2017-2018学年河北省邢台市高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年河北省邢台市高二上学期期中考试数学（理）试题

‎2017-2018学年河北省邢台市高二上学期期中考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若直线过圆的圆心，则的值为（ ）‎ A．-1 B．1 C．3 D．-3‎ ‎2.若，，若，则（ ）‎ A．， B． ， ‎ C．， D．，‎ ‎3.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.圆和圆的位置关系是（ ）‎ A．相交 B．相离 C. 外切 D．内切 ‎5.已知直线，平面，且，，给出下列四个命题：‎ ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.‎ 其中正确的命题个数为（ ）‎ A．1 B．2 C.3 D．4‎ ‎6.正方体中，二面角的大小为（ ）‎ A．30° B．45° C.60° D．135°‎ ‎7.已知，，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）‎ A．2 B．1 C. D．‎ ‎10.如图，在四面体中，若，，是的中点，则下列正确的是（ ）‎ A．平面平面 ‎ B．平面平面 ‎ C. 平面平面，且平面平面 ‎ D．平面平面，且平面平面 ‎11.过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，则的外接圆的方程为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎12.三棱锥中，平面，且，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.直线与圆相交于两点，则 ．‎ ‎14.若平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为 ．‎ ‎15.如图，在边长为4的正方形纸片中，与相交于点，剪去，将剩余部分沿折叠，使重合，则折叠后以为顶点的四面体的体积为 ．‎ ‎16.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．‎ ‎(1)求该几何体的体积;‎ ‎(2)求该几何体的表面积.‎ ‎18.（1）已知圆经过和两点，若圆心在直线上，求圆的方程；‎ ‎（2）求过点、和的圆的方程.‎ ‎19. 如图，在直三棱柱中，点是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，，求点到平面的距离.‎ ‎20. 如图，正方体中，分别是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎21. 已知直线，，圆.‎ ‎（1）证明：直线恒过一定点；‎ ‎（2）证明：直线与圆相交；‎ ‎（3）当直线被圆截得的弦长最短时，求的值.‎ ‎22.已知四棱锥的底面为直角梯形，，°，底面，且，是的中点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求与所成角的余弦值；‎ ‎（3）求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.‎ ‎2017-2018学年度第一学期高二第二次联考 理科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C C A B B A C A C D D 二、填空题 ‎13. ; 14. ; 15. ; 16. .‎ 三、解答题：‎ ‎ 17. 解： ‎ ‎（Ⅰ）根据三视图还原几何体，如右图，‎ 四棱锥，底面矩形中，‎ ‎，，对角线交于点 ‎，底面，且．‎ ‎∴ 该几何体的体积；‎ ‎（Ⅱ）分别取、的中点、，‎ 连接．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴平面，．‎ 中，，，故，‎ ‎∴ ．‎ 同理可求．‎ ‎∵ 底面矩形的面积为，‎ ‎∴ 该几何体的表面积．‎ ‎18.解：‎ ‎（Ⅰ）由点和点可得，线段的中垂线方程为．‎ ‎∵ 圆经过和两点，圆心在直线上，‎ ‎∴ ，解得，即所求圆的圆心，‎ ‎∴ 半径，所求圆的方程为； ‎ ‎（Ⅱ）设圆的方程为，‎ ‎∵ 圆过点、和，‎ ‎∴ 列方程组得 解得，‎ ‎∴ 圆的方程为．‎ ‎19.解：‎ ‎（Ⅰ）证明：连接交于点，连接．‎ ‎∵ 矩形中，是的中点，又点是的中点，‎ ‎∴ 中，．‎ ‎∵ 平面，平面，‎ ‎∴ 平面； ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知是的中点，故点到平面的距离与点到平面 的距离相等，设为．‎ ‎∵ 中，，是的中点，‎ ‎∴．‎ ‎∵ 直三棱柱中，平面，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴平面，．‎ 在中，，则，；‎ 在中，； ‎ ‎∵ 三棱锥与三棱锥的体积相等，即，‎ ‎∴ ，解得．‎ 即点到平面的距离为． ‎ ‎20.解：如图，以点为坐标原点，向量分别作为 轴的正方向，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为，则，，，，，．