2019届二轮复习规范答题示范——函数与导数解答题学案（全国通用）

2019届二轮复习规范答题示范——函数与导数解答题学案（全国通用）

规范答题示范——函数与导数解答题 ‎【典例】 (12分)(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.‎ ‎(1)讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.‎ ‎[信息提取]‎ 看到讨论f(x)的单调性，想到先确定函数的定义域，然后对函数f(x)进行求导.‎ 看到要证f(x)≤－－2成立，想到利用导数求函数的最大值.‎ ‎[规范解答]‎ ‎(1)解　f(x)的定义域(0，＋∞)，‎ f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.‎ ‎……………………………………………………………………………………1分 若a≥0时，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，‎ ‎……………………………………………………………………………………2分 若a<0时，则当x∈时，f′(x)>0；‎ 当x∈时，f′(x)<0.‎ 故f(x)在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎……………………………………………………………………………………5分 ‎(2)证明　由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f ＝ln－1－，‎ 所以f(x)≤－－2等价于ln－1－≤－－2，即ln＋＋1≤0，‎ ‎……………………………………………………………………………………8分 设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝－1.‎ 当x∈(0，1)时，g′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.‎ 所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.‎ 故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.‎ ‎……………………………………………………………………………………10分 所以当x>0时，g(x)≤0，‎ 从而当a<0时，ln＋＋1≤0，‎ 即f(x)≤－－2.‎ ‎……………………………………………………………………………………12分 ‎[高考状元满分心得]‎ 得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问中，求导正确，分类讨论；第(2)问中利用单调性求g(x)的最大值和不等式性质的运用.‎ 得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，求出f(x)的定义域，f′(x)在(0，＋∞)上单调性的判断；第(2)问，f(x)在x＝－处最值的判定，f(x)≤－－2等价转化为ln＋＋1≤0等.‎ 得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中，求导f′(x)准确，否则全盘皆输，第(2)问中，准确计算f(x)在x＝－处的最大值.‎ ‎[解题程序]‎ 第一步：求函数f(x)的导函数f′(x)；‎ 第二步：分类讨论f(x)的单调性；‎ 第三步：利用单调性，求f(x)的最大值；‎ 第四步：根据要证的不等式的结构特点，构造函数g(x)；‎ 第五步：求g(x)的最大值，得出要证的不等式.‎ 第六步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范.‎ ‎【巩固提升】 已知函数f(x)＝x2－kln x－a，g(x)＝x2－x.‎ ‎(1)当a＝0时，若g(x)1，所以ln x>0，所以k<在(1，＋∞)上恒成立.‎ 令t(x)＝(x>1)，则t′(x)＝，‎ 由t′(x)＝0得x＝e，‎ 当1e时，t′(x)>0，t(x)在(e，＋∞)上为增函数.‎ 所以t(x)min＝t(e)＝e.‎ 所以实数k的取值范围为(－∞，e).‎ ‎(2)g(x)＝x2－x在上单调递减，在上单调递增.‎ 函数f(x)＝x2－kln x－a，f′(x)＝，‎ 当k≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不合题意.‎ 当k>0时，令f′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去).‎ 当x∈时，f′(x)<0，‎ 当x∈时，f′(x)>0，‎ 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.‎ 要使f(x)与g(x)在(0，＋∞)上具有相同的单调性，需使＝，解得k＝.‎ 所以存在常数k＝，使得函数f(x)与g(x)在(0，＋∞)上具有相同的单调性.‎