2017-2018学年四川省雅安中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年四川省雅安中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年四川省雅安中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】分析：由x2＞y2，解得|x|＞|y|，即可判断出结论．‎ 详解：由x2＞y2，解得|x|＞|y|，‎ 因此“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件．‎ 故选：D．‎ 点睛：本题考查了不等式的解法与性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎2．设函数可导，则等于 A. B. 3 C. D. 以上都不对 ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用导数的定义=即可得到结果.‎ 详解：∵函数y=f（x）可导，‎ 根据导数的定义=‎ 可知=，‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查平均变化率的极限，即导数的定义，深刻理解概念是解题的关键，属于基础题．‎ ‎3．函数在处的导数等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求函数的导数，结合函数的导数公式进行求解即可．‎ 详解：：函数的导数为y′=2x﹣4，‎ ‎∴y′|x=1=﹣2，‎ 故选：B．‎ 点睛：本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数公式是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎4．命题“，使得”的否定形式是（ ）‎ A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 ‎【答案】C ‎【解析】根据任意和存在否定规则可得： ，使得”的否定形式是，使得，故选C ‎5．在复平面上，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数所对应点的坐标，结合复数的几何意义即可得到答案．‎ 详解：∵=，‎ ‎∴复数对应的点的坐标为（3，1），位于第一象限．‎ 故选：A．‎ 点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎6．i为虚数单位，则 A. B. C. 1 D. i ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算及虚数单位i的运算性质化简求值 详解：‎ 故选：C 点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，‎ 则，‎ ‎.‎ ‎7．若函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意求导f′（x）=3x2+2ax+（a+6）；若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则△=（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；从而求得实数a的取值范围．‎ 详解：∵f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，‎ ‎∴f′（x）=3x2+2ax+（a+6）；‎ 又∵函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，‎ ‎∴△=（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；‎ 故a＞6或a＜﹣3；‎ 故选：B．‎ 点睛：函数有极值等价于导函数有“变号零点”，即导函数有零点，且导函数在零点附近的值正负相反.‎ ‎8．命题：“若，则”的逆否命题是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若或，则 ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据逆否命题的定义，直接作答即可，注意常见逻辑连接词的否定形式．‎ 详解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”；‎ 故选：D．‎ 点睛：此类题型考查四种命题的定义与相互关系，要注意常见逻辑连接词的运用与其各自的否定方法、形式，属于基础题．‎ ‎9．函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据函数的导数与单调性的关系，f（x）=alnx+x在区间[2，3]上单调递增，只需f′（x）≥0在区间[2，3]上恒成立，考虑用分离参数法求解．‎ 详解：根据函数的导数与单调性的关系，f（x）=alnx+x在区间[2，3]上单调递增，只需f′（x）≥0在区间[2，3]上恒成立．‎ 由导数的运算法则，f′（x）=，移向得，，a只需大于等于﹣x的最大值即可，由﹣x≤﹣2，∴a≥﹣2‎ 故选：D．‎ 点睛：：函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论 ‎（1）若在内，则在上单调递增（减）．‎ ‎（2）在上单调递增（减） （）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．（不要掉了等号．）‎ ‎（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．（不要加上等号．）‎ ‎10．若，，且函数在处有极值，则的最大值等于 A. 2 B. 3 C. 6 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等 详解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，‎ 又因为在x=1处有极值，‎ ‎∴a+b=6，‎ ‎∵a＞0，b＞0，‎ ‎∴，‎ 当且仅当a=b=3时取等号，‎ 所以ab的最大值等于9．‎ 故选：D．‎ 点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ ‎11．满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是 A. 椭圆 B. 圆 C. 一条直线 D. 两条直线 ‎【答案】A ‎【解析】分析：转化复数方程为复平面点的几何意义，然后判断轨迹即可.‎ 详解：|z﹣i|+|z+i|=3的几何意义是：复数z在复平面上对应点到（0，1）与（0，﹣1）的距离之和为3，而且两点之间的距离为2，所以距离之和大于两点的距离，所以z的轨迹满足椭圆的定义．‎ 故选：A ．‎ 点睛：本题考查复数模的几何意义以及轨迹的判断，椭圆的定义的应用，基本知识的考查．‎ ‎12．