北京市石景山区2019届高三上学期期末考试数学（理）试题

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石景山区 2018—2019 学年第一学期高三期末试卷 数 学（理） 本试卷共 6 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试 卷上作答无效，考试结束后上交答题卡． 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项． 1. 已知集合 ， ，则 ＝ A. B. C. D. 2. 设 是虚数单位，复数 ，则 的共轭复数为 A. B. C. D. 3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程 序，则输出 的值为 A. B. C. D. 4. 下列函数中为偶函数的是 A. B. C. D. 5. 某四面体的三视图如图所示，该四面 体的体积为 { | 0 }P x x= ∈R ≥ { 1, 0 ,1, 2}Q = − P Q {1, 2} { 0 , 2} { 0 ,1} { 0 ,1, 2} i 2i 1 iz = − z 1+ i− 1 i+ 1 i− − 1 i− n 3 4 5 6 ln(1 ) ln(1 )y x x= + − − ln(1 ) ln(1 )y x x= + + − cosy x x= cosy x x= + 是 否 0, 0, 1S n a= = = 开始 结束 20S > 1n n= + 2a a= × S S a= + 输出 n 出 fdnjfnnn n 2a a= × 1n n= + A. B. C. D. 6. 已知平面向量 ，则下列关系正确的是 A. B. C. D. 7. 在 中， ，则 的面积为 A. B. C. D. 8. 已知函数 则下列关于函数 的零点个数 的判断正确的是 A. 当 时，有 4 个零点；当 时，有 1 个零点 B. 当 时，有 3 个零点；当 时，有 2 个零点 C. 无论 为何值，均有 2 个零点 D. 无论 为何值，均有 4 个零点 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9. 在 的展开式中， 的系数为____________．（用数字作答） 10. 设 为 等 差 数 列 的 前 项 和 ， ， 则 其 通 项 公 式 ______ ． 11. 若变量 满足约束条件 ，则 的最小值等于______． 12. 写出“ ”的一个充分不必要条件__________________． 13. 已知双曲线中心在原点，一个焦点为 ，点 在双曲线上，且线段 4 3 3 8 3 3 4 3 8 3 1 3 3 1( , ) , ( , )2 2 2 2a b= − = − ( )a b b+ ⊥  ( )a b a+ ⊥  ( ) ( )a b a b+ ⊥ −   ( ) ( )a b a b+ −  ∥ ABC△ 7 , 3, 60a c A= = ∠ = ° ABC△ 15 32 15 34 12 3 6 3 ( ) 2 1, 0, log , 0, ax xf x x x +=  > ≤ ( )( ) 1y f f x= + 0a > 0a < 0a > 0a < a a 5(1 2 )x+ 3x nS { }na n 1 33, 18a S= = na = ,x y 1 2x y x+ ≤ ≤ 2z x y= + 1 2x x + −≤ 1( 5,0)F − P 的中点坐标为 ，则双曲线的离心率为__________． 14. 2018 年个税改革方案中专项附加扣除等内容将于 2019 年全面施行．不过，为了 让老百姓尽早享受到减税红利，自 2018 年 10 月至 2018 年 12 月，先将工资所得 税起征额由 3500 元/月提高至 5000 元/月，并按新的税率表（见附录）计算纳 税． 按照税法规定，小王 2018 年 9 月和 10 月税款计算情况分别如下: 月 份 …… 纳税 所得额 起征 额 应纳 税额 适用 税率 速算 扣除数 税款 税后 工资 9 …… 6000 3500 2500 10% 105 145 5855 10 …… 6000 5000 1000 3% 0 30 5970 （相关计算公式为：应纳税额=纳税所得额–起征额， 税款=应纳税额 适用税率–速算扣除数， 税后工资=纳税所得额–税款 ） （1）某职工甲 2018 年 9 月应纳税额为 2000 元，那么他 9 月份的税款为___元； （2）某职工乙 2018 年 10 月税后工资为 14660 元，则他享受减税红利为____ 元． 