2017-2018学年福建省晋江市高二下学期期末联考数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年福建省晋江市高二下学期期末联考数学（理）试题（Word版）

‎2017-2018学年福建省晋江市（安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校）高二下学期期末联考数学（理） ‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 命题：王绍伟 审题：陈荣海 陈腾 白晓臻 一、选择题：（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分）‎ ‎1．已知复数满足 ‎2.“且”是“”成立的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 3． 将两颗骰子各掷一次，设事件为“两次点数之和为6点”，事件为“两次点数相同”，则概率的值为（ ）‎ ‎4．盒子里共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个红球个白球，从盒子中任取个球，则恰好取到个红球个白球的概率为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即，试卷满分分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（ ）‎ A. 400 B. ‎500 C. 600 D. 800‎ ‎6．函数的图象大致为（ ）‎ ‎7．设随机变量， 满足： ， ，若，则（ ）‎ A. 4 B. ‎5 C. 6 D. 7‎ ‎8.高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有（ ）‎ ‎9.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎10.设，函数的导函数是奇函数，若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知双曲线的一条渐近线恰好是曲线在原点处的切线，且双曲线的顶点到渐近线的距离为，则曲线的方程为（ ）‎ ‎12．设函数在上存在导函数，对任意，都有且时， ，若则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）‎ ‎13．.‎ ‎14．二项式展开式中的常数项是__________．‎ ‎15.在直角坐标系中，直线过点，其倾斜角为，圆的方程为圆与直线交于A、B，则的值为_______‎ ‎16．已知对任意不等式恒成立(其中是自然对数的底数），则实数 ‎ 的取值范围是__________________‎ 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）‎ ‎17.（本小题12分）2017年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.‎ ‎（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；‎ ‎（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获等的概率都是0.75，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量表示他所选的三个科目中考试成绩获等的科目数，求的分布列和数学期望.‎ ‎18．（本小题12分）如图，在中，，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为.（1）求证：；‎ ‎（2）当点为线段的靠近点的三等分点时，求与平面 所成角的正弦值.‎ ‎19．（本小题12分）‎ 华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取名同学（男同学名，女同学名），给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一题进行解答。选题情况如下表：（单位：人） ‎ 物理题 数学题 总计 男同学 女同学 总计 ‎（1）在犯错误的概率不超过的条件下，能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关？‎ ‎（2）现从选择做物理题的名女生中任意选取两人，对她们的解答情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列和数学期望.‎ 附表及公式 ‎20．（本小题12分）已知椭圆经过点，离心率.‎ ‎（1）求的方程；（2）设直线经过点且与相交于两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明： 为定值.‎ ‎21.（本小题12分）已知函数 ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于两点，其横坐标分别为，线段的中点的横坐标为，且恰为函数的零点，求证：‎ ‎，‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．（本小题10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（1）当时，解不等式 ‎（2）的取值范围.‎ 23． ‎（本小题10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线、的直角坐标方程.‎ ‎（2）若分别为、上的动点，且间距离的最小值为，求实数的值.‎ ‎2017-2018学年高二下学期期末联考数学（理）答案 一、选择题：（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分）‎ ‎1．已知复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎1．C详解：∵i（2﹣z）=3+i，∴z=2﹣=1+3i，∴|z|=．故选：C．‎ ‎2.“且”是“”成立的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎2．A解析若“且”成立，则“”一定成立．反之，若“”成立时，但“且”不一定成立．故“且”是“”成立的充分不必要条件．选A．‎ ‎3．将两颗骰子各掷一次，设事件A为“两次点数之和为6点”，事件B为“两次点数相同”，则概率的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.D解：根据条件概率的含义，其含义为在A发生的情况下，B发生的概率，‎ 即在“两次点数之和为6点”的情况下，“两次点数相同”的概率，‎ ‎“两次点数之和为6点”的情况，共5种，‎ ‎“两次点数相同”则只有一个，故=．故选：D．‎ ‎4．盒子里共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个红球个白球，从盒子中任取个球，则恰好取到个红球个白球的概率为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．B ‎【解析】由题意得所求概率为．选．‎ ‎5．某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即，试卷满分分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（ ）‎ A. 400 B. ‎500 C. 600 D. 800‎ ‎5．A【解析】，‎ ‎.故选A.‎ ‎6．函数的图象大致为（ ）‎ ‎6.【答案】B ‎【解析】试题分析：采用排除法，函数定义域为，排除A，当时， ，排除D，当时， ，排除C，故选B.‎ ‎7．设随机变量， 满足： ， ，若，则（ ）‎ A. 4 B. ‎5 C. 6 D. 7‎ ‎7．A【解析】由题意可得： ，‎ 解得： ，则： 。本题选择A选项.‎ ‎8.高考结束后6名同学游览我市包括日月湖在内的6个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 答案D ‎9.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点 ‎，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎9.【答案】D ‎【解析】∵抛物线的焦点坐标， ，∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴， ，∵设，由抛物线定义知： ，∴，∴点的坐标为，∴，解得： ， ，则双曲线的离心率为2，故选D.‎ ‎10.设，函数的导函数是奇函数，若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知双曲线的一条渐近线恰好是曲线在原点处的切线，且双曲线的顶点到渐近线的距离为，则曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.解D：曲线化为标准形式：‎ 圆心坐标为,∴，‎ 又双曲线的一条渐近线恰好是曲线在原点处的切线，‎ ‎∴，∵双曲线的顶点到渐近线的距离为，∴，即，又 ‎∴∴曲线的方程为故选：D ‎12．设函数在上存在导函数，对任意，都有且f（0）=0‎ 时， ，若则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12B，‎ 令,，‎ ‎∴函数g(x)为奇函数.时, .时, ,故函数在上是增函数，故函数在上也是增函数,由,可得在R上是增函数.‎ ‎,等价于，‎ 即本题选择B选项.‎ 二、填空题：（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）‎ ‎13．_______.‎ 详解：由，可得.表示圆心为(0,0)，半径为1的上半圆.‎ 即为该圆位于第二象限部分的面积，即个圆.‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎14．二项式展开式中的常数项是__________．‎ ‎【答案】5‎ ‎13【解析】二项式展开式的通项为，令，得，即二项式展开式中的常数项是.‎ ‎15.在直角坐标系中，直线过点，其倾斜角为，圆的方程为圆 与直线交于A、B，则的值为_______‎ ‎15.【解析】将 代入圆方程得 ‎ ‎ ‎ ‎16．已知对任意不等式恒成立(其中是自然对数的底数），则实数 ‎ 的取值范围是__________________‎ ‎16【解析】由得在上恒成立，即在上恒成立．‎ 令，，则，∴当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减．∴，∴，‎ ‎∴．故实数的取值范围是 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）‎ ‎17．（本小题12分）2017年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.‎ ‎（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；‎ ‎（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获等的概率都是0.75，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量表示他所选的三个科目中考试成绩获等的科目数，求的分布列和数学期望.