已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且 ‎，则不等式的解集为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：构造函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，转化不等式即可得到结论．‎ 详解：构造函数g（x）=，则函数的导数为 g′（x）=，‎ ‎∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0，‎ 即g（x）在R上单调递减；‎ 又∵f（0）=2，∴g（0）==2，‎ 则不等式f（x）﹣2ex＜0化为＜2，‎ 它等价于g（x）＜2，‎ 即g（x）＜g（0），‎ ‎∴x＞0，‎ 即所求不等式的解集为（0，+∞）．‎ 故选：C ．‎ 点睛：用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造；如构造；如构造；如构造等.‎ 二、填空题 ‎13．若复数为虚数单位，则的模为__________ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．‎ 详解：z1z2=（1+i）（2﹣i）=3+i，‎ ‎∴|z1z2|==．‎ 故答案为：．‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．‎ ‎14．设函数满足，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：求函数的导数，先求出f′（1），f（1）的值，求出函数的解析式，即可得到结论．‎ 详解：∵f（x）=x2+3f′（1）x﹣f（1），‎ ‎∴f′（x）=2x+3f′（1），‎ 令x=1，则f′（1）=2+3f′（1），‎ 即f′（1）=，‎ 故答案为：‎ 点睛：本课题考查导运算及赋值法，考查逻辑推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎15．某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，已知，为使利润最大，应生产_________（千台）．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】分析：由题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量．‎ 详解：由题意，利润y=（x＞0）．‎ y′=36x﹣6x2，‎ 由y′=36x﹣6x2=6x（6﹣x）=0，得x=6（x＞0），‎ 当x∈（0，6）时，y′＞0，当x∈（6，+∞）时，y′＜0．‎ ‎∴函数在（0，6）上为增函数，在（6，+∞）上为减函数．‎ 则当x=6（千台）时，y有最大值为144（万元）．‎ 故答案为：6．‎ 点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.‎ ‎16．函数在其定义域内可导，其图象如下图所示，记的导函数为，则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由f′(x)≤0时，f(x)单调递减.‎ 由函数图像可知当 时，f(x)单调递减，‎ 所以f′(x)≤0的解集为.‎ 三、解答题 ‎17．已知复数 ‎ 若z为纯虚数，求实数a的值；‎ 若z在复平面上对应的点在直线上，求实数a的值．‎ ‎【答案】（1）2（2）‎ ‎【解析】分析：（1）若z为纯虚数，实部为0，虚部不为0，求实数a的值；‎ ‎（2）求出z在复平面上对应的点的坐标，代入直线x+2y+1=0，求实数a的值．‎ 详解：Ⅰ若z为纯虚数，则，且，解得实数a的值为2；‎ Ⅱ在复平面上对应的点，‎ 在直线上，则，‎ 解得．‎ 点睛：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0‎ ‎18．已知命题且，命题恒成立．‎ 若命题q为真命题，求m的取值范围；‎ 若为假命题且为真命题，求m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）或．‎ ‎【解析】分析：（1）由命题q为真命题可知，即可得到结果；（2）分别解出命题p，q的m的取值范围，p∧q为假命题且p∨q为真命题，可得p，q必然一真一假．‎ 详解：解：，解得．‎ 若命题p：且，解得．‎ 为假命题且为真命题，必然一真一假．‎ 当p真q假时，，解得，‎ 当p假q真时，，解得．‎ 的取值范围是或．‎ 点睛：本题考查了复合命题及真假的判断，考查了二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎19．已知函数．‎ 求函数在点处的切线方程；‎ 若直线与的图象有三个不同的交点，求m的范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据题意，对f（x）求导可得f′（x），从而可得f′（1）的值，即可得函数f（x）在点（1，﹣ ）处的切线的斜率，由直线的点斜式方程计算可得答案；‎ ‎（2）对f（x）求导可得f′（x），借助导数与单调性的关系分析可得f（x）的单调性和极值，分析直线y=m与f（x）的图象的位置关系即可得答案．‎ 详解：由已知得： ‎ 则切线方程为：‎ 即 令解得：‎ 当 时，‎ 当时，‎ 当 时，‎ 的极大值是 的极小值是 所以要使直线与的图象有三个不同的交点，m ‎ 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎20．设的导数为,若函数的图象关于直线对称,且.‎ ‎（1）实数的值；‎ ‎（2）求函数的极值.‎ ‎【答案】（1）；（2）的极大值是,极小值是.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先对求导，的导数为二次函数，由对称性可求得，再由即可求出；（2）对求导，分别令大于和小于，即可解出的单调区间，继而确定函数的极值.‎ 试题解析：（1）因,故,从而,即关于直线对称,从而由条件可知,解得,又由于,即解得.‎ ‎（2）由（1）知.‎ 令,得或,‎ 当时, 在上是增函数,当时,在上是减函数,当时, 在 上是增函数,从而在处取到极大值, 在处取到极小值.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质.‎ ‎21．已知函数．‎ 求函数的单调区间；‎ 若对上恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】分析：（1）正确求得函数的导函数是关键，再求得导函数后，利用f'（x）＞0，解自变量的取值范围时要对参数a进行讨论，很明显由f′（x）以及x＞0，可分a≤0和a＞0来讨论得解．‎ ‎（2）由f（x）≥0对x∈[1，+∞）上恒成立可分a≤1和a＞1来讨论转化为函数的最小值大于等于0的问题来求解．‎ 详解：解：Ⅰ ‎ 当时， ，‎ 在上为增函数 当时，，‎ 在上为减函数，在上为增函数       ‎ Ⅱ，‎ 当时，在上恒成立，则是单调递增的，‎ 则恒成立，则 当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以时，这与恒成立矛盾，故不成立 ‎ 综上：．‎ 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