高二数学上学期期末考试试题 理（普通班，含解析）

高二数学上学期期末考试试题 理（普通班，含解析）

‎【2019最新】精选高二数学上学期期末考试试题 理（普通班，含解析）‎ 高二数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 命题：“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为 的否定是 所以命题：“”的否定是,选C ‎2. 已知空间向量，，则等于（ ）‎ A. B. 2 C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ,选A ‎3. “”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B - 15 - / 15‎ ‎【解析】且.‎ 所以“”是“”的必要不充分条件.‎ 故选B.‎ ‎4. 已知变量满足约束条件则的最小值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. -3 D. -4‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意画出可行域，是一个封闭的三角形区域，目标函数， ‎ 当目标函数过点 时有最小值，代入得到-4.‎ 故答案为：D。‎ ‎5. 在长方体中，，，，是中点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ,选C ‎6. 函数的导数为，则（ ）‎ A. B. C. -1 D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题 ，‎ ‎.故选A.‎ - 15 - / 15‎ ‎7. 在等差数列中，已知，则该数列的前12项和等于（ ）‎ A. 36 B. 54 C. 63 D. 73‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ,选B ‎8. 设椭圆的左、右焦点分别为，以为直径的圆与直线相切，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题以为直径的圆的圆心为（0，0），半径为c,‎ 所以 ，即 ，解得.故选C.‎ 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎9. 已知，，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ,选B - 15 - / 15‎ ‎10. 已知过双曲线右焦点，斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点，点为左焦点，且，则此双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，∵过双曲线右焦点的直线，∴，代入双曲线，可得，∴，∴，∴，∵，∴，故选C.‎ ‎11. 函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 在上恒成立,所以 ‎ 令 所以当时, ,即,选C ‎12. 已知长方体，，，为线段上一点，且，则与平面所成的角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A - 15 - / 15‎ ‎..................‎ 设平面一个法向量为 ，则由 ‎ 因为 ，所以与平面所成的角的正弦值为，选A 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题一个焦点（3，0）到一条渐近线 的距离 .‎ ‎14. 若抛物线与抛物线异于原点的交点到抛物线的焦点的距离为3，则抛物线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ - 15 - / 15‎ ‎【解析】根据题意画出图像，由抛物线的定义，曲线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，设A， 代入曲线，得到。故方程为 故答案为：。‎ 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义。一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。‎ ‎15. 已知等比数列的前项和为，且，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为等比数列的前项和为 ，所以 ‎ 因为，所以 ‎ 令 所以当时， 取最大值 ， ‎ 点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法 先研究数列的单调性，可以用或也可以转化为函数最值问题或利用数形结合求解..‎ ‎16. 如图，在长方体中，，，点在棱上.若二面角的大小为，则__________．‎ - 15 - / 15‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过点作于，连接，如图所示 则为直线与平面所成的角 ‎∵直线与平面所成的角为 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵≌‎ ‎∴‎ ‎∴，故答案为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 命题：“方程有两个正根”，命题：“方程无实根”，这两个命题有且只有一个成立，试求实数的取值范围.