2019届二轮复习不等式与合情推理学案（全国通用）

2019届二轮复习不等式与合情推理学案（全国通用）

第 3 练　不等式与合情推理 年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 卷Ⅰ 利用线性规划求线性目标函数的最值·T13 卷Ⅱ 利用线性规划求线性目标函数的最值·T142018 卷Ⅲ 不等式的性质及对数的运算·T12 卷Ⅰ 利用线性规划求线性目标函数的最值·T14 利用线性规划求线性目标函数的最值·T5 卷Ⅱ 合情推理·T7 利用线性规划求线性目标函数的最值·T13 2017 卷Ⅲ 分段函数与不等式的解法·T15 卷Ⅰ 线性规划的实际应用·T16 卷Ⅱ 合情推理·T15 2016 卷Ⅲ 利用线性规划求线性目标函数的最值·T13 1.不等式作为高考命题热点 内容之一，多年来命题较稳 定，多以选择、填空题的形 式进行考查，题目多出现在 第 5～9 或第 13～15 题的位 置上，难度中等，直接考查 时主要是简单的线性规划问 题，关于不等式性质的应用、 不等式的解法以及基本不等 式的应用，主要体现在其工 具作用上． 2．在全国课标卷中很少直接 考查“推理与证明”，特别是 合情推理，而演绎推理，则 主要体现在对问题的证明上. 不等式的性质及解法 一元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根， 最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． 简单分式不等式的解法 (1) f(x) g(x)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)． (2) f(x) g(x)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. 不等式恒成立问题的解题方法 (1)f(x)＞a 对一切 x∈I 恒成立⇔f(x)min＞a； f(x)＜a 对一切 x∈I 恒成立⇔f(x)max＜a. (2)f(x)＞g(x)对一切 x∈I 恒成立⇔f(x)的图象在 g(x)的图象的上方． (3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般 地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函 数单调性、基本不等式等． [考法全练] 1．(2018·武汉调研)已知 x，y∈R，且 x＞y＞0，若 a＞b＞1，则一定有(　　) A. a x＞ b y　　　　　　　　　　 B．sin ax＞sin by C．logax＞logby D．ax＞by 解析：选 D.对于 A 选项，不妨令 x＝8，y＝3，a＝5，b＝4，显然 5 8＝ a x＜ b y＝ 4 3，A 选项 错误；对于 B 选项，不妨令 x＝π，y＝ π 2 ，a＝2，b＝ 3 2，此时 sin ax＝sin 2π＝0，sin by＝ sin 3π 4 ＝ 2 2 ，显然 sin ax＜sin by，B 选项错误；对于 C 选项，不妨令 x＝5，y＝4，a＝3，b ＝2，此时 logax＝log35，logby＝log24＝2，显然 logax＜logby，C 选项错误；对于 D 选项， 因为 a＞b＞1，所以当 x＞0 时，ax＞bx，又 x＞y＞0，所以当 b＞1 时，bx＞by，所以 ax＞by， D 选项正确．综上，选 D. 2．设[x]表示不超过 x 的最大整数(例如：[5.5]＝5，[－5.5]＝－6)，则不等式[x]2－5[x]＋ 6≤0 的解集为(　　) A．(2，3) B．[2，4) C．[2，3] D．(2，3] 解析：选 B.不等式[x]2－5[x]＋6≤0 可化为([x]－2)·([x]－3)≤0，解得 2≤[x]≤3，即不 等式[x]2－5[x]＋6≤0 的解集为 2≤[x]≤3.根据[x]表示不超过 x 的最大整数，得不等式的解集 为 2≤x＜4.故选 B. 3．(2018·长春质量检测(一))已知角 α，β满足－ π 2 ＜α－β＜ π 2 ，0＜α＋β＜π，则 3α－ β 的取值范围是________． 解析：设 3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)＝(m＋n)α＋(n－m)β，则{m＋n＝3， n－m＝－1，解得{m＝2， n＝1. 因为－ π 2 ＜α－β＜ π 2 ，0＜α＋β＜π，所以－π＜2(α－β)＜π，故－π＜3α－β＜2π. 答案：(－π，2π) 4．(2018·郑州第一次质量预测)已知函数 f(x)＝{2x，x ≤ 1， ln(x－1)，1＜x ≤ 2，若不等式 f(x)≤5 －mx 恒成立，则实数 m 的取值范围是________． 