2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第6章

2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第6章

第五节　综合法与分析法、反证法 ‎[考纲传真]　1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点．‎ ‎(对应学生用书第89页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．直接证明 内容 综合法 分析法 定义 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法.‎ 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．‎ 思维 过程 由因导果 执果索因 框图 表示 →→…→‎ →→…→‎ 书写 格式 因为…，所以…或由…，得…‎ 要证…，只需证…，即证…‎ ‎2．间接证明 ‎ ‎ 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．‎ ‎ (1)反证法的定义：在假定命题结论反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法．‎ ‎ (2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．(　　)‎ ‎ (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)‎ ‎ (3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．(　　)‎ ‎ (4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　　)‎ ‎ [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0 ，只要证明(　　)‎ ‎ A．2ab－1－a2b2≤0‎ ‎ B．a2＋b2－1－≤0‎ ‎ C．－1－a2b2≤0‎ ‎ D．(a2－1)(b2－1)≥0‎ ‎ D　[a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.]‎ ‎3．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)‎ ‎ A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根 ‎ B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根 ‎ C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根 ‎ D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根 ‎ A　[“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”，故选A．]‎ ‎4．已知a，b，x均为正数，且a>b，则与的大小关系是__________．‎ ‎ >　[∵－＝>0，∴>.]‎ ‎5．(教材改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__________三角形．‎ ‎ 【导学号：00090218】‎ ‎ 等边　[由题意2B＝A＋C，‎ ‎ 又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，‎ ‎ 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，‎ ‎ ∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，‎ ‎ ∴A＝C，∴A＝B＝C＝，‎ ‎ ∴△ABC为等边三角形．]‎ ‎(对应学生用书第90页)‎ 综合法 ‎　对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：‎ ‎ ①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；‎ ‎ ②f(1)＝1；‎ ‎ ③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．‎ ‎ (1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；‎ ‎ (2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝(x∈[0,1])是否是理想函数．‎ ‎ 【导学号：00090219】‎ ‎ [解]　(1)证明：取x1＝x2＝0，则x1＋x2＝0≤1，∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0. 2分 ‎ 又对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0，∴f(0)≥0.于是f(0)＝0. 5分 ‎ (2)对于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不满足新定义中的条件②，∴f(x)＝2x(x∈[0,1])不是理想函数. 7分 ‎ 对于f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然f(x)≥0，且f(1)＝1.对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，‎ ‎ f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－x－x＝2x1x2≥0，即f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)．‎ ‎ ∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数. 9分 ‎ 对于f(x)＝，x∈[0,1]，显然满足条件①②.对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x ‎2≤1，‎ ‎ 有[f(x1＋x2)]2－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2＋x2)＝－2≤0，即[f(x1＋x2)]2≤[f(x1)＋f(x2)]2，‎ ‎ ∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件③.‎ ‎ ∴f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函数. 11分 ‎ 综上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数，f(x)＝2x(x∈[0,1])与f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函数. 12分 ‎ [规律方法]　综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用．‎ ‎[变式训练1]　已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像在交点(0,0)处有公共切线．‎ ‎ (1)求a，b的值；‎ ‎ (2)证明：f(x)≤g(x)．‎ ‎ [解]　(1)f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2， 2分 ‎ 由题意得 ‎ 解得a＝0，b＝1. 5分 ‎ (2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)‎ ‎ ＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x>－1)．‎ ‎ h′(x)＝－x2＋x－1＝. 8分 ‎ 所以h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．‎ ‎ h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x). 12分 分析法 ‎　已知a>0，求证：－≥a＋－2.‎ ‎ [证明]　要证－≥a＋－2，‎ ‎ 只需要证＋2≥a＋＋. 2分 ‎ 因为a>0，故只需要证2≥2，‎ ‎ 即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2， 8分 ‎ 从而只需要证2≥，‎ ‎ 只需要证4≥2，‎ ‎ 即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立． 12分 ‎ [规律方法]　1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．‎ ‎ 2．分析法的特点和思路是“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．‎ ‎[变式训练2]　已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，C．‎ ‎ 求证：＋＝. 【导学号：00090220】‎ ‎ [证明]　要证＋＝，‎ ‎ 即证＋＝3，也就是＋＝1， 3分 ‎ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，‎ ‎ 需证c2＋a2＝ac＋b2， 5分 ‎ 又△ABC三内角A，B，C成等差数列，‎ ‎ 故B＝60°，‎ ‎ 由余弦定理，得 ‎ b2＝c2＋a2－2accos 60°， 10分 ‎ 即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．‎ ‎ 于是原等式成立. 12分 反证法 ‎　设{an}是公比为q的等比数列．‎ ‎ (1)推导{an}的前n项和公式；‎ ‎ (2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．‎ ‎ [解]　(1)设{an}的前n项和为Sn，‎ ‎ 当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；‎ ‎ 当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①‎ ‎ qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②‎ ‎ ①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，‎ ‎ ∴Sn＝，∴Sn＝ 5分 ‎ (2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，‎ ‎ (ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，‎ ‎ a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，‎ ‎ aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1. 8分 ‎ ∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.‎ ‎ ∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，‎ ‎ ∴q＝1，这与已知矛盾．‎ ‎ ∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列. 12分 ‎ [规律方法]　用反证法证明问题的步骤：‎ ‎ (1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立；(否定结论)‎ ‎ (2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)‎ ‎ (3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)‎ ‎[变式训练3]　已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根．‎ ‎ [证明]　假设三个方程都没有实数根，则 ‎ ⇒ 6分 ‎ ∴－

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