2006年天津市高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】
2006年天津市高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1. i是虚数单位，i1+i=( )
A.12+12i B.-12+12i C.12-12i D.-12-12i
2. 如果双曲线的两个焦点分别为F1(-3, 0)、F2(3, 0)，一条渐近线方程为y=2x，那么它的两条准线间的距离是（ ）
A.63 B.4 C.2 D.1
3. 设变量x，y满足约束条件y≤x，x+y≥2，y≥3x-6， 则目标函数z=2x+y的最小值为( ）
A.2 B.3 C.4 D.9
4. 设集合M={x|0
0且a≠1)的图象关于直线y=x对称，记g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]．若y=g(x)在区间[12，2]上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A.[2, +∞) B.(0, 1)∪(1, 2) C.[12，1) D.(0,12]
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11. (2x+1x)7的二项展开式中x的系数是________（用数学作答）．
12. （福建厦门一中第二学期开学考）设a与b的夹角为θ，且a=(3,3)，2b-a=(-1,1)，则cosθ=________．
13. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1．若二面角C-AB-C1的大小为60∘，则点C到平面ABC1
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的距离为________．
14. 设直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A,B两点，且弦AB的长为23，则a=________．
15. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=________吨．
16. 设函数f(x)=1x+1，点A0表示坐标原点，点An（n, f(n)）(n∈N*)，若向量an→=A0A1→+A1A2→+…+An-1An→，θn是an→与i→的夹角，（其中i→=(1,0)），设Sn=tanθ1+tanθ2+...+tanθn，则limn→∞Sn=________．
三、解答题（共6小题，满分76分）
17. 如图，在△ABC中，AC=2，BC=1，cosC=34．
（1）求AB的值；
（2）求sin(2A+C)的值．
18. 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．
（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；
（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；
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19. 如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF= // 12BC．
（1）证明FO // 平面CDE；
（2）设BC=3CD，证明：EO⊥平面CDF．
20. 已知函数f(x)=4x3-3x2cosθ+132，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤π2．
（1）当cosθ=0时，判断函数f(x)是否有极值；
（2）要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间(2a-1, a)内都是增函数，求实数a的取值范围．
21. 已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且xn+1xn=λxnxn-1，yn+1yn≥λynyn-1（λ为非零参数，n=2，3，4，…）．
（1）若x1，x3，x5成等比数列，求参数λ的值；
（2）当λ>0时，证明xn+1yn+1≤xnyn(n∈N*)；当λ>1时，证明：x1-y1x2-y2+x2-y2x3-y3+…+xn-ynxn+1-yn+1<λλ-1(n∈N*)．
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22. 如图，以椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆．过椭圆右焦点F(c, 0)(c>b)作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A．连接OA交小圆于点B．设直线BF是小圆的切线．
（1）求证c2=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；
（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，求证OP→⋅OQ→=12b2．
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参考答案与试题解析
2006年天津市高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1.A
2.C
3.B
4.B
5.A
6.B
7.C
8.D
9.A
10.D
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11.280
12.31010
13.34
14.0
15.20
16.1
三、解答题（共6小题，满分76分）
17.解：（1）由余弦定理，AB2=AC2+BC2-2AC⋅BC⋅cosC=4+1-2×2×1×34=2．
那么，AB=2
（2）解：由cosC=34，且00的情况．
当x变化时，f'(x)的符号及f(x)的变化情况如下表：
x
(-∞, 0)
0
(0, cosθ2)
cosθ2
(cosθ2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
因此，函数f(x)在x=cosθ2处取得极小值f(cosθ2)，且f(cosθ2)=-14cos3θ+132．
要使f(cosθ2)>0，必有-14cos3θ+132>0，
可得00，x1=x2=1及y1=y2=2，可得xn>0，yn>0．由不等式的性质，有yn+1yn≥λynyn-1≥λ2yn-1yn-2...≥
λn-1y2y1=λn-1；
另一方面，xn+1xn=λxnxn-1=λ2xn-1xn-2...λn-1x2x1=λn-1．
因此，yn+1yn≥λ=n-1xn+1xn(n∈N*)．故xn+1yn+1≤xnyn(n∈N*)．
(II)当λ>1时，由(I)可知，yn>xn≥1(n∈N*)．
又由(I)xn+1yn+1≤xnyn(n∈N*)，则yn+1-xn+1xn+1≥yn-xnxn，
从而yn+1-xn+1yn-xn≥xn+1xn(n∈N*)．
∴ x1-y1x2-y2+x2-y2x3-y3+…+xn-ynxn+1-yn+1=1-(1λ)21-1λ<λλ-1(n∈N*)
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22.解：（1）由题设条件知，Rt△OFA∽Rt△OBF，
故OFOA=OBOF，即ca=bc，因此c2=ab．①
在Rt△OFA中，FA=OA2-OF2=a2-c2=b
于是，直线OA的斜KOA=bc．设直线BF的斜率为k，k=-1kOA=-cb．
所以直线BF的方程为：y=-cb(x-c)
直线BF与y轴的交点为M(0,c2b)即(0,a)．
（2）由（1），得直线BF得方程为y=kx+a，k2=c2b2=abb2=ab②
由已知，P(x1, y1)，Q(x2, y2)，则它们的坐标满足方程x2a2+y2b2=1y=kx+a③
由方程组③消y，并整理得(b2+a2k2)x2+2a3x2+2a3kx+a4-a2b2=0，④
由式①、②和④，x1x2=a4-a2b2b2+a2k2+a2(a2-b2)b2+a2ab=a2c2b2+a3b=a3b2b3+a3.x1+x2=-2a3kb2+a2k2
y1y2=(kx1+a)(kx2+a)=k2x1x2+ka(x1+x2)+a2=k2a3b2b3+a3+ka-2a3kb2+a2k2+a2=a4ba3+b3-2a5a3+b3+a2=a4b-a5+a2b3a3+b3=a3(ab-a2)+a2b3a3+b3=-b2a3+a2b3a3+b3
综上，得到OP→⋅OQ→=x1x2+y1y2=a2b3a3+b3，
又因a2-ab+b2=a2-c2+b2=2b2，得
OP→⋅OQ→=a2b3a3+b3=a2b3(a+b)⋅2b2=ab22(a+b)=ac22(a+b)=a(a2-b2)2(a+b)=12(a2-ab)=12(a2-c2)=12b2
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