解析：作出函数 f(x)的大致图象如图所示，令 g(x)＝5－mx，则 g(x)恒过点(0，5)，由 f(x)≤g(x)恒成立，由数形结合得－ 5 2≤－m≤0，解得 0≤m≤ 5 2. 答案：[0， 5 2 ] 基本不等式及其应用 利用不等式求最值的 4 个解题技巧 (1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值． (2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值， 从而可利用基本不等式求最值． (3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子 分开再利用基本不等式求最值．即化为 y＝m＋ A g(x)＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形 式，然后运用基本不等式来求最值． (4)“1”的代换：先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最 值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值． [考法全练] 1．若 log4(3a＋4b)＝log2 ab，则 a＋b 的最小值是(　　) A．6＋2 3　　　　　　　 B．7＋2 3 C．6＋4 3 D．7＋4 3 解析：选 D.因为 log4(3a＋4b)＝log2 ab，所以 log22(3a＋4b)＝log2 ab，所以 1 2log2(3a＋ 4b)＝log2 ab，所以 log2(3a＋4b)＝2log2 ab，所以 log2(3a＋4b)＝log2ab，所以 3a＋4b＝ab， 即 4 a＋ 3 b＝1，故 a＋b＝(4 a＋3 b )(a＋b)＝7＋ 4b a ＋ 3a b ≥7＋4 3.故选 D. 2．已知向量 a＝(x－1，3)，b＝(1，y)，其中 x，y 都为正实数．若 a⊥b，则 1 x＋ 1 3y的最 小值为(　　) A．2 B．2 2 C．4 D．2 3 解析：选 C.因为 a⊥b，所以 a·b＝x－1＋3y＝0，即 x＋3y＝1.又 x，y 为正实数，所以 1 x ＋ 1 3y＝(x＋3y)·(1 x＋ 1 3y)＝2＋ 3y x ＋ x 3y≥2＋2 3y x · x 3y＝4，当且仅当 x＝3y＝ 1 2时取等号．所以 1 x ＋ 1 3y的最小值为 4.故选 C. 3．(2018·合肥调研)已知 a＞b＞0，则 a＋ 4 a＋b＋ 1 a－b的最小值为(　　) A. 3 10 2 B．4 C．2 3 D．3 2 解 析 ： 选 D. 因 为 a ＞ b ＞ 0 ， 所 以 a ＋ 4 a＋b＋ 1 a－b＝ 1 2(a＋b＋ 8 a＋b＋a－b＋ 2 a－b)≥ (a＋b)· 8 a＋b＋ (a－b)· 2 a－b＝2 2＋ 2＝3 2，当且仅当 a＝ 3 2 2 ，b＝ 2 2 时等号成立． 4 ． (2018· 高 考 天 津 卷 ) 已 知 a ， b ∈ R ， 且 a － 3b ＋ 6 ＝ 0 ， 则 2a ＋ 1 8b的 最 小 值 为 ________． 解析：由 a－3b＋6＝0，得 a＝3b－6，所以 2a＋ 1 8b＝23b－6＋ 1 23b≥2 23b－6 × 1 23b＝2×2 －3＝ 1 4，当且仅当 23b－6＝ 1 23b，即 b＝1 时等号成立． 答案： 1 4 5．某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储 费用为 4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是________． 解析：由题意知一年购买 600 x 次，则总运费与总存储费用之和为 600 x ×6＋4x＝4(900 x ＋x) ≥8 900 x ·x＝240，当且仅当 x＝30 时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，x 的值 是 30. 答案：30 线性规划问题 常见的 3 种目标函数 (1)截距型：形如 z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数 z＝ax＋by 转化为 y＝－ a b x＋ z b，通过求直线的截距 z b的最值间接求出 z 的最值． (2)距离型：形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点 P(x，y)，定点 M(a，b)，则 z＝|PM|2. (3)斜率型：形如 z＝ y－b x－a，设动点 P(x，y)，定点 M(a，b)，则 z＝kPM. [考法全练] 1．