2018-2019学年四川省棠湖中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年四川省棠湖中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 四川省棠湖中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．命题，的否定为 A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 全称命题的否定为特称命题，故答案为，，故选D.‎ ‎2．焦点为，，长轴长为10的椭圆的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意知： 所以有 ，且焦点在 轴，故方程为，选B.‎ ‎3．已知点M（4，t）在抛物线上，则点M到焦点的距离为（ 　）‎ A．5 B．6‎ C．4 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】由抛物线定义得点M到焦点的距离为 ,而 ,所以点M到焦点的距离为,选A.‎ ‎4．若平面中，，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 时可以相交,所以充分性不成立;当,时成立,这是因为由可得内一直线垂直,而,可得内一直线 ,因此 ,即得.选B.‎ ‎5．若函数的唯一零点同时在区间，，内，则下列命题中正确的是（ ）‎ A．函数在区间内有零点 B．函数在区间或内有零点 C．函数在区间内无零点 D．函数在区间内无零点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：题中三个区间的交集是，但到底是小于1还是大于1或者就等于1，是未知的，因此A、B、C均错．‎ 详解：由题意函数的唯一零点在区间上，因此在上无零点，只有D正确．‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查函数的零点，解题时要掌握零点存在定理的意义．在一个区间内存在零点，那么在此区间的内任何数都可能是零点，零点存在定理并没有说明零点的大小．‎ ‎6．在平面内，已知两定点间的距离为2，动点满足.若，则的面积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 在平面内，已知两定点，间的距离为2，动点满足，‎ 所以动点在以A,B为焦点的椭圆上，其中 由余弦定理可得：， ‎ 整理得:，解得：.‎ 则的面积为.‎ 故选B.‎ ‎7．若函数的极小值为-1，则函数的极大值为 A．3 B．-1 C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：求出导函数，确定极小值点和极大值点，由极小值确定，再求得极大值．‎ 详解：，显然当时，，当时，，∴是极大值点，1是极小值点，于是有，，‎ 从而，即极大值为3．‎ 故选A．‎ 点睛：本题考查用导数求函数的极值．解题时求出导函数，解不等式（或）确定函数的单调区间，从而可得极值点．‎ ‎8．若直线过圆的圆心，则的值为（ ）‎ A．-1 B．1 C．3 D．-3‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．‎ 解答：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2），‎ 代入直线3x+y+a=0得：-3+2+a=0，∴a=1，‎ 故选 C。‎ 点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围 视频 ‎9．（2015陕西理科）设，若，，，则下列关系式中正确的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C．‎ ‎【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．‎ 视频 ‎10．若函数 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：选项A中，令 具有性质，故选A.‎ 考点：导数及其性质.‎ 视频 ‎11．已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则的最大值为（ ）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意，AC为直径，所以,当且仅当点B为（-1，0）时，取得最大值7，故选B.‎ 考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质 ‎【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想. 由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.‎ ‎12．已知三次函数在是增函数，则的取值范围是（ ）‎ A．或 B． C． D．以上皆不正确 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由于函数在上递增，故导函数恒为非负数，即恒成立，其判别式，解得，故选.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知， 为虚数单位，若为实数，则的值为__________．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】为实数，‎ 则.‎ ‎【考点】 复数的分类 ‎【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．‎ 复数，‎ 当时， 为虚数，‎ 当时， 为实数，‎ 当时， 为纯虚数.‎ ‎14．已知函数，则在x=1处的切线方程为_________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导，然后把代入导函数中，求出斜率，根据点斜式写出方程，化为一般方程.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，,而,所以切线方程为 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数求曲线的切线问题，重点考查了导数的几何意义.‎ ‎15．已知圆锥的高为3，侧面积为，若此圆锥内有一个体积为的球，则 的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：球的半径最大时球必定是圆锥的内切球且半径也是轴截面的内切圆的半径，利用等积法（轴截面的面积的两种不同计算方法）可以求得半径.‎ 详解：设圆锥的母线长，底面的半径为，则即 ‎，又，解得.‎ 当球的体积最大时，该球为圆锥的内切球，设内切球的半径为，则 ‎，故，所以.‎ 点睛：对于圆锥中的基本量的计算，可以利用轴截面来考虑，因为它集中了圆锥的高、底面的半径和圆锥的母线长.‎ ‎16．设F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线上，‎ ‎∴.‎ 考点：双曲线的标准方程及其性质.