎ ‎13.某空间几何体的三视图如图所示，已知俯视图是一个边长为2的正方形，侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的最长的棱的长度为_______；该几何体的体积为______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出三视图对应的原图的直观图，根据直观图判断出最长的棱，利用椎体体积公式求得几何体的体积.‎ ‎【详解】由三视图可知，原图为四棱锥，画出图像如下图所示.由图可知，为最长的棱长.由三视图可知，故，且四棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查几何体边长的计算，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.解题的关键在于根据俯视图为正方形，计算出侧视图的宽，并求得几何体的高.根据的要点是：长对正、高平齐，宽相等.也即俯视图的宽和侧视图的宽是相等的.‎ ‎14.如图，已知抛物线：，则其准线方程为_______；过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，若，则_______.‎ ‎【答案】 (1). (2). 6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的方程求得的值，由此求得准线方程.利用抛物线的定义求得点坐标，进而求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程求得点的坐标，进而求得.‎ ‎【详解】依题意抛物线的方程为，故，所以准线方程为.由于，根据抛物线的定义，，，代入抛物线方程，求得.所以直线的斜率为，方程为.代入抛物线方程并化简得，解得，根据抛物线的定义可知.‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的几何性质，考查过抛物线焦点的直线所得弦长问题，属于中档题.抛物线的焦点坐标和准线方程，与的值有关，过抛物线焦点的直线，常用的是利用抛物线的定义来解题.直线和抛物线联立，解方程组可求得交点的坐标.‎ ‎15.若函数在上单调递减，则实数的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于函数在上递减，利用导函数恒小于或等于零，由此求得实数的值.‎ ‎【详解】依题意，在上恒成立，则需恒成立，有两个相等的实数根，故.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查除法的导数，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.‎ ‎16.过双曲线：的左焦点作圆的切线，设切点为，延长交抛物线：于点，其中有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆心到切线的距离等于半径求得，根据中位线求得且 ‎，利用等面积法求得点的纵坐标，代入切线方程求得横坐标.求出抛物线的方程，将点的坐标代入抛物线方程，化简后求得的值，进而求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】由于直线和圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，而，故.所以直线的斜率为，故直线的方程为.由于是的中点，故是三角形的中位线，故且，由等面积法得，解得，代入直线的方程，求得，故.由于抛物线和双曲线焦点相同，故，所以抛物线方程为，将点坐标代入抛物线方程并化简得，即，解得，故双曲线的离心率为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查双曲线的离心率，属于中档题.‎ ‎17.已知矩形，，，现将沿对角线向上翻折，若翻折过程中的长度在范围内变化，则点的运动轨迹的长度是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过作直线，交于，交与，过作，交于.计算出的长，计算折叠后的长，计算出翻折过程中经过的角度，利用弧长公式计算出的运动轨迹的长度.‎ ‎【详解】过作直线，交于，交与，过作，交于.由于，故.在翻折过程中，，所以平面，所以.当时，，即三角形为等边三角形，.当时，，，.所以翻折过程中点运动的圆弧对应的圆心角为，故弧长为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查翻折问题，考查空间想象能力和动态分析能力，属于中档题.‎ 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎18.已知平面上有两点，.‎ ‎（1）求过点的圆的切线方程；‎ ‎（2）若在圆上，求的最小值，及此时点的坐标.‎ ‎【答案】（1）和；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当直线斜率不存在时，与圆相切，符合题意.当直线斜率存在是，设出直线的点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得直线的斜率，由此求得切线方程.（2）用余弦定理求得的表达式，将问题转化为到原点距离的最小值来求解.‎ ‎【详解】（1）①斜率不存在时：满足条件；‎ ‎②斜率存在时，设直线：，，即 ‎∴切线方程为和.‎ ‎（2）在中，由余弦定理可知：，‎ 则当最小时，取最小值 所以，，，.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查余弦定理解三角形，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎19.如图，在三棱柱中，，侧面为菱形.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）如果点分别为，的中点，求证：平面.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先征得，由此证得平面，进而证得平面平面.（2）取的中点，连，通过证明平面,平面，证得平面平面，进而证得平面.‎ ‎【详解】（1）证明：∵三棱柱的侧面为菱形，‎ 故，‎ 又，且为平面内的两条相交直线，‎ 故平面，‎ 因平面，‎ 故平面平面.‎ ‎（2）如图，取的中点，连 又为的中点，故，‎ 因平面，平面，‎ 故平面，‎ 同理，平面.‎ 因为平面内的两条相交直线，‎ 故平面平面 因平面 故平面.‎ ‎【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查线面平行的证明，属于中档题.‎ ‎20.如图，在三棱锥中，垂直于平面，，，，点分别为的中点，点为上一点，，直线平面.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求直线和平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连结交于点，连结，利用线面平行的性质定理得到，利用相似比求得的值.（2）以为原点建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量和平面的法向量，求得直线和平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】（1）连结交于点，连结，‎ 因为平面，‎ 又因为平面，平面平面 所以 那么在中，‎ 在中，点分别为的中点，‎ 所以，‎ 所以 ‎（2）如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系 不妨设 则，，，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量，则 即 取，得平面的一个法向量 又，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面平行的性质定理，考查利用空间向量计算线面角的正弦值，属于中档题.‎ ‎21.已知椭圆：，右焦点，点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为椭圆上一点，过焦点的弦分别为，设，，若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据焦点和椭圆上一点的坐标，列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，设出的坐标，根据共线向量的坐标运算求得点坐标的表达式.联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出韦达定理，同理联立直线的方程和椭圆方程，化简后写出韦达定理，由此计算得点的坐标，并求得的值.‎ ‎【详解】（1）由已知条件得，解得 所以椭圆的方程为 ‎（2）设直线：，直线：，，，‎ 由，得，由，得 联立得 所以同理 由，得消去得 由，得，代入可得，‎ 又得（*）‎ 又，代入（*）式可得，‎ 解得 或 （舍去），‎ 所以 .‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量共线的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.要求椭圆的标准方程，需要通过已知条件，转化为有关的方程组，解方程组求出的值，由此求得椭圆的标准方程，要注意椭圆焦点在哪个坐标轴上.‎ ‎22.已知函数，其中．‎ ‎（1）当时，求的最大值和最小值；‎ ‎（2）当时，证明：在上有且仅有一个极大值点和一个极小值点（分别记为），且为定值．‎ ‎【答案】（1）的最大值为，最小值为.（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，根据函数为奇函数，利用导数研究当时函数的单调性，由此求得函数在上的单调性，进而求得最大值和最小值.（2）①将写成分段函数的形式，当利用导数求得函数有一个极大值点和一个极小值点，当 时，函数单调递增，没有极值点.由此证得结论成立. ②根据①的结论，写出关于极值点的韦达定理，计算出为定值.‎ ‎【详解】（1）当时，是奇函数，‎ 考虑，，‎ 求导得，‎ 当时，，当时，‎ 所以在单调递减，单调递增，‎ 又根据奇函数的对称性，‎ 可知在单调递减，和单调递增 ‎，，‎ 所以的最大值为，最小值为.‎ ‎（2）①当时，‎ 当时，，，‎ ‎，‎ 所以在有2个根，，‎ 其中，，则在和单调递增，在 又在单调递增，‎ 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增 所以在上有且仅有一个极大值点和一个极小值点 ‎②因为是方程的两个根，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以为定值.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最大值和最小值，考查函数的奇偶性，考查含有绝对值函数的解题策略，考查利用导数研究函数的极值点，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.研究含有绝对值的函数，一般采用写成分段函数的方法，再对每段函数进行研究.‎ ‎ ‎