(2018·南昌调研)设变量 x，y 满足约束条件 {x＋y－1 ≥ 0， x－2y＋2 ≥ 0， 2x－y－2 ≤ 0， 则 z＝3x－2y 的最大值 为(　　) A．－2　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：选 C.作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作 出直线 y＝ 3 2x，平移该直线，当直线经过 C(1，0)时，在 y 轴上的截距 最小，z 最大，此时 z＝3×1－0＝3，故选 C. 2．(2018·南昌模拟)设不等式组{x＋y－3 ≥ 0 x－y＋1 ≥ 0 3x－y－5 ≤ 0 表示的平面区域为 M，若直线 y＝kx 经过区域 M 内的点，则实数 k 的取值范围为(　　) A.(1 2，2 ] B.[1 2， 4 3 ] C.[1 2，2 ] D.[4 3，2 ] 解析：选 C.不等式组{x＋y－3 ≥ 0 x－y＋1 ≥ 0 3x－y－5 ≤ 0 表示的平面区域如图中阴影部分所示，即三角形 ABC(含边界)，由{x＋y－3＝0 3x－y－5＝0得点 A(2，1)，由{x＋y－3＝0 x－y＋1＝0得点 C(1，2)，又直线 OA 的斜 率为 kOA＝ 1 2，直线 OC 的斜率为 kOC＝2，而直线 y＝kx 表示过原点 O 的直线，因此根据题 意可得 kOA≤k≤kOC，即 1 2≤k≤2，故选 C. 3．(2018·广州模拟)若 x，y 满足约束条件 {x－y＋2 ≥ 0， 2y－1 ≥ 0， x－1 ≤ 0， 则 z＝x2＋2x＋y2 的最小值为 (　　) A. 1 2 B. 1 4 C．－ 1 2 D．－ 3 4 解析：选 D.画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部 分所示，目标函数 z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1 的几何意义 是平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的平方再减去 1，观察图 形可得，平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的最小值为 1 2， 故 z＝x2＋2x＋y2 的最小值为 zmin＝ 1 4－1＝－ 3 4，故选 D. 4．(2018·辽宁五校联合体模拟)已知实数 x，y 满足{x－y＋6 ≥ 0， x＋y ≥ 0， x ≤ 3， 若目标函数 z＝ax＋ y 的最大值为 3a＋9，最小值为 3a－3，则实数 a 的取值范围是(　　) A．{a|－1≤a≤1} B．{a|a≤－1} C．{a|a≤－1 或 a≥1} D．{a|a≥1} 解析：选 A.不等式组{x－y＋6 ≥ 0， x＋y ≥ 0， x ≤ 3 表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标 函数 z＝ax＋y 的最大值为 3a＋9，最小值为 3a－3，所以目标函数 z＝ax＋y 的图象经过点 A(3，9)时，z 取得最大值，经过点 B(3，－3)时，z 取得最小值，由图象得，－1≤－a≤1， 所以－1≤a≤1，故选 A. 5．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克，B 原料 3 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克，B 原料 1 千克，每桶甲产品的 利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元，公司在每天消耗 A，B 原料都不超过 12 千克 的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为(　　) A．1 800 元 B．2 100 元 C．2 400 元 D．2 700 元 解析：选 C.设生产甲产品 x 桶，生产乙产品 y 桶，每天的利润为 z 元．根据题意，有 {2x＋2y ≤ 12， 3x＋y ≤ 12， x ≥ 0，x ∈ N * ， y ≥ 0，y ∈ N * ， z＝300x＋400y.作出{2x＋2y ≤ 12， 3x＋y ≤ 12， x ≥ 0，x ∈ N * ， y ≥ 0，y ∈ N * 所表示的可行域，为图中阴 影部分中的整点，作出直线 3x＋4y＝0 并平移，当直线经过点 A(0，6)时，z 有最大值，zmax ＝400×6＝2 400，故选 C. 