2018届二轮复习圆锥曲线的基本问题学案（江苏专用）
专题11：圆锥曲线的基本问题(两课时)
班级 姓名 ．
一、课前测试
1．(1)椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是 ．
(2)若a≠0，则抛物线y＝4ax2 的焦点坐标为 ．
答案：(1)3或5；(2) (0，)．
2．(1) 已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2．
若△PF1F2的面积为9，则b的值为__________．
(2)已知定点A(3，2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点P是抛物线上的动点，当PA＋PF最小时，
点P的坐标为 ．
(3) 点F为椭圆＋＝1的右焦点，过点F且倾斜角为的直线交椭圆于A,B两点(AF
b>0)的左、右焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足＝λ(λ∈R)，PO⊥F2M，O为坐标原点．
(1) 若椭圆方程为＋＝1，且P(2，)，求点M的横坐标；
(2) 若λ＝2，求椭圆离心率e的取值范围．
答案：(1)；(2) (,1)
〖教学建议〗
一、主要问题归类与方法：
1．求点的坐标：利用直线相交，求两直线的交点．
2．求离心率的取值范围：①设点M的坐标，用向量关系求出点P的坐标，利用点P坐标的范围求解；
②利用方程有解求离心率取值范围．
二、方法选择与优化建议：
1．直接利用直线PO⊥F2M，从而得出点P的坐标．
2．求离心率的范围，本质就是要建立一个关于a，b，c的不等量关系，注意到点P是椭圆上的点，所以考虑建立a，b，c与点P的横坐标或纵坐标的关系，利用点P的坐标的取值范围来得到不等式．
A
x
y
B
F
M
O
N
l
l′
例3、已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，过F
作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A，B两点，线段AB的中垂线l′交x轴于点M．
（1）若BF＝2，求B点坐标；
（2）问：是否为定值．
答案：（1）（，±）．
（2）是定值为．
〖教学建议〗
一、主要问题归类与方法：
1．焦半径的问题，可以看成线段长度，利用两点间的距离公式，也可与准线联系，利用第二定义．
2．弦长和过焦点弦长，利用弦长公式和第二定义．
3．“点差法”的运用．
二、方法选择与优化建议：
1．求B点坐标可以利用点B在椭圆上以及BF＝2，通过解方程组进行求解；也可以利用圆锥曲线的统一定义求解．本题可以提醒学生回顾如何求点B与左焦点之间的距离．
2．涉及弦所在直线的斜率和中点时可利用“点差法”．
3．由于弦AB是过焦点的弦，所以求AB长的时候用到了圆锥曲线的统一定义，利用圆锥曲线的统一定义求解显然简化运算过程．
4．灵活运用了平面几何性质，利用圆锥曲线的统一定义结合梯形中位线定理求AB的长．
四、反馈练习
1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为 ．
答案：＋＝1 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B,C两点，且∠BFC＝90°,则该椭圆的离心率是 .
答案: (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)
3．已知方程－=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 .
答案：(–1,3) (考查双曲线的标准方程及几何性质)
4．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C 的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 ．
答案： (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)
5．过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
答案： (考查离心率的计算，点差法，中点坐标公式)
6．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．
若AF1＝3F1B，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．
答案：x2＋y2＝1 (考查用待定系数法求椭圆方程，利用向量法研究点坐标之间的关系)
7．点M是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若ΔPQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是 ．
答案：(0，) (考查直线与圆相切，圆的几何性质，椭圆的方程及离心率的计算)
x
y
O
A
P
B
8．如图，点A是椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)的下顶点．
过A作斜率为1的直线交椭圆于另一点P，点B在y 轴上，
且BP∥x轴，·＝9，若B点坐标为(0，1)，则椭圆
方程是 ．
答案：＋＝1 (考查平面图形的几何性质，求椭圆方程，向量的数量积运算)
9．已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，
则这样的点P有________个．
答案：6 (考查椭圆的几何性质，焦点三角形)
10．椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是 ．
答案：(，)∪(，1) (考查椭圆的定义，焦点三角形，标准方程和简单几何性质)
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C．
F1
F2
O
x
y
B
C
A
(第11题)
(1)若点C的坐标为(，)，且BF2＝，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
答案：(1) ＋y2＝1；(2)．
(考查求椭圆的标准方程，离心率问题)
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 过F的直线与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P、C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．
答案：(1) ＋y2＝1； (2) y＝x－1或y＝－x＋1．
(考察椭圆的方程，直线与椭圆位置关系)
13．设椭圆＋y2＝1(a＞1).
（1）求直线y＝kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（2）若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.
答案：(1)；(2) (0，]
(考查直线被椭圆截得弦长，圆与椭圆位置关系)
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点F1、F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1、F2分别作倾斜角都为α(α≠0)的两条直线AB、DC，分别交椭圆E于点A、B和D、C.当α＝时，点B坐标为(0，1)．
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 当α变化时，讨论线段AD与BC长度之间的关系，并给出证明；
(3) 当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值及对应的α值．
答案：(1) ＋y2＝1；(2) AD＝BC；(3)α＝.
(考查椭圆方程，直线被椭圆截得弦长及四边形面积的范围、最值)