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行 等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用，焦点坐标，渐近线方程等性质，‎ 也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知命题函数在区间单调递增，命题函数 定义域为，若命题“且”为假，“或”为真，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先根据二次函数单调性确定 的取值范围；根据对数真数恒大于零得的取值范围；再根据命题“”为假，“”为真得，最后分两种情况分类求解集，并集为实数的取值范围.‎ 试题解析： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．已知函数，其中，且曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）若曲线与直线有三个不同的交点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由切线方程知，列方程组可求得；‎ ‎（2）题意说明方程有三个不同的实根，即函数有三个不同的零点.，由导数求出极大值和极小值，得出关于极大值和极小值的不等关系可得的范围．‎ 详解：（1），‎ 因为切线方程为，所以切点为，切线斜率为.‎ 于是， ‎ ‎.‎ 解得 ，.‎ ‎（2）因为曲线与直线有三个不同交点，‎ 所以方程有三个不同的实根，即函数有三个不同的零点. ‎ 易得，令得:，. ‎ 极大值 极小值 所以的极大值为，所以的极小值为，‎ 于是，解得.‎ 点睛：曲线交点问题与函数的零点问题经常相互转化，在函数极值容易求得的情况下，象本题，问题转化为函数有三个不同的零点.，即且，从而可得参数范围．问题也可转化为有三个解，因此有．‎ ‎19．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线的极坐标方程是.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线与轴正半轴及轴正半轴交于点，在第一象限内曲线上任取一点，求四边形面积的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）把整合成，再利用就可以得到曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）因为在椭圆上且在第一象限，故可设，从而所求面积可用的三角函数来表示，求出该函数的最大值即可.‎ 详解：（Ⅰ）由题可变形为，‎ ‎∵，，∴，∴.‎ ‎（Ⅱ）由已知有，，设，.‎ 于是由 ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 由得，于是，‎ ‎∴四边形最大值.‎ 点睛：直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生以便转化.另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.‎ ‎20．近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：‎ ‎（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？‎ ‎（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送骑行券.用户可以将骑行券用于骑行付费，也可以通过转赠给好友.某用户共获得了5张骑行券，其中只有2张是一元券.现该用户从这5张骑行券中随机选取2张转赠给好友，求选取的张中至少有1张是一元券的概率.‎ 参考公式：，其中.‎ ‎【答案】(1) 在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由列联表的数据，有 ‎ . 故在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.‎ ‎（2）把张一元券分别记作，，其余张券分别记作，，.‎ 则从张骑行券中随机选取张的所有情况为：，，，，，，，，，.共种.‎ 记“选取的张中至少有张是一元券”为事件，则事件包含的基本事件个数为. ‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了独立性检验以及古典概型概率的求法.重点考查了的计算，考查了运算能力.‎ ‎21．椭圆（）的离心率是，点在短轴上，且。‎ ‎（1）球椭圆的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点。是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由已知，点C，D的坐标分别为（0，－b），（0，b）‎ 又点P的坐标为（0，1），且＝－1‎ 于是，解得a＝2，b＝‎ 所以椭圆E方程为.‎ ‎（Ⅱ）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1‎ A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）‎ 联立，得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0‎ 其判别式△＝（4k）2＋8（2k2＋1）＞0‎ 所以 从而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋（y1－1）（y2－1）]‎ ‎＝（1＋λ）（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1‎ ‎＝‎ ‎＝－‎ 所以，当λ＝1时，－＝－3‎ 此时，＝－3为定值 当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD 此时＝－2－1＝－3‎ 故存在常数λ＝－1，使得为定值－3.‎ 考点：本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，在上恒成立，求整数的最大值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）3‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）先求导数，再解不等式，根据a的大小讨论单独区间，（2）先参变分离，转化研究函数最小值，利用导数可得单调性以及最小值取值范围，最后确定整数的最大值.‎ 详解：（1），‎ 当时，，则在上为增函数，‎ 当时，由，得，则在上为增函数；‎ 由，得，则在上为减函数.‎ 综上，当时，在上为增函数；‎ 当时，在上为增函数，在上为减函数.‎ ‎（2）由题意，恒成立，即，‎ 设，则，‎ 令.则，‎ 所以，在上为增函数，‎ 由，，，‎ 故在上有唯一实数根，‎ 使得，‎ 则当时，；当时，,‎ 即在上为减函数，上为增函数，‎ 所以在处取得极小值，为，‎ ‎∴，由，得整数的最大值为.‎ 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. ‎