合情推理 破解归纳推理题的思维 3 步骤 (1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)． (2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)． (3)检验，得结论：对所得的一般性命题(猜想)进行检验，一般地，“求同存异”“逐步 细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧． 破解类比推理题的 3 个关键 (1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征． (2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想． (3)会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理 中提高自己的观察、归纳、类比能力． [考法全练] 1．(2018·南昌模拟)已知 1 3＋23＝(6 2 ) 2 ，13＋23＋33＝(12 2 ) 2 ，13＋23＋33＋43＝ (20 2 ) 2 ，…，若 13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，则 n＝(　　) A．8　　　　　　　　　　 B．9 C．10 D．11 解析：选 C.13＋23＝(6 2 ) 2 ＝(2 × 3 2 ) 2 ， 13＋23＋33＝(12 2 ) 2 ＝(3 × 4 2 ) 2 ， 13＋23＋33＋43＝(20 2 ) 2 ＝(4 × 5 2 )2 ， … 由此归纳可得 13＋23＋33＋43＋…＋n3＝[n(n＋1) 2 ] 2 ， 因为 13 ＋23 ＋33 ＋43 ＋… ＋n 3 ＝3 025 ，所以[n(n＋1) 2 ] 2 ＝3 025 ，所以 n2(n ＋1)2 ＝ (2×55)2，所以 n＝10，故选 C. 2．平面内直角三角形两直角边长分别为 a，b，则斜边长为 a2＋b2，直角顶点到斜边的 距离为 ab a2＋b2.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为 S1，S2，S3，类 比推理可得底面积为 S＋S＋S，则三棱锥顶点到底面的距离为(　　) A.3 S1S2S3 S＋S＋S B. S1S2S3 S＋S＋S C. 2S1S2S3 S＋S＋S D. 3S1S2S3 S＋S＋S 解析：选 C.设空间中三棱锥 O­ABC 的三条两两垂直的侧棱 OA，OB，OC 的长分别为 a，b，c，不妨设三个侧面的面积分别为 S△OAB＝ 1 2ab＝S1，S△OAC＝ 1 2ac＝S2，S△OBC＝ 1 2bc＝ S3，则 ab＝2S1，ac＝2S2，bc＝2S3. 过 O 作 OD⊥BC 于 D，连接 AD，由 OA⊥OB，OA⊥OC，且 OB∩OC＝O，得 OA⊥平 面 OBC，所以 OA⊥BC，又 OA∩OD＝O，所以 BC⊥平面 AOD， 又 BC⊂平面 OBC， 所以平面 OBC⊥平面 AOD， 所以点 O 在平面 ABC 内的射影 O′在线段 AD 上，连接 OO′. 在直角三角形 OBC 中，OD＝ bc b2＋c2. 因为 AO⊥OD，所以在直角三角形 OAD 中， OO′＝ OA·OD OA2＋OD2＝ a· bc b2＋c2 a2＋( bc b2＋c2) 2 ＝ abc (ab)2＋(ac)2＋(bc)2＝ (ab)(bc)(ca) (ab)2＋(ac)2＋(bc)2 ＝ (2S1)·(2S2)·(2S3) (2S1)2＋(2S3)2＋(2S2)2＝ 2S1S2S3 S＋S＋S，故选 C. 3．(2018·长春质量检测)有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个 游戏，张老师的生日是 m 月 n 日，张老师把 m 告诉了甲，把 n 告诉了乙，然后张老师列出 来如下 10 个日期供选择：2 月 5 日，2 月 7 日，2 月 9 日，5 月 5 日，5 月 8 日，8 月 4 日， 8 月 7 日，9 月 4 日，9 月 6 日，9 月 9 日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不 知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现 在我也知道了．”则张老师的生日是________． 解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除 5 月 5 日、5 月 8 日、9 月 4 日、9 月 6 日、9 月 9 日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道 了”，可排除 2 月 7 日、8 月 7 日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老 师生日为 8 月 4 日． 