浙江专用2020版高考数学一轮复习+专题3导数及其应用+第19练函数的极值与最值

浙江专用2020版高考数学一轮复习+专题3导数及其应用+第19练函数的极值与最值

第 19 练 函数的极值与最值 [基础保分练] 1.(2019·杭州模拟)若函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示，则(　　) A.函数 f(x)有 1 个极大值，2 个极小值 B.函数 f(x)有 2 个极大值，2 个极小值 C.函数 f(x)有 3 个极大值，1 个极小值 D.函数 f(x)有 4 个极大值，1 个极小值 2.已知函数 f(x)＝(2x－x2)ex，则(　　) A.f( 2)是 f(x)的极大值也是最大值 B.f( 2)是 f(x)的极大值但不是最大值 C.f(－ 2)是 f(x)的极小值也是最小值 D.f(x)没有最大值也没有最小值 3.已知函数 f(x)＝ex，g(x)＝ln x 2＋ 1 2，对任意 a∈R，存在 b∈(0，＋∞)，使得 f(a)＝g(b)， 则 b－a 的最小值为(　　) A.2 e－1B.e2－ 1 2C.2－ln2D.2＋ln2 4.(2019·金华十校联考)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，则“a2－3b≤0”是 “f(x)在 R 上只有一个零点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设函数 f(x)＝lnx＋ax2－ 3 2x，若 x＝1 是函数 f(x)的极大值点，则函数 f(x)的极小值为 (　　) A.ln2－2 B.ln2－1 C.ln3－2 D.ln3－1 6.(2019·台州模拟)当 x∈[1,4]时，不等式 0≤ax3＋bx2＋4a≤4x2 恒成立，则 a＋b 的取值 范围是(　　) A.[－4,8] B.[－2,8] C.[0,6] D.[4,12] 7.已知直线 y＝a 分别与函数 y＝ex＋1 和 y＝ x－1交于 A，B 两点，则 A，B 之间的最短距离 是(　　) A. 3－ln2 2 B. 5－ln2 2 C. 3＋ln2 2 D. 5＋ln2 2 8.已知函数 f(x)＝xlnx－x＋2a，若函数 y＝f(x)与 y＝f(f(x))有相同的值域，则 a 的取值 范围是(　　) A.(1 2，1 ] B.(－∞，1] C.[1， 3 2 ) D.[1，＋∞) 9.若函数 f(x)＝2aex－x2＋3(a 为常数，e 是自然对数的底数)恰有两个极值点，则实数 a 的 取值范围是________. 10.(2019·嵊州模拟)已知函数 f(x)＝|x3＋ax＋b|(a，b∈R)，若对任意的 x1，x2∈[0,1]， f(x1)－f(x2)≤2|x1－x2|恒成立，则 a 的取值范围是________. [能力提升练] 1.(2019·浙江名校协作体考试)已知函数 f(x)＝(2x－1)ex＋ax2－3a(x>0)在(0，＋∞)上为 增函数，则 a 的取值范围是(　　) A.[－2 e，＋∞) B.[－ 3 2e，＋∞) C.(－∞，－2 e] D.(－∞，－ 3 2e] 2.(2019·丽水模拟)已知函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d，若 x＝1 是 e－xf(x)的一个极小值点， 则 y＝f(x)及其导函数 y＝f′(x)的图象可能是(　　) 3.定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且 f(x)＝ f′1 e ex＋ f0 2 x2－x，若存在 实数 x 使不等式 f(x)≤m2－am－3 对于 a∈[0,2]恒成立，则实数 m 的取值范围为(　　) A.(－∞，－2]∪[2，＋∞) B.(－∞，1－ 5]∪[1＋ 5，＋∞) C.(－∞，1－ 5]∪[2，＋∞) D.(－∞，－2]∪[1＋ 5，＋∞) 4.已知函数 f(x)＝x3＋2ax2＋3bx＋c 的两个极值点分别在(－1,0)与(0,1)内，则 2a－b 的取 值范围是(　　) A.(－ 3 2， 3 2) B.(－ 3 2，1) C.(－ 1 2， 3 2) D.(1， 3 2 ) 5.