高考数学人教A版（理）一轮复习：第三篇 第2讲 导数的应用(一)
第2讲 导数的应用(一)
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2013·石景山模拟)若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是 ( )．
A．(－2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，2)
解析 由条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈(－2，＋∞)．
答案 A
2．(2013·郑州检测)函数f(x)＝(4－x)ex的单调递减区间是 ( )．
A．(－∞，4) B．(－∞，3)
C．(4，＋∞) D．(3，＋∞)
解析 f′(x)＝ex＋(4－x)·ex＝ex(3－x)，令f′(x)<0，由于ex>0，∴3－x<0，解得x>3.
答案 D
3．(2013·安庆模拟)下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是 ( )．
A．f(x)＝sin 2x B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x
解析 sin 2x＝2sin xcos x，(sin 2x)′＝2(cos2x－sin2x)，在(0，＋∞)不恒大于零；(x3－x)′＝3x2－1，在(0，＋∞)不恒大于零；(－x＋lnx)′＝－1＋在(0，＋∞)不恒大于零；(xex)′＝ex＋xex，当x∈(0，＋∞)时ex＋xex>0，故选B.
答案 B
4．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为 ( )．
A．{x|x>0} B．{x|x<0}
C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x<－1或0
ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数，又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数y＝x－2sin x在[0，π]上的递增区间是________．
解析 y′＝1－2cos x，令1－2cos x≥0，得cos x≤，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈R，又0≤x≤π，∴≤x≤π.
答案
6．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
解析 设切点坐标为(x0，y0)又y′＝，由已知条件解得a＝2.
答案 2
三、解答题(共25分)
7．(12分)设函数f(x)＝ax3－3x2，(a∈R)，且x＝2是y＝f(x)的极值点，求函数g(x)＝ex·f(x)的单调区间．
解 f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．
因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点．
所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1，
经验证，当a＝1时，x＝2是函数f(x)的极值点，
所以g(x)＝ex(x3－3x2)，
g′(x)＝ex(x3－3x2＋3x2－6x)
＝ex(x3－6x)＝x(x＋)(x－)ex.
因为ex>0，所以y＝g(x)的单调增区间是(－，0)和(，＋∞)；单调减区间是(－∞，－)和(0，)．
8．(13分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．
解 (1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.
当x＝时，得a＝f′＝3×2＋2a×－1，
解之，得a＝－1.
(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c.
则f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x－1)，列表如下：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
·
极小值
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－)和(1，＋∞)；
f(x)的单调递减区间是.
(3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，
有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex
＝(－x2－3x＋c－1)ex，
因为函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，
所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．
只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞)．
探究提高 利用导数研究函数单调性的一般步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．定义在R上的函数y＝f(x)满足f(4－x)＝f(x)，(x－2)·f′(x)<0，若x14，则 ( )．
A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．f(x1)与f(x2)的大小不确定
解析 ∵f(4－x)＝f(x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，由(x－2)f′(x)<0可得函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，∴当x2>x1>2时，f(x1)>f(x2)；当x2>2>x1时，∵x1＋x2>4，∴x2>4－x1>2，∴f(4－x1)＝f(x1)>f(x2)，综上，f(x1)>f(x2)，故选B.
答案 B
2．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．
下列关于函数f(x)的命题：
①函数y＝f(x)是周期函数；
②函数f(x)在[0,2]上是减函数；
③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当10)的单调递减区间是________．
解析 由ax－x2≥0(a>0)，解得0≤x≤a，即函数f(x)的定义域为[0，a]，f′(x)＝＝，由f′(x)<0解得x≥，因此f(x)的单调递减区间是.
答案
4．已知函数y＝－x3＋bx2－(2b＋3)x＋2－b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是________．
解析 y′＝－x2＋2bx－(2b＋3)，要使原函数在R上单调递减，应有y′≤0恒成立，∴Δ＝4b2－4(2b＋3)＝4(b2－2b－3)≤0，∴－1≤b≤3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b<－1或b>3.
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
三、解答题(共25分)
5．(12分)已知函数g(x)＝＋ln x在[1，＋∞)上为增函数，且θ∈(0，π)，f(x)＝
mx－－ln x，m∈R.
(1)求θ的值；
(2)若f(x)－g(x)在[1，＋∞)上为单调函数，求m的取值范围．
解 (1)由题意得，g′(x)＝－＋≥0在[1，＋∞)上恒成立，即≥0.
∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，
故sin θ·x－1≥0在[1，＋∞)上恒成立，只需sin θ·1－1≥0，
即sin θ≥1，只有sin θ＝1.结合θ∈(0，π)，得θ＝.
(2)由(1)，得f(x)－g(x)＝mx－－2ln x，
∴′＝.
∵f(x)－g(x)在其定义域内为单调函数，∴mx2－2x＋m≥0或者mx2－2x＋m≤0在[1，＋∞)恒成立．
mx2－2x＋m≥0等价于m(1＋x2)≥2x，即m≥，
而＝≤1，∴m≥1.
mx2－2x＋m≤0等价于m(1＋x2)≤2x，
即m≤在[1，＋∞)上恒成立．
而∈(0,1]，∴m≤0.
综上，m的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞)．
6．(13分)设函数f(x)＝ln x＋在内有极值．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)．求证：f(x2)－f(x1)>e＋2－.注：e是自然对数的底数．
(1)解 易知函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，
f′(x)＝－＝＝.
由函数f(x)在内有极值，可知方程f′(x)＝0在内有解，令g(x)＝x2－(a＋2)x＋1＝(x－α)(x－β)．
不妨设0<α<，则β>e，又g(0)＝1>0，
所以g＝－＋1<0，解得a>e＋－2.
(2)证明 由(1)知f′(x)>0⇔0β，
f′(x)<0⇔αe)，
则h′(β)＝＋1＋＝2>0，
所以函数h(β)在(e，＋∞)上单调递增，
所以f(x2)－f(x1)≥h(β)>h(e)＝2＋e－.
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