答案：8 月 4 日 一、选择题 1．设 x，y 满足约束条件{x＋y－3 ≥ 0， x－y＋1 ≥ 0， x ≤ 3， 则 z＝2x＋y 的最小值与最大值的和为(　　) A．7　　　　　　　　　　　　 B．8 C．13 D．14 解析：选 D.作出不等式组{x＋y－3 ≥ 0， x－y＋1 ≥ 0， x ≤ 3 表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作 出直线 2x＋y＝0，平移直线 2x＋y＝0，当直线经过点 A(1，2)时，z＝2x＋y 取得最小值 4， 当经过点 B(3，4)时，z＝2x＋y 取得最大值 10，故 z 的最小值与最大值的和为 4＋10＝14.故 选 D. 2．(2018·长春质量检测(一))已知 x＞0，y＞0，且 4x＋y＝xy，则 x＋y 的最小值为(　　) A．8 B．9 C．12 D．16 解析：选 B.由 4x＋y＝xy 得 4 y＋ 1 x＝1，则 x＋y＝(x＋y)(4 y＋1 x )＝ 4x y ＋ y x＋1＋4≥2 4＋5＝ 9，当且仅当 4x y ＝ y x，即 x＝3，y＝6 时取“＝”，故选 B. 3．(一题多解)(2018·福州模拟)设函数 f(x)＝{0，x ≤ 0， 2x－2－x，x＞0，则满足不等式 f(x2－2)＞f(x) 的 x 的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞) C．(－∞，－ 2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪( 2，＋∞) 解析：选 C.法一：因为当 x＞0 时，函数 f(x)单调递增；当 x≤0 时，f(x)＝0，故由 f(x2－ 2)＞f(x)得，{x＞0， x2－2＞x或{x ≤ 0， x2－2＞0，解得 x＞2 或 x＜－ 2，所以 x 的取值范围是(－∞，－ 2)∪(2，＋∞)，故选 C. 法二：取 x＝2，则 f(22－2)＝f(2)，所以 x＝2 不满足题意，排除 B，D；取 x＝－1.1， 则 f((－1.1)2－2)＝f(－0.79)＝0，f(－1.1)＝0，所以 x＝－1.1 不满足题意，排除 A，故选 C. 4．(一题多解)若关于 x 的不等式 x2＋2ax＋1≥0 在[0，＋∞)上恒成立，则实数 a 的取值 范围为(　　) A．(0，＋∞) B．[－1，＋∞) C．[－1，1] D．[0，＋∞) 解析：选 B.法一：当 x＝0 时，不等式 1≥0 恒成立， 当 x＞0 时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－(x＋1 x )，又－(x＋1 x )≤－2，当且 仅当 x＝1 时，取等号，所以 2a≥－2⇒a≥－1，所以实数 a 的取值范围为[－1，＋∞)． 法二：设 f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线 x＝－a， 当－a≤0，即 a≥0 时，f(0)＝1＞0，所以当 x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0 恒成立； 当－a＞0，即 a＜0 时，要使 f(x)≥0 在[0，＋∞)上恒成立，需 f(－a)＝a2－2a2＋1＝－a2 ＋1≥0，得－1≤a＜0. 综上，实数 a 的取值范围为[－1，＋∞)，故选 B. 5．(2018·南宁模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已 知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下 列判断正确的是(　　) A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民 B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人 C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民 D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 解析：选 C.由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民， 所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所 以选 C. 6．若 max{s1，s2，…，sn}表示实数 s1，s2，…，sn 中的最大者．设 A＝(a1，a2，a3)，B ＝(b1 b2 b3 )，记 A⊗B＝max{a1b1，a2b2，a3b3}．