附录： 原税率表（执行至 2018 年 9 月） 新税率表（2018 年 10 月起执行） 应纳税额 税率 速算 扣除数 应纳税额 税率 速算 扣除数 不超过 1500 元 3% 0 元 不超过 3000 元 3% 0 元 1500 元至 4500 元 10% 105 元 3000 元至 12000 元 10% 210 元 4500 元至 9000 元 20% 555 元 12000 元至 25000 元 20% 1410 元 9000 元至 35000 元 25% 1005 元 25000 元至 35000 元 25% 2660 元 …… …… …… …… …… …… 1PF (0,2) × 三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本小题 13 分） 函数 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求 的最小正周期及解析式； （Ⅱ）设 ，求函数 在区间 上的最小值. 16. （本小题 13 分） 年 月，某校高一年级新入学有 名学生，其中 名男生， 名女生．学校 计划为家远的高一新生提供 间男生宿舍和 间女生宿舍，每间宿舍可住 2 名同学． 该校“数学与统计”社团的同学为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况，按照性 别进行分层抽样，其中共抽取 40 名男生家庭居住地与学校的距离数据（单位： ）如下： 5 6 7 7.5 8 8.4 4 3.5 4.5 4.3 5 4 3 2.5 4 1.6 6 6.5 5.5 5.7 3.1 5.2 4.4 5 6.4 3.5 7 4 3 3.4 6.9 4.8 5.6 5 5.6 6.5 3 6 7 6.6 （Ⅰ）根据以上样本数据推断，若男生甲家庭居住地与学校距离为 ，他是否能住宿？ 说明理由； （Ⅱ）通过计算得到男生样本数据平均值为 ，女生样本数据平均值为 ，求 所有样本数据的平均值； （Ⅲ）已知能够住宿的女生中有一对双胞胎，如果随机分配宿舍，求双胞胎姐妹被分到 同一宿舍的概率． 17. （本小题 14 分） 如图，在 中， ． 可以通过 以直线 ( ) sin( )( 0, 0,| | )2f x A x A π= + > > <ω ϕ ω ϕ ( )f x ( ) ( ) cosg x f x x= − ( )g x [0 , ]2 π 2018 9 360 200 160 5 4 km 8.3 km 5.1 km 4.875 km AOB△ 90 , 2, 1AOB AO OB∠ = ° = = AOC△ AOB△ AO O y x 1 1 4π 3 π 3 为轴旋转得到，且 ，动点 在斜边 上． （Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）当 为 的中点时，求二面角 的余弦值； （Ⅲ）求 与平面 所成的角中最大角的正弦值． 18. （本小题 14 分） 已知抛物线 经过点 ，其焦点为 ． 为抛物线上除了原点外的任一 点，过 的直线 与 轴， 轴分别交于 ． （Ⅰ）求抛物线 的方程以及焦点坐标； （Ⅱ）若 与 的面积相等，求证：直线 是抛物线 的切线． 19. （本小题 13 分） 已知函数 ． （Ⅰ）当 时，求 在 处的切线方程； （Ⅱ）当 时，若 有极小值，求实数 的取值范围． 20.（本小题 13 分） 将 1 至 这 个自然数随机填入 方格的 个方格中，每个方格恰填一个数 （ ）．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这 个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”． OB OC⊥ D AB COD ⊥ AOB D AB B CD O− − CD AOB 2: 2C y px= (1,2)P F M M l x y ,A B C BMF△ ABF△ l C ( ) ( )lnf x x a x= + 0a = ( )f x 1x = 0a > ( )f x a 2n 2n n n× 2n *2,n n∈N≥ 2 ( 1)n n − D A O C B （Ⅰ）若 ，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”； （Ⅱ）当 时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为 ； （Ⅲ）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于 ． 2n = 3n = 1n n + 1n n + 石景山区 2018-2019 学年第一学期高三期末 数学（理）试卷答案及评分参考 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B B A C D A 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分． 