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】试题分析：先根据二次方程实根分布得命题为真时实数的取值范围，再根据判别式小于零得命题为真时实数的取值范围，最后根据两个命题有且只有一个成立，分两种情况讨论，分别求解，再求并集 试题解析：命题为真时：解得，‎ 命题为真时：，解得，‎ - 15 - / 15‎ 当真假时：故有，‎ 当假真时：故有，‎ 实数的取值范围为：或.‎ ‎18. 的三个内角所对的对边分别为，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的大小.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由及正弦定理，得，‎ 又中，，可得.‎ ‎（2）由结合（1）中的，及可得，所以，，由余弦定理可求得.‎ 试题解析：（1）∵，‎ ‎∴由正弦定理，得，‎ 又中，，∴.‎ ‎（2）时，，又，∴，‎ 又，∴，∴，，‎ ‎∴，∴.‎ ‎19. 如图，直三棱柱中，，，，点是中点，点在上，且.‎ - 15 - / 15‎ ‎（1）求与平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）建立空间坐标系，求得面的法向量和直线的方向向量，利用向量夹角的求法可得到正弦值；（2）建立空间坐标系，求得两个面的法向量，利用向量夹角的求法可得到余弦值.‎ 解析：‎ 由直三棱柱中，知两两互相垂直，‎ 以为轴建立空间直角坐标系，‎ ‎∵，，∴，，，，，，‎ 中点.‎ ‎(1)，，，‎ 设平面的一个法向量，则，，，‎ 取，则，‎ ‎，‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎(2)，设平面的一个法向量为，‎ 则，‎ 取，则，，‎ - 15 - / 15‎ 结合图形知，二面角的余弦值为.‎ 点睛：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，二是建系求两个面的法向量。‎ ‎20. 已知是抛物线上两点，且与两点横坐标之和为3.‎ ‎（1）求直线的斜率；‎ ‎（2）若直线，直线与抛物线相切于点，且，求方程.‎ ‎【答案】(1) 直线的斜率为 (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据已知条件，设直线AB的解析式为y=kx+t，联立直线和抛物线的解析式，利用A与B的横坐标之和为3，结合一元二次方程的根与系数的关系求出k的值；‎ ‎（2）设出过点M的切线方程，由切线与曲线只有一个交点，确定点M的坐标；再利用AM⊥BM可得kAM·kBM=-1，将相应的值代入，再结合根与系数的关系进行计算，求出b即可得到答案.‎ 试题解析：（1）设方程为，则由，得，‎ 时，设，，则，‎ 又，∴，即直线的斜率为.‎ - 15 - / 15‎ ‎（2）∵，∴可设方程为，∴，得，‎ ‎∵是切线，∴，∴，∴，‎ ‎∴，，∴，‎ ‎∵，∴，‎ 又，，，，‎ 又，，∴，，∴或，‎ 又，∴方程为.‎ ‎21. 如图，椭圆的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为，若，与轴垂直，且.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）过点且不垂直于坐标轴的直线与椭圆交于两点，已知点，当时，求满足的直线的斜率的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由两条直线平行可得，由点在曲线上可得其纵坐标为，由两者相等可得，结合，解出方程组即可；（2）设直线的方程为：，，，与椭圆方程联立利用根与系数的关系得到和，线段的垂直平分线方程为，求出与轴的交，由交点横坐标列出不等式，解出即可得出结果.‎ - 15 - / 15‎ 试题解析：(1)设，由轴，知，，∴，‎ 又由得，∴，∴，‎ 又，，‎ ‎∴，，∴椭圆方程为.‎ ‎(2)设，，直线的方程为：，‎ 联立，得，，‎ 设线段的垂直平分线方程为：.‎ 令，得，‎ 由题意知，为线段的垂直平分线与轴的交点，所以，且，所以.‎ 点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题；利用待定系数法求椭圆的方程，根据题意列出两个关于的方程组结合即可，直线与椭圆相交时正确运用一元二次方程的根与系数的关系是解题最常用的方法.‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数在区间上的值域.‎ - 15 - / 15‎ ‎（2）对于任意，都有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导数，得从而确定，再根据单调性得值域（2）先整理不等式得，转化为函数在区间为增函数，再转化为对应函数导数恒非负，分离变量得最小值，最后利用导数求函数单调性，得最值，即得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）当时，，‎ ‎，‎ 令，有，‎ 当时，，‎ 当时，‎ 得，解得：，‎ 故当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，‎ 所以当时，，可得，‎ 函数在区间上单调递减，‎ ‎，‎ ‎，‎ - 15 - / 15‎ 故函数在区间上的值域为.‎ ‎（2）由，有，‎ 故可化为，‎ 整理为：，‎ 即函数在区间为增函数，‎ ‎ ，‎ ‎，故当时，，‎ 即，‎ ‎①当时，；‎ ‎②当时，整理为：，‎ 令，有 ，‎ 当，，，有，‎ 当时，由，有 ，可得，‎ 由上知时，函数单调递减，‎ 故，‎ 故有：，可得.‎ - 15 - / 15‎ 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ - 15 - / 15‎