(2019·湖州测试)已知函数 f(x)＝Error!当 x∈(－∞，m]时，f(x)的取值范围为[16，＋ ∞)，则实数 m 的取值范围是________. 6.已知 P，Q 分别为函数 f(x)＝ 1 2ex－ 1 2，g(x)＝ln(2x)＋ 1 2上两点，则 P，Q 两点的距离|PQ| 的最小值是______. 答案精析 基础保分练 1.B　2.A　3.D　4.A　5.A　6.A　7.D　8.A　9.(0， 1 e )　10.[－2，－1] 能力提升练 1.A　[由题意知，函数 f(x)＝(2x－1)ex＋ax2－3a(x>0)为增函数，则 f′(x) ＝ 2ex ＋ (2x － 1)ex ＋ 2ax ＝ (2x ＋ 1)ex ＋ 2ax≥0 在 (0 ， ＋ ∞) 上 恒 成 立 ， 则 a≥ －2x＋1ex 2x ， 设 g(x)＝ －2x＋1ex 2x (x>0)， 则 g′(x)＝ －[2ex＋2x＋1ex]·2x－[－2x＋1ex]·2 2x2 ＝ －2x2－x＋1ex 2x2 ， 令 g′(x)>0，得 0 1 2，可知函数 g(x)在(1 2，＋∞)上单调递减，则 g(x)max＝g(1 2 )＝ －(2 × 1 2＋1)e 1 2 2 × 1 2 ＝－2e 1 2，即 a 的取值范围是[－2 e，＋∞)，故选 A.] 2.D　[设 g(x)＝e-xf(x)，则 g′(x)＝－e-xf(x)＋e-xf′(x)＝e-x[f′(x)－f(x)]，由题意得 g′(1)＝0，即 f′(1)＝f(1)，且 1 的左侧附近 f′(x)f(x)， 故选 D.] 3.D　[由 f′(x)＝ f′1 e ex＋f(0)x－1， 令 x＝1⇒f(0)＝1⇒f′(1)＝e， ∴f(x)＝ex＋ x2 2 －x，f′(x)＝ex＋x－1， 而 f′(x)＝ex＋x－1 是 R 上的增函数，f′(0)＝0， ∴当 x>0 时，f′(x)>0，当 x<0 时，f′(x)<0， 因此 f(x)＝ex＋ x2 2 －x 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， f(x)min＝f(0)＝1， 原不等式转化为 1≤m2－am－3， 即 m2－am－4≥0， 构造函数 h(a)＝m2－am－4⇒Error!⇒m≤－2 或 m≥1＋ 5，故选 D.] 4.A　[∵函数 f(x)＝x3＋2ax2＋3bx＋c， ∴f′(x)＝3x2＋4ax＋3b， ∵f(x)的两个极值点分别在区间(－1,0)与(0，1)内， ∴由 3x2＋4ax＋3b＝0 的两个根分别在区间(0,1)与(－1,0)内， ∴Error! 令 z＝2a－b，∴转化为在约束条件为Error!时，求 z＝2a－b 的取值范围，可行域如图阴影(不 包括边界)所示，目标函数转化为 b＝2a－z. 由图可知，z 在 A (3 4，0 )处取得最大值 3 2，在 B (－ 3 4，0)处取得最小值－ 3 2， ∵可行域不包含边界，∴z＝2a－b 的取值范围为(－ 3 2， 3 2).] 5.[－2,8] 解析　当 x≤0 时，f(x)＝12x－x3， ∴f′(x)＝－3(x＋2)(x－2)， ∴当 x<－2 时，函数单调递减，当－20 时，f(x)＝－2x 单调递减， 当 x＝8 时，y＝－2x＝－16， ∴当 x∈(－∞，m]时，f(x)的取值范围为[－16，＋∞)，则实数 m 的取值范围是[－2,8]. 6.0 解析　∵函数 f(x)＝与函数 g(x)＝ln(2x)＋ 1 2互为反函数， ∴函数 f(x)＝与函数 g(x)＝ln(2x)＋ 1 2的图象关于直线 y＝x 对称， 设 φ(x)＝－x(x>0)， 则 φ′(x)＝－1， 令 φ′(x)＝0，得 x＝ln2＋ 1 2， 又 φ′(x)为增函数， ∴φ(x)在(0，ln2＋ 1 2)上单调递减，在(ln2＋ 1 2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x)的最小值为 φ(ln2＋ 1 2) ＝ 1 2－ln2＝ln e－ln 4<0， 即存在 x0∈R，使得 φ(x0)＝0，即函数 f(x)的图象与直线 y＝x 有交点，即函数 f(x)＝与函数 g(x)＝ln(2x)＋ 1 2的图象有公共点在直线 y＝x 上，故|PQ|的最小值是 0.