‎ ‎（Ⅰ）设平面的法向量，则，即，不妨取 ‎∵，‎ ‎∴，即平面； ‎ ‎（Ⅱ）∵ ，‎ ‎∴，即异面直线与所成角的余弦值为．‎ ‎21.解：‎ ‎（Ⅰ）直线方程变形为，‎ 由，得，‎ ‎∴ 直线恒过定点； ‎ ‎（Ⅱ）∵ ，‎ ‎∴ 点在圆内部，‎ ‎∴ 直线与圆相交； ‎ ‎（Ⅲ）当时，所截得的弦长最短，此时有， ‎ 而，于是，解得.‎ ‎22.解：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，． ‎ ‎（Ⅰ）因为，，‎ 故，所以．‎ 由题设知，‎ 且与是平面内的两条相交直线，‎ 由此得⊥面，‎ 又面，故平面面．‎ ‎（Ⅱ）因，，，，，‎ ‎． ‎ ‎（Ⅲ）设平面的一个法向量为，‎ 则，．‎ 又，，‎ 取，得，，故．‎ 同理可得面的一个法向量为．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ 平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为．‎ ‎ 2017-2018学年度第一学期高二第二次联考 ‎ 理科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（每题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C C A B B A C A C D D 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13. ; 14. ; 15. ; 16. .‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17. （本题满分10分）解： ‎ ‎（Ⅰ）根据三视图还原几何体，如右图，‎ 四棱锥，底面矩形中，‎ ‎，，对角线交于点 ‎，底面，且．‎ ‎∴ 该几何体的体积；‎ ‎…………………………………………5分 ‎（Ⅱ）分别取、的中点、，‎ 连接．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴平面，．‎ 中，，，故，‎ ‎∴ ．‎ 同理可求．‎ ‎∵ 底面矩形的面积为，‎ ‎∴ 该几何体的表面积．…………………………………………10分 ‎18. （本题满分12分）解：‎ ‎（Ⅰ）由点和点可得，线段的中垂线方程为．‎ ‎…………………………………………2分 ‎∵ 圆经过和两点，圆心在直线上，‎ ‎∴ ，解得，即所求圆的圆心，………4分 ‎∴ 半径，所求圆的方程为； ………6分 ‎（Ⅱ）设圆的方程为，‎ ‎∵ 圆过点、和，‎ ‎∴ 列方程组得 解得，…………………10分 ‎∴ 圆的方程为． ……………………………………12分 ‎19. （本题满分12分）解：‎ ‎（Ⅰ）证明：连接交于点，连接．‎ ‎∵ 矩形中，是的中点，又点是的中点，‎ ‎∴ 中，．‎ ‎∵ 平面，平面，‎ ‎∴ 平面； ……………………………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知是的中点，故点到平面的距离与点到平面 的距离相等，设为．‎ ‎∵ 中，，是的中点，‎ ‎∴．‎ ‎∵ 直三棱柱中，平面，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴平面，．‎ 在中，，则，；‎ 在中，； ……………………………………8分 ‎∵ 三棱锥与三棱锥的体积相等，即，‎ ‎∴ ，解得．‎ 即点到平面的距离为． ……………………………………12分 ‎20. （本题满分12分）解：如图，以点为坐标原 点，向量分别作为轴的正方 向，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为，‎ 则，，，‎ ‎，，．‎ ‎……………………………………4分 ‎（Ⅰ）设平面的法向量，则 ‎，即，不妨取 ‎∵，‎ ‎∴，即平面； ……………………………………8分 ‎（Ⅱ）∵ ，‎ ‎∴，即异面直线与所成角的余弦值为．‎ ‎……………………………………12分 ‎21. （本题满分12分）解：‎ ‎（Ⅰ）直线方程变形为，‎ 由，得，‎ ‎∴ 直线恒过定点； ……………………………………4分 ‎（Ⅱ）∵ ，‎ ‎∴ 点在圆内部，‎ ‎∴ 直线与圆相交； ……………………………………8分 ‎（Ⅲ）当时，所截得的弦长最短，此时有， ‎ 而，于是，解得.……………12分 ‎22. （本题满分12分）解：建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，‎ ‎，，． ……………………………………………2分 ‎（Ⅰ）因为，，‎ 故，所以．‎ 由题设知，‎ 且与是平面内的两条相交直线，‎ 由此得⊥面，‎ 又面，故平面面．……………………………………5分 ‎（Ⅱ）因，，，，，‎ ‎． …………………………………………8分 ‎（Ⅲ）设平面的一个法向量为，‎ 则，．‎ 又，，‎ 取，得，，故．‎ 同理可得面的一个法向量为．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ 平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为．…………………12分