数学理卷·2018届湖南省长郡中学高三月考试题（五）（2018

数学理卷·2018届湖南省长郡中学高三月考试题（五）（2018

长郡中学2018届高三月考试卷（五）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知平面向量满足，且，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为（ ）‎ A．35 B．65 C．70 D．60‎ ‎5．如图，格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎7．已知，，则的大小为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设等比数列的前项和为，公比为，且，，成等差数列，则等于（ ）‎ A．-4 B．-2 C． 2 D．4‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A． B． C．0 D．‎ ‎10．设函数的最大值为，最小值为，则等于（ ）‎ A． B． C． 3 D．2‎ ‎11．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，则，的关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．锐角中，为角所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．‎ ‎13．已知实数满足，则的最小值为 ．‎ ‎14．已知展开式中所有项的系数的和为243，则该展开式中含项的系数为 ．‎ ‎15．已知是抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则面积的最小值是 ．‎ ‎16．正四棱锥的体积为，则该正四棱锥的内切球体积的最大值为 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ ‎17．已知单调的等比数列的前项的和为，若，且是的等差中项．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，且前项的和为，求．‎ ‎18．在如图所示的多面体中，平面，，，，，，，是的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎19．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区的年平均浓度不得超过3S微克/立方米，的24小时平均浓度不得超过75‎ 微克/立方米．某市环保局随机抽取了一居民区2016年20天的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如图表：‎ 组别 浓度（微克/立方米）‎ 频数（天）‎ 频率 第一组 ‎3‎ ‎0.15‎ 第二组 ‎12‎ ‎0.6‎ 第三组 ‎3‎ ‎0.15‎ 第四组 ‎2‎ ‎0.1‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）将这20天的测量结果按表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．‎ ‎（ⅰ）求图中的值；‎ ‎（ⅱ）在频率分布直方图中估算样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．‎ ‎（Ⅱ）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎20．已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆与轴的非负半轴交于点，过点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点，两点，连接，求的面积的最大值．‎ ‎21．已知函数（为常数）与轴有唯一的公关点．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）曲线在点处的切线斜率为，若存在不相等的正实数，满足，证明：．‎ 请考生在(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴，圆的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作斜率为1的直线，直线与圆交于两点，试求的值．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集为，且满足，求实数的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DBACA 6-10: CDAAA 11、12：CB 二、填空题 ‎13．5 14． 20 15． 16． ‎ 三、解答题 ‎17．解析：（Ⅰ）或（舍）；‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）；‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎18．解析：（Ⅰ）∵平面，平面，平面，‎ ‎∴，．又，‎ ‎∴，，两两垂直．‎ 以点为坐标原点，，，分别为轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 由已知得，，，，，，，‎ ‎∴，．‎ ‎∴，∴．‎ ‎（Ⅱ）由已知得是平面的法向量，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，即，令，得，‎ 设平面与平面所成锐二面角的大小为，‎ 则．‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎19．解析：（Ⅰ）（ⅰ）的值为0.004．‎ ‎（ⅱ）2016年该居民区年平均浓度为 ‎（微克/立方米）．‎ 因为，所以2016年该居民区年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．‎ ‎（Ⅱ）由题意，的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0.9，的可能取值为0，1，2，3．‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎．‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.001‎ ‎0.027‎ ‎0.243‎ ‎0.729‎ 或．‎ ‎20．解析：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为，则，故，‎ 所以，椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为o．‎ 故可设直线的方程为，由对称性，不妨设，‎ 由，消去得，‎ 则，将式子中的换成，得：．‎ ‎，‎ 设，则．‎ 故，取等条件为即，‎ 即，解得时，取得最大值．‎ ‎21．解析：（Ⅰ）因为函数的定义域为，且，‎ 故由题意可知曲线与轴存在公共点，又，则有 当时，，函数在定义域上递增，满足条件；‎ 当时，函数在上递减，在上递增，‎ ‎①若时，则，取，则，‎ 故由零点存在定理可知，函数在上还有一个零点，因此不符合题意；‎ ‎②若，则函数的极小值为，符合题意；‎ ‎③若，则由函数的单调性，有，取，有．下面研究函数 ‎，，因为恒成立，故函数在上递增，故，故成立，函数在区间上存在零点．‎ 不符合题意．‎ 综上所述：‎ 当时，函数的递增区间为，递减区间为；‎ 当时，函数的递增区间为，无递减区间．‎ ‎（Ⅱ）容易知道函数在处的切线斜率为，得，‎ 由（Ⅰ）可知，且函数在区间上递增．‎ 不妨设，因为，则，‎ 则有，整理得，‎ 由基本不等式得，故，整理得 ‎，即．‎ 由函数在上单调递增，所以，即．‎ ‎22．解析：（Ⅰ）由得：，∴，‎ 即：，∴的直角坐标方程为：．‎ ‎（Ⅱ）设两点对应的参数分别为，直线和圆的方程联立得：‎ ‎，所以，，．‎ 所以，．‎ ‎23．解析：（Ⅰ）可化为，‎ 即，或，或，‎ 解得，或，或；‎ 不等式的解集为．‎ ‎（Ⅱ）易知；‎ 所以，又在恒成立；‎ 在恒成立；‎ 在恒成立；‎ ‎．‎