设 A＝(x－1，x＋1，1)，B＝(1 x－2 |x－1|)，若 A⊗B＝ x－1，则 x 的取值范围为(　　) A．[1－ 3，1] B．[1，1＋ 2] C．[1－ 2，1] D．[1，1＋ 3] 解析：选 B.由 A＝(x－1，x＋1，1)，B＝(1 x－2 |x－1|)，得 A⊗B＝max{x－1，(x＋1)(x－2)，|x －1|}＝x－1，则{x－1 ≥ (x＋1)(x－2)， x－1 ≥ |x－1|. 化简，得{x2－2x－1 ≤ 0①， x－1 ≥ |x－1|②. 由①，得 1－ 2≤x≤ 1＋ 2.由②，得 x≥1.所以不等式组的解集为 1≤x≤1＋ 2，则 x 的取值范围为[1，1＋ 2]．故选 B. 7．(2018·长沙模拟)某班级有一个学生 A 在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每 52 秒跑完一圈，在学生 A 开始跑步时，在教室内有一个学生 B，往操场看了一次，以后每 50 秒他都往操场看一次，则该学生 B“感觉”到学生 A 的运动是(　　) A．逆时针方向匀速前跑 B．顺时针方向匀速前跑 C．顺时针方向匀速后退 D．静止不动 解析：选 C.令操场的周长为 C，则学生 B 每隔 50 秒看一次，学生 A 都距上一次学生 B 观察的位置 C 26(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生 B“感觉”到学生 A 的运动是顺时针 方向匀速后退的，故选 C. 8．已知变量 x，y 满足约束条件{x＋y ≤ 6， x－3y ≤ －2， x ≥ 1， 若目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的 最小值为 2，则 1 a＋ 3 b的最小值为　(　　) A．2＋ 3 B．5＋2 6 C．8＋ 15 D．2 3 解析：选 A.作出约束条件所对应的可行域，如图中阴影部 分．因为 a＞0，b＞0，所以－ a b＜0.所以目标函数 z＝ax＋by 在点 A(1，1) 处取得最小值 2，即 2＝a×1＋b×1，所以 a＋b ＝2. 所以 1 a＋ 3 b＝ 1 2× (1 a＋3 b )(a ＋ b) ＝ 1 2(4＋b a＋3a b )≥ 1 2(4 ＋ 2 3) ＝ 2 ＋ 3 (当且仅当b a＝3a b ，即b＝ 3a时取等号).故选 A. 9．(一题多解)(2018·合肥质量检测)设 x，y 满足约束条件{x ≥ 0， x＋y－2 ≤ 0， ax－y－a ≤ 0， 若 z＝2x＋y 的最大值为 7 2，则 a 的值为(　　) A．－ 7 2 B．0 C．1 D．－ 7 2或 1 解析：选 C.法一：由 z＝2x＋y 存在最大值，可知 a＞－1，显然 a＝0 不符合题意．作 出不等式组{x ≥ 0， x＋y－2 ≤ 0， ax－y－a ≤ 0 所表示的平面区域，如图 1 或图 2 中阴影部分所示，作直线 2x＋ y＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线 x＋y－2＝0 与 ax－y－a＝0 的交点时，z 取得最 大值，由{x＋y－2＝0， ax－y－a＝0，得{x＝a＋2 a＋1， y＝ a a＋1， 把{x＝a＋2 a＋1， y＝ a a＋1 代入 2x＋y＝ 7 2得 a＝1，故选 C. 法二：由 z＝2x＋y 存在最大值，可知 a＞－1，显然 a＝0 不符合题意．作出不等式组 {x ≥ 0， x＋y－2 ≤ 0， ax－y－a ≤ 0 所表示的平面区域，如图 1 或图 2 中阴影部分所示，作直线 2x＋y＝0，平 移该直线，易知，当平移到过直线 x＋y－2＝0 与 ax－y－a＝0 的交点时，z 取得最大值 7 2， 由{x＋y－2＝0， 2x＋y＝7 2， 得{x＝3 2， y＝1 2， 把{x＝3 2， y＝1 2 代入 ax－y－a＝0 得 a＝1，故选 C. 10．某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种产品所需原 料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万 元，则该企业每天可获得的最大利润为　(　　) 甲 乙 原料限额 A/吨 3 2 12 B/吨 1 2 8 A.15 万元 B．16 万元 C．17 万元 D．18 万元 解析：选 D.设生产甲产品 x 吨，乙产品 y 吨，获利润 z 万元，由题意可知{3x＋2y ≤ 12， x＋2y ≤ 8， x ≥ 0， y ≥ 0， z ＝3x＋4y，画出可行域如图中阴影部分所示，直线 z＝3x＋4y 过点 M 时，z＝3x＋4y 取得最 大值，由{3x＋2y＝12， x＋2y＝8， 得{x＝2， y＝3，所以 M(2，3)，故 z＝3x＋4y 的最大值为 18，故选 D. 11．