9． ； 10． ； 11． ； 12． ；（答案不唯一） 13. ； 14. ， ． 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步 骤． 15．（本小题 13 分） 解：（Ⅰ）由图可得 ，所以 . 当 时， ，可得 ， . （Ⅱ） . . 当 ，即 时， 有最小值为 . 16.（本小题 13 分） 解：（Ⅰ）能住宿. 因为 200 名男生中有 10 名男生能住宿， 所以 40 名男生样本中有 2 名男生能住宿。 80 3n 4 2x = − 5 95 1155 1,A = 4 2 3 3 T π π= − = π 2 , 1T = π ω = 3x π= 1)( =xf sin( ) 13 π + ϕ = | | , .2 6 π πϕ < ∴ϕ = ( ) sin( )6f x x π∴ = + ( ) ( ) cos sin( ) cos sin cos cos sin cos6 6 6g x f x x x x x x x π π π= − = + − = + − 3 1sin cos sin( )2 2 6x x x π= − = − 0 ,2 6 6 3x x π π π π∴− − ≤ ≤ ≤ ≤ 6 6x π π− = − 0=x )(xg 2 1− 样本数据中距离为 8.4km 和 8km 的男生可以住宿，距离为 7.5km 以下的男生不可以 住宿， 由于 8.3 >8，所以男生甲能住宿。 （Ⅱ）根据分层抽样的原则，抽取女生样本数为 32 人. 所有样本数据平均值为 . （Ⅲ）解法一：记住宿的双胞胎为 ，其他住宿女生为 . 考虑 的室友，共有 七种情况， 所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为 . 解法二：设“双胞胎姐妹被分到同一宿舍”为事件 ， 则 . 所以双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率为 . 17.（本小题 14 分） （Ⅰ）证明：在 中， ， ∵ ，且 ， ∴ 平面 ， 又 平面 ， ∴平面 平面 ． （Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系 ， ∵ 为 的中点， ∴ ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， 设 为平面 的法向量， ∴ 即 40 5.1 32 4.875 540 32 × + × =+ 1 2,A A 1 2 3 4 5 6, , , , ,B B B B B B 1A 2 1 2 3 4 5 6, , , , , ,A B B B B B B 1 7 A 2 2 2 6 4 2 2 2 2 2 8 6 4 2 4 1( ) 7 C C CP A C C C C = = 1 7 AOC△ ⊥AO OC ⊥OB OC AO OB = O ⊥OC AOB ⊂OC COD COD ⊥ AOB − xyzO D AB (0 0 0)O ，， (0 0 2)A ，， (0 1 0)B ，， (1 0 0)C ，， 1(0 1)2D ， ， (1 0 0)OC = ，， 1(0 1)2OD = ， ， (1 1 0)−BC = ， ， 1(0 1)2 −BD = ， ， 1 1 1 1( )=n x y z ， ， OCD 1 1 0 0  ⋅ ⋅ n OC = n OD =     ， ， 1 1 1 0 1 02   x = y + z = ， ， z y x D A O C B 令 ，则 ， ∴ 是平面 的一个法向量， 设 为平面 的法向量， ∴ 即 令 ，则 ， ， ∴ 是平面 的一个法向量， ∴ ， ∴二面角 的余弦值为 ． （Ⅲ）解法一:∵ 平面 ， ∴ 为 与平面 所成的角， ∵ ， ∴点 到直线 的距离最小时， 的正弦值最大， 即当 时， 的正弦值最大， 此时 ，∴ ， ∴ ． 解法二：设 ，所以 ． ． 