数学理卷·2017届江西省赣州市寻乌中学高三上学期第三次月考（2016

数学理卷·2017届江西省赣州市寻乌中学高三上学期第三次月考（2016

数学（理）试卷 一、选择题 ‎1.设集合，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若函数则（为自然对数的底数）（ ）．‎ A．0 B．1 C．2 D．‎ ‎3.已知为第二象限角，且，则的值是（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.设且，则“函数”在上是增函数是“函数”“在上是增函数”的（ ）．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5.定积分等于（ ）．‎ A． B． C. D．‎ ‎6.若函数的图像向右平移个单位长度后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（ ）．‎ A． B． C. D．‎ ‎7.设数列是由正数组成的等比数列，为其前项和，已知，则（ ）．‎ A． B． C. D．‎ ‎8.已知某几何体的三视图如右图所示，其中，主（正）视图，左（侧）视图均是由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接直角三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ）．‎ A． B． C. D．‎ ‎9.若外接圆的半径为1，圆心为，且，且，则等于（ ）．‎ A． B． C. D．3‎ ‎10.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）．‎ A． B． C. 3 D．2‎ 二、填空题 ‎11.已知向量，向量，且，则实数等于 ．‎ ‎12. ，计算，推测当时，有 ．‎ ‎13.设实数满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为 ．‎ ‎14.若二次函数的图像和直线无交点，现有下列结论：‎ ‎（1）方程一定没有实数根；‎ ‎（2）若，则不等式对一切实数都成立；‎ ‎（3）若，则必存在实数，使；‎ ‎（4）函数的图像与直线一定没有交点，‎ 其中正确的结论是 （写出所有正确结论的编号）．‎ ‎15．已知椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若是线段上一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围为 ．‎ 三、解答题 ‎ ‎16.在中，角的对边分别为，且角成等差数列.‎ ‎（1）若，求边的值；‎ ‎（2）设，求的最大值.‎ ‎17.已知以点为圆心的圆过原点.‎ ‎（1）设直线与圆交于点，若，求圆的方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，设，且分别是直线和圆上的动点，求的最大值及此时点的坐标.‎ ‎18. 在四棱锥中，侧面底面，底面是直角梯形，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）设为侧棱上异于端点的一点，，试确定的值，使得二面角的大小为45°.‎ ‎19.已知等差数列满足：，该数列的前三项分别加上1,1,3后顺次成为等比数列的前三项.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）设，若恒成立，求的最小值.‎ ‎20.已知函数，函数.‎ ‎（1）试求的单调区间.‎ ‎（2）若在区间上是单调递增函数，试求实数的取值范围：‎ ‎（3）设数列是公差为1，首项为1的等差数列，数列的前项和为，求证：当时，.‎ ‎21.已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，为椭圆的左、右焦点. 为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线交椭圆于两点.‎ ‎①若轴上任意一点到直线与距离相等，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；‎ 若直线的斜率是直线斜率的等比中项，求面积的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BCDAA 6-10: DBCDA ‎ 二、填空题 ‎11. 9 12. 13. 4 14. ①②④ 15. ‎ 三、解答题 ‎16.试题解析：（1）因为角成等差数列，所以，‎ 因为，所以，‎ 因为，，‎ 因为，所以，‎ 所以当，即时，有最大值………………………12分 ‎17.试题解析：（1）∵，所以则原点在的中垂线上，‎ 设的中点为，则，∴三点共线.‎ ‎∵直线的方程是，∴直线的斜率，解得或，∴圆心为或，‎ ‎∴圆的方程为或.‎ 由于当圆方程为时，圆心到直线的距离，‎ 此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆的方程为.‎ ‎（2）在三角形中，两边之差小于第三边，故，‎ 又三点共线时最大，‎ 所以的最大值为，‎ ‎∵，∴直线的方程为，‎ ‎∴直线与直线的交点的坐标为.‎ ‎18.试题解析：（1）‎ 证明：因为侧面底面，所以底面，‎ 所以，又因为，即，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，‎ 所以，‎ 所以，所以，‎ 由底面，可得，‎ 又因为，所以平面.‎ ‎（2）由（1）知平面的一个法向量为，且，所以，又，所以.‎ 设平面的法向理为，因为，由，，‎ 得，令，则可得平面的一个法向量为，‎ 所以，解得或，‎ 又由题意知，故.‎ ‎19.试题解析：（1）设分别为数列的公差、数列的公比.‎ 由题意知，，分别加上1，1，3得2，，，‎ ‎，所以，‎ 又，所以，所以，所以，‎ 由此可得，所以.‎ ‎（2），①‎ ‎∴，②‎ 由①---②得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴使恒成立的的最小值为3.‎ ‎20.试题解析：（1），所以，‎ 因为，所以，令，‎ 所以的单调递增区间是；的单调递减区间是；‎ ‎（2）若在是单调递增函数，则恒成立，即恒成立，‎ 即，因为，所以，故.‎ ‎（3）设数列是公差为1首项为1的等差数列，所以，‎ 当时，由（2）知：在上为增函数，‎ ‎，当时，，所以，即，‎ 所以；‎ 令，则有，当，有，‎ 则，即，所以时，，‎ 所以不等式成立.‎ 令时，‎ 将所得各不等式相加，得 ‎，‎ 即.‎ ‎.‎ 考点：应用导数研究函数的单调性，等差数列的通项公式，“累加法”.‎ ‎21.（1）由抛物线的方程得其焦点为，所以椭圆中，‎ 当点为椭圆的短轴端点时，面积最大，此时，所以，‎ 为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）联立，得，‎ ‎，得（*）‎ 设，则，‎ ‎①，由，得，所以，即，得，‎ 所以直线的方程为，因此直线恒过定点，该定点坐标为.‎ ‎②因为直线的斜率是直线斜率的等比中项，所以，即，得 ‎，得，‎ 所以，又，所以，代入（*），得.‎ ‎.‎ 设点到直线的距离为，则，所以，‎ 当且仅当，即时，面积取最大值.‎ 故面积的取值范围为.‎