(2018·兰州模拟)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原 意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运 算．算筹的摆放有纵式、横式两种(如图所示)．当表示一个多位数时，个位、百位、万位数 用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空．例如 3 266 用算 筹表示就是 ，则 8 771 用算筹应表示为(　　) 解析：选 C.由算筹的定义，得 8　　　 　　7　　　 　　7　　 　　　1 (千位)横式 　(百位)纵式 　(十位)横式 　(个位)纵式，所以 8 771 用算筹应表示为 ，故选 C. 12．(2018·太原模拟)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所 失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限 的转化过程．比如在表达式 1＋ 1 1＋ 1 1＋… 中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值， 它可以通过方程 1＋ 1 x＝x 求得 x＝ 5＋1 2 .类比上述过程，则 3＋2 3＋2 …＝(　　) A．3 B. 13＋1 2 C．6 D．2 2 解析：选 A.令 3＋2 3＋2 …＝x(x＞0)，两边平方，得 3＋2 3＋2 …＝x2，即 3＋2x＝ x2，解得 x＝3，x＝－1(舍去)，故 3＋2 3＋2 …＝3，选 A. 二、填空题 13．在 R 上定义运算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－a)*(x＋a)≤1 对任意的 x 恒成立， 则实数 a 的取值范围是________． 解析：由于(x－a)*(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，则不等式(x－a)*(x＋a)≤1 对任意的 x 恒成 立，即 x2－x－a2＋a＋1≥0 恒成立，所以 a2－a－1≤x2－x 恒成立，又 x2－x＝(x－1 2 ) 2 －1 4≥ － 1 4，则 a2－a－1≤－ 1 4，解得－ 1 2≤a≤ 3 2. 答案：[－1 2， 3 2] 14．设 z＝kx＋y，其中实数 x，y 满足{x＋y－2 ≥ 0， x－2y＋4 ≥ 0， 2x－y－4 ≤ 0. 若 z 的最大值为 12，则实数 k＝ ________. 解析：作出可行域，如图中阴影部分所示， 由图可知当 0≤－k< 1 2时，直线 y＝－kx＋z 经过点 M(4，4)时 z 最大，所以 4k＋4＝12， 解得 k＝2(舍去)；当－k≥ 1 2时，直线 y＝－kx＋z 经过点(0，2)时 z 最大，此时 z 的最大值为 2，不合题意；当－k<0 时，直线 y＝－kx＋z 经过点 M(4，4)时 z 最大，所以 4k＋4＝12，解 得 k＝2，符合题意．综上可知 k＝2. 答案：2 15．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说： “罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中 有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外 两人说的是假话，且这四人中有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________． 解析：由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么 甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三 人不是罪犯，显然两结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话， 由甲、丙供述可得，乙是罪犯． 答案：乙 16 ．记 min{a ，b} 为 a ，b 两数的最小值．当正数 x ，y 变化时，令 t ＝min {2x＋y， 2y x2＋2y2}，则 t 的最大值为______． 解析：因为 x＞0，y＞0，所以问题转化为 t2≤(2x＋y)· 2y x2＋2y2＝ 4xy＋2y2 x2＋2y2 ≤ 4· x2＋y2 2 ＋2y2 x2＋2y2 ＝ 2(x2＋2y2) x2＋2y2 ＝2，当且仅当 x＝y 时等号成立，所以 0＜t≤ 2，所以 t 的最大值为 2. 答案： 2