福建省福清市2020届高三下学期3月“线上教学”质量检测 数学（理）

福建省福清市2020届高三下学期3月“线上教学”质量检测 数学（理）

绝密★启用前 福清市2020届高三年“线上教学”质量检测 数学（理科）试卷 ‎（完卷时间120分钟；满分150分）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．满分150分.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数满足，且，则 A．3 B． C． D．‎ ‎3.已知两个力，作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力，则 A． B． C． D．‎ ‎4.已知等比数列的前项和为，若，且，则 A. B. C. D. ‎ ‎5.如图1为某省2019年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是 A．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件 B．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高 C．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长 ‎6.已知，则曲线在点处的切线方程为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎7.若展开式中的系数为，则整数的值为 A． B． C． D．‎ ‎8.已知函数，若，，，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎9.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10.将曲线向左平移个单位长度，得到曲线的对称中心为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎11.已知双曲线的右焦点的坐标为，过作与的两条渐近线平行的直线，若与的渐近线分别交于两点，且四边形（为坐标原点）的面积为，则的离心率为 A．3 B．2 C． D．‎ ‎12.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若棱长为的二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ 用毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．‎ ‎13.已知，则______.‎ ‎14.某电视台的夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为 ‎，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立．某选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为_________.‎ ‎15.已知等差数列的前n项和为，且，.数列的首项为3，且，则________.‎ ‎16.过点的直线与抛物线：交于两点（在之间），是的焦点，点满足，则与的面积之和的最小值是______.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知的内角的对边分别为，设，且.‎ ‎（1）求A及a；‎ ‎（2）若，求边上的高.‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 如图，四边形是梯形，四边形是矩形，且平面平面，，，是的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ ‎2019年9月24日国家统计局在庆祝中华人民共和国成立70周年活动新闻中心举办新闻发布会指出，1952年～2018年，我国GDP查679.1亿元跃升至90.03万亿元，实际增长174倍；人均GDP从119元提高到6.46万元，实际增长70倍.全国各族人民，砥砺奋进，顽强拼搏，实现了经济社会的跨越式发展.如图是全国2010年至2018年GDP总量（万亿元）的折线图.‎ 注：年份代码1～9分别对应年份2010～2018.‎ ‎（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与年份代码的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎（2）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），并预测2021年全国GDP的总量.‎ 附注：‎ 参考数据：.‎ 参考公式：相关系数；‎ 回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 已知椭圆过点，且离心率为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）已知直线不经过点，且斜率为，若与交于两个不同点，且直线的倾斜角分别为，试判断是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由．‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 已知函数，证明：‎ ‎（1）在区间存在唯一极大值点；‎ ‎（2）有且仅有2个零点.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎22.（本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）设与交于点，点的坐标为，求.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修：不等式选讲 已知函数 ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，不等式成立，求实数的取值范围.‎ 福清市2020届高三年“线上教学”质量检测 理科数学参考答案及评分细则 评分说明：‎ ‎1．本解答给出了解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。‎ ‎4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．‎ ‎1. C 2. C 3. A 4. B 5. D 6.D ‎ ‎7.A 8. A 9. B 10.C 11.B 12.A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． ‎ ‎13. 14. 15. 16. 8‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分． ‎ ‎17.【命题意图】本题主要考查解三角形、正弦定理和余弦定理等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象的数学核心素养．满分12分． 【解析】（1）因为，根据正弦定理得，‎ ‎ 2分 又因为，‎ ‎ 3分 ‎ 4分 因为所以， 5分 ‎ 6分 ‎（2）由（1）知，‎ 由余弦定理得 ‎ 8分 因为，所以所以 9分 设BC边上的高为.‎ ‎ 10分 ‎ ‎ 即BC边上的高为. 12分 ‎18.【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，二面角等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分12分．‎ ‎【解析】（1）连结，交于，连结，如图所示，‎ 因为四边形是矩形，所以是的中点， 1分 由于是的中点，‎ 所以， 2分 由于平面，平面，‎ 所以平面. ………………………………………4分 ‎（2）因为平面平面，‎ 平面平面，，‎ 所以平面，‎ 可知两两垂直， 5分 以点为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系. ‎ 因为，则，，，，设平面的法向量为，‎ 则所以 7分 取，则， 8分 依题意，得平面的一个法向量为， 9分 ‎ ‎， 11分 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 12分 ‎19.‎ ‎【命题意图】本题主要考查线性回归、相关系数等基础知识，意在考查数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析的数学核心素养．满分12分．‎ ‎【解析】（1）由折线图中的数据和附注中参考数据得 ‎， 1分 ‎， 2分 ‎， 4分 所以， 5分 因为与的相关系数近似为0.997，说明与的线性相关程度相当高，‎ 从而可以用线性回归模型拟合与的关系. 6分 ‎（2）由已知及（1）得， 8分 ‎， 9分 所以关于的回归方程为. 10分 将2021年对应的年份代码代入回归方程，‎ 得，‎ 所以预测2021年全国GDP总量约为104.94万亿元. 12分 ‎20.【命题意图】本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算．满分12分.‎ ‎【解析】(1)由题意得， 2分 解得， 3分 所以的方程为. 4分 ‎(2)设直线，，‎ 由，得，‎ 由，解得或， 5分 则， 6分 依题意，易知与的斜率存在，所以，‎ 设直线与的斜率分别为，则，， 7分 欲证，只需证，即证. 8分 故. 9分 又，‎ 所以 ‎ 10分 ‎ 11分 所以. 12分 ‎21.【命题意图】本题主要考查函数和导数及其应用、三角函数等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分12分.‎ ‎【解析】(1)设， 1分 当时，，‎ 所以在上单调递减， 2分 又因为，， 3分 所以在上有唯一的零点，‎ 即函数在上存在唯一零点． 4分 当时，，在上单调递增;‎ 当时，，在上单调递减;‎ 所以在上存在唯一的极大值点 5分 ‎(2)①由(1)知：在上存在唯一的极大值点 所以，‎ 又因为，‎ 所以在上恰有一个零点． 6分 又因为，‎ 所以在上也恰有一个零点． 7分 ‎②当时，，，‎ 设，，‎ 所以在上单调递减，所以， 8分 所以当时，恒成立，‎ 所以在上没有零点． 9分 ‎③当时，，‎ 设，，‎ 所以在上单调递减，‎ 所以 10分 所以当时，恒成立 所以在上没有零点． 11分 综上，有且仅有两个零点． 12分 ‎22.【命题意图】本题主要考查直线的参数方程和参数的几何意义，直角坐标方程和极坐标方程的互化，直线和圆的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分10分. 【解析】(1)曲线的方程，‎ ‎∴， 2分 ‎∴， 4分 即的直角坐标方程为. 5分 ‎ ‎(2)设点对应的参数分别为.‎ 把直线(为参数)代入得，，‎ 整理得，.‎ ‎，，， 7分 ‎∴为异号， 8分 又∵点在直线上，‎ ‎∴. 10分 ‎23.【命题意图】本题主要考查解绝对值不等式和不等式恒成立等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分10分.‎ ‎【解析】当时，，‎ 当时，不等式成立； 1分 当时，，‎ ‎； 2分 当时，不成立， 3分 综上，不等式的解集为. 5分 ‎(2)当时，化为，‎ ‎， 6分 ‎， 7分 在单调递减，故； 8分 在单调递增，故， 9分 所以，‎ 所以的取值范围是. 10分