‎ 试题解析：‎ ‎（1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件，‎ 则，‎ 所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为.......................4分 ‎（2）随机变量的所有可能取值有0, 1，2，3.................................................................5分 因为,...................................................................................................6分 ‎，...................................................................................7分 ‎，.................................................................................8分 ‎，.........................................................................................................9分 所以的分布列为 ‎....................................10分 所以............................................................12分 ‎18.（本小题12分）如图，在Rt中， ，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为.（1）求证：；‎ ‎（2）当点为线段的靠近点的三等分点时，求与平面 所成角的正弦值.‎ 试题解析：（1） ‎ ‎,翻折后垂直关系没变，仍有,................................................1分 ‎，..................................................................................................................2分 ‎.........................................................................................................3分 ‎，‎ ‎ . .........................................................................................................4分 ‎(2) , 二面角的平面角，............5分 ‎，又,由余弦定理得,‎ ‎,,两两垂直......................6分 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系.‎ 则 ...........................................................7分 ‎ ..................................................................8分 设平面的法向量 由可得.....................................................................10分 ‎ . ...............................................12分 ‎ ‎ 故PC与平面PEF所成的角的正弦值为 .‎ ‎19．（本小题12分）华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取名同学（男同学名，女同学名），给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一题进行解答。选题情况如下表：（单位：人） ‎ 物理题 数学题 总计 男同学 女同学 总计 ‎（1）在犯错误的概率不超过的条件下，能否判断高一学生对物理和数学的选择与性别有关？‎ ‎（2）现从选择做物理题的名女生中任意选取两人，对她们的解答情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列和数学期望.‎ 附表及公式 ‎19.（1）由表中数据得的观测值...................................3分 在犯错误的概率不超过的前提下，不能判断高一学生对物理题和数学题的选择与性别有关................4分 （2） 由题可知在选择做物理题的名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有12种；两人都被抽到有种 ‎∴可能值为............................................5分 ‎..........................8分 的分布列为：‎ ‎..............................................................................................................................10分 ‎∴.........................................................................12分 ‎20．（本小题12分）已知椭圆经过点，离心率.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设直线经过点且与相交于两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明： 为定值.‎ ‎（1）因为椭圆，经过点，所以．‎ 又，所以，解得．‎ 故而可得椭圆的标准方程为： ．.............................................4分 ‎（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，..................................5分 此时直线与椭圆相切，不符合题意．‎ 设直线的方程为，即，................................6分 联立，得．....................7分 ‎.................................................................8分 设， ，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以为定值，且定值为-1．..................................................12分 ‎21．（本小题12分）已知函数 ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于两点，其横坐标分别为，线段的中点的横坐标为，且恰为函数的零点，求证：‎ 解：（1）由于的定义域为，‎ 则.........................................................1分 对于方程，其判别式.当，即时， 恒成立，故在内单调递增...............................................................2分 当，即，方程恰有两个不相等是实，............3分 令，得或，‎ 此时单调递增；令，得，此时单调递减............4分 综上所述，当时， 在内单调递增；当时， 在内单调递减，在， 内单调递增..................................5分 ‎（2）由（1）知， ，所以的两根， 即为方程的两根.‎ 因为，所以， ， ......................................6分 又因为， 为的零点，‎ 所以， ，两式相减得 ‎，得.........................................................................8分 而，‎ 所以 .........................................................10分 令，由得，因为，两边同时除以，得，因为，故，解得或，所以.设，所以，则在上是减函数，所以，‎ 即的最小值为.‎ 所以...............................................................12分 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．（本小题10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2），求的取值范围.‎ 详解：（1）当时，，即或或解得或或，故此不等式的解集为..........................................................................................................................5分 ‎（2）因为，因为，有成立，所以只需，化简得，解得或，所以的取值范围为.................10分 ‎23．（本小题10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）.‎ ‎（1）求曲线、的直角坐标方程.‎ ‎（2）若、分别为、上的动点，且、间距离的最小值为，求实数的值.‎ 详解：（1）消去参数可得的直角坐标方程为，.............................................2分 的方程即：，即，.............................................................4分 则直角坐标方程为：........................................................................................5分（没写扣1分）‎ ‎（2）设，，‎ 则到的距离 ，..........................................7分 由、间距离的最小值为知：‎ 当时，得；........................................................................................8分 当时，，得........................................................................9分 综上：或者.................................................................................................10分