高考数学 17-18版 第4章 第16课 课时分层训练16

高考数学 17-18版 第4章 第16课 课时分层训练16

课时分层训练(十六)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．函数f(x)＝(x＋‎2a)(x－a)2的导数为________．‎ ‎3(x2－a2)　[∵f(x)＝(x＋‎2a)(x－a)2＝x3－‎3a2x＋‎2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．]　‎ ‎2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)等于________．‎ ‎－1　[由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋，‎ ‎∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.]　‎ ‎3．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是________．‎ ‎2x－y＋1＝0　[y′＝cos x＋ex，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.]　‎ ‎4．(2017·苏州模拟)已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为________．‎ ‎2　[因为y＝－3ln x，所以y′＝－.再由导数的几何意义，有－＝－，解得x＝2或x＝－3(舍去)．]‎ ‎5．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．‎ 　[∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，‎ ‎∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，‎ 故切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，‎ 令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－，‎ ‎∴所求面积S＝××10＝.]‎ ‎6．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P(1,3)处的切线方程是________．‎ ‎2x－y＋1＝0　[由题意得f′(x)＝3x2－1，则f′(1)＝3×12－1＝2，即函数f(x)的图象在点P(1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.]‎ ‎7．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________. ‎ ‎【导学号：62172091】‎ 　[因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝‎2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故‎2a－1＝0，a＝.]‎ ‎8．如图161，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x，y＝0，x＝t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t)，则S(t)在t＝2时的瞬时变化率是________．‎ 图161‎ ‎2　[当x＝t时，y＝t，‎ ‎∴S(t)＝t×t＝t2.‎ ‎∴S′(t)＝t，∴S′(2)＝2.]‎ ‎9．如图162，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.‎ 图162‎ ‎0　[由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.‎ 又因为g(x)＝xf(x)，‎ 所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，‎ 由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.]‎ ‎10．(2017·扬州期中)若x轴是曲线f(x)＝ln x－kx＋3的一条切线，则k＝________. 【导学号：62172092】‎ e2　[由题意可知f′(x)＝－k＝0有解，即x＝.‎ ‎∴f＝ln －1＋3＝0，即k＝e2.]‎ ‎11．(2017·苏州模拟)已知函数f(x)＝x－1＋，若直线：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，则k＝________.‎ ‎1－e　[设切点坐标为(x0，y0)，则由题意可知 f′(x0)＝k.‎ 又f′(x)＝1－，故1－＝k.‎ 又y0＝x0－1＋＝kx0－1，‎ ‎∴x0－1＋1－k＝kx0－1，‎ ‎∴(k－1)(x0＋1)＝0，∴k＝1或x0＝－1，‎ 当k＝1时，由k＝1－，可得＝0(舍去)，‎ 当x0＝－1时，由k＝1－，可得k＝1－e.]‎ ‎12．(2017·南通三模)已知两曲线f(x)＝cos x，g(x)＝sin x，x∈相交于点A.若两曲线在点A处的切线与x轴分别相交于B，C两点，则线段BC的长为________. 【导学号：62172093】‎ 　[由f(x)＝g(x)可知tan x＝，又x∈，所以A.‎ 又f′(x)＝－sin x，‎ ‎∴f′＝－，‎ ‎∴在点A处的切线l1：y－＝－.‎ 令y＝0，得x＝＋，即B.‎ 又g′(x)＝cos x，∴g′＝.‎ ‎∴在点A处的切线l2：y－＝.‎ 令y＝0，得x＝－，即C，‎ ‎∴BC＝－＝.]‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·无锡期末)过曲线y＝x－(x>0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴、y轴交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为，则x0＝________.‎ 　[∵y′＝1＋，∴y′|x＝x0＝1＋，‎ ‎∴AB：y－y0＝(x－x0)．‎ 又y0＝x0－，∴y－x0＋＝(x－x0)‎ 令x＝0得y＝－；‎ 令y＝0得x＝，‎ ‎∴S△OAB＝··＝，解得x＝(负值舍去)．]‎ ‎2．(2017·南通调研一)在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y＝x2(x>0)和y＝x3(x>0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则的值是________．‎ 　[由y＝x2得y′＝2x，切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，‎ 即y＝2x1x－x.‎ 由y＝x3得y′＝3x2，切线方程为 y－x＝3x(x－x2)，即y＝3xx－2x，‎ 由得＝.]‎ ‎3．(2016·山东高考改编)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是________．(填序号)‎ ‎①y＝sin x；②y＝ln x；③y＝ex；④y＝x3.‎ ‎①　[若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.‎ 对于①：y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；‎ 对于②：y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，∵x>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；‎ 对于③：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；‎ 对于④：y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，显然不存在这样的x1，x2.]‎ ‎4．(2017·启东中学高三第一次月考)若曲线y＝aln x与曲线y＝x2在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线，则＝________.‎ 　[对曲线y＝aln x求导可得y′＝，对曲线y＝x2求导可得y′＝，因为它们在公共点P(s，t)处具有公共切线，所以＝，即s2＝ea，又t＝aln s＝s2，即2ealn s＝s2，将s2＝ea代入，所以a＝1，所以t＝，s＝，即＝.]‎ ‎5．若函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．‎ 　[∵f′(x)＝＋a(x>0)，故由题意可知方程＋a＝2在(0，＋∞)上有解．‎ ‎∴a＝2－<2.‎ 又y＝2x与曲线f(x)＝ln x＋ax相切，‎ 设切点为(x0，y0)，则 解得x0＝e，a＝2－.‎ 综上可知，实数a的取值范围为.]‎ ‎6．(2017·盐城期中)设函数f(x)＝|ex－e‎2a|，若f(x)在区间(－1,3－a)内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，则实数a的取值范围是________．‎ 　[当x≥‎2a时，f(x)＝ex－e‎2a，此时f(x)是增函数；‎ 当x<2a时，f(x)＝－ex＋e2a，此时f(x)是减函数；‎ 设两个切点分别为M(x1，f(x1))，N(x2，f(x2))，‎ 其中x12a.‎ ‎∴2a<1，解得a<，‎ 综上可知，－

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