平面 的法向量 ， 所以 1 =1z 1 = 2−y 1 (0 2 1)= −n ， ， BCD 2 2 2 2( )=n x y z ， ， OCD 2 2 0 0  ⋅ ⋅ n BC = n BD =     ， ， 2 2 2 2 0 1 02 − =− x y y + z = ， 2 =1z 2 = 2x 2 = 2y 2 (2 2 1)=n ， ， OCD 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 0 ( 2) 2 1 1 5cos 5| | | | 0 ( 2) 1 2 2 1 ⋅ + − × + ×< >= = = − ⋅ + − + ⋅ + + n nn n n n     ， − −B CD O 5 5 ⊥OC AOB ∠CDO CD AOB 1=OC O AB ∠CDO ⊥OD AB ∠CDO 2 5 5 =OD 3 5 5 =CD 5sin 3 ∠CDO = AD = ABλ  (0, ,2 2 )D λ λ− ( 1, ,2 2 )CD = λ λ− − AOB (1,0,0)n = 2 2 | | 1 1sin 4 9| || | 5 8 5 5( )5 5 n CD n CD θ λ λ λ ⋅= = = − + − +     所以当 时， 与平面 所成的角最大， ． 18.（本小题 14 分） 解：（Ⅰ）因为抛物线 经过点 ， 所以 ， ． 所以抛物线 的方程为 ，焦点 点坐标为 ． （Ⅱ）因为 与 的面积相等， 所以 ，所以 为 的中点． 设 ，则 ． 所以直线 的方程为 ， 与抛物线 联立得： ， 所以直线 是抛物线 的切线． 19.（本小题 13 分） 解：（Ⅰ）当 时， ， . ， 所以 在 处的切线方程为 . （Ⅱ） 有极小值 函数 有左负右正的变号零点. 令 ，则 令 ，解得 . 的变化情况如下表： 4 5 λ = CD AOB 5sin 3 θ = 2: 2C y px= (1,2)P 22 2p= 2p = C 2 4y x= F (1,0) BMF△ ABF△ BM AB= B AM 0 0 0 0( , )( 0)M x y x y ≠ 0( ,0)B x− l 0 0 0 ( )2 yy x xx = + 2 4y x= 2 0 0 0 8 4 0xy x xy − + = 2 2 0 0 0 02 0 0 64 6416 16 04 x xx xy x ∆ = − = − = l C 0a = ( ) lnf x x x= ( ) ln 1f x x′ = + (1) 1, (1) 0f f′ = = ( )f x 1x = 1y x= − ( )f x ⇔ ( )f x′ ( ) 1( ) ln ln 1af x x x a xx x ′ = + + = + + ( ) ( )g x f x′= 2 2 1( ) a x ag x x x x −′ = − = ( ) 0g x′ = x a= , ( ), ( )x g x g x′ - 0 + 减 极小值 增 ① 若 ，即 ，则 ，所以 不存在变号零点，不合题意. ② 若 ，即 时， ， . 所以 ，使得 ； 且当 时， ，当 时， . 所以当 时， 的变化情况如下表： – 0 + 减 极小值 增 所以 . 20.（本题 13 分） 解：（Ⅰ） （Ⅱ） （前两问答案不唯一，请酌情给分） （Ⅲ）不妨设 A 为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为 , 考虑含 n+1 个元素的集合 ， x (0, )a a ( , )a +∞ ( )g x′ ( )g x ln 2a + ln 2 0a + ≥ 2a e−≥ ( ) 0g x ≥ ( )f x′ ln 2 0a + < 2a e−< ( ) ln 2 0g a a= + < (1) 1 0g a= + > 0 ( ,1)x a∃ ∈ 0( ) 0g x = 0( , )x a x∈ ( ) 0g x < 0( ,1)x x∈ ( ) 0g x > ( ,1)x a∈ , ( ), ( )x f x f x′ x 0( , )a x 0x 0( ,1)x ( )f x′ ( )f x 20 a e−< < ( )C A 2 2 2 2{ 1, 2 }B n n n n n= − − −， ， ， 1 2 3 4 此填数法的“特征值”为 4 3 . 3 2 1 4 此填数法的“特征值”为 3 2 . 或 7 1 4 5 8 2 3 6 9 …3 分 …7 分 易知其中必有至少两个数处于同一行，设为 也必有至少两个数处于同一列，设为 . ①若 则有 （因为 ）. ②若 ，即 ， 则 ， ． 所以 . 即不论何种情况，总有 . …13 分 【若有不同解法，请酌情给分】 2 1 2x x n< ≤ 2 1 2y y n< ≤ 2 1 1max( , ) 1x y n n− +≥ 2 2 2 1 1 1( ) max( , ) 1 n n nC A x y n n n +<− +≤ ≤ 3 3+1n n> 2 1 1max( , ) 1x y n n< − + 2 1 1x y n n= = − 2 2x y≠ 2 2 2min( , ) 1x y n −≤ 2 2 2 2 2 min( , ) 1 ( 1)( 1) 1( ) ( 1) x y n n n nC A n n n n n n n − + − += =− − −≤ ≤ 1( ) nC A n +≤