数学（文）卷·2018届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第四次月考（2017

数学（文）卷·2018届湖南省长沙市长郡中学高三上学期第四次月考（2017

长郡中学2018届高三月考试卷（四）‎ 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数的虚部是（ ）‎ A．-2 B． C．-1 D．‎ ‎3．某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟及是否患有肺病，得到2×2列联表，经计算得，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，，，则该研究所可以（ ）‎ A．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”‎ B．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”‎ C．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”‎ D．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”‎ ‎4．已知，是的导函数，则在区间任取一个数使得的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则（ ）‎ A．且 B．且 C．且 D．且 ‎6．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是（ ）‎ A． B． C． D．8‎ ‎7．已知条件，条件.若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若变量满足，则关于的函数图象大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．下列函数既是奇函数又在上是减函数的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一.美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的.程序框图如图所示，若输入的值分别为8,2,0.5，（每次运算都精确到小数点后两位），则输出结果为（ ）‎ A．2.81 B．2.82 C．2.83 D．2.84‎ ‎11．的内角的对边分别为，已知 ‎，，，则角（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数（表示中的较小者），则函数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知实数满足，则的最小值是 ．‎ ‎14．设为锐角，若，则的值为 ．‎ ‎15．已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为 ．‎ ‎16．已知半径为2的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径（是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）令，设数列的前项和为，求.‎ ‎18．如图，四棱锥中，，，与都是边长为2的等边三角形，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求四棱锥的体积.‎ ‎19．某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：‎ ‎（1）试估计平均收益率；‎ ‎（2）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组与的对应数据：‎ 据此计算出的回归方程为.‎ ‎（i）求参数的估计值；‎ ‎（ii）若把回归方程当作与的线性关系，用（1）中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益.‎ ‎20．已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切.‎ ‎（1）求动圆的圆心轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的直线与曲线相交于两点，分别过点作曲线的切线，两条切线相交于点，求外接圆面积的最小值.‎ ‎21．已知函数（其中，为常数，为自然对数的底数）.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）设曲线在处的切线为，当时，求直线在轴上截距的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.‎ ‎（1）求曲线在极坐标系中的方程；‎ ‎（2）求直线被曲线截得的弦长.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若存在实数，使得，求实数的取值范围.‎ 炎德·英才大联考长郡中学2018届高三月考试卷（四）‎ 数学（文科）参考答案 一、选择题 ‎1-5:BCADA 6-10:CCBCD 11、12：BD 二、填空题 ‎13．2 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）设数列的公差为，数列的公比为，则 由 得解得 所以，.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎∴①‎ ‎②‎ ‎①—②得：‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎18．解：（1）因为，，是的中点，‎ 所以，且，‎ 所以四边形是平行四边形，所以.‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）连接，设交于，连，‎ 由四边形是正方形，所以.‎ 因为，是中点，所以.‎ 则.‎ 又，，‎ 所以是直角三角形，则.‎ 因为，所以平面.‎ 则.‎ ‎19．解：（1）区间中间依次为：‎0.05.0‎.15,0.25,0.35,0.45,0.55，‎ 取值概率依次为：0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05，‎ 平均收益率为 ‎.‎ ‎（2）（i），‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎（ii）设每份保单的保费为元，则销量为，则保费收入为 万元，‎ 当元时，保费收入最大为360万元，‎ 保险公司预计获利为万元.‎ ‎20．解：（1）设点到直线的距离为，依题意.‎ 设，则有.‎ 化简得.‎ 所以点的轨迹的方程为.‎ ‎（2）设，‎ 代入中，得.‎ 设，，‎ 则，.‎ 所以.‎ 因为，即，所以.‎ 所以直线的斜率为，直线的斜率为.‎ 因为，‎ 所以，即为直角三角形.‎ 所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是直径.‎ 因为，‎ 所以当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.‎ ‎21．解：（1），‎ 当时，恒成立，函数的递增区间是；‎ 当时，或.‎ 函数的递增区间是，，递减区间是；‎ ‎（2），，‎ 所以直线的方程为：.‎ 令得到：截距，记，‎ ‎，记 ‎（∵），所以递减，‎ ‎∴，∴，即在区间上单调递减，‎ ‎∴，即截距的取值范围是：.‎ ‎22．解：（1）曲线的普通方程为，‎ 即，将代入方程化简得.‎ 所以，曲线的极坐标方程是.‎ ‎（2）∵直线的直角坐标方程为.‎ 由得直线与曲线的交点坐标为，，‎ 所以弦长为.‎ ‎23．解：（1）①当时，，所以；‎ ‎②当时，，所以为；‎ ‎③当时，，所以.‎ 综合①②③，不等式的解集为.‎ ‎（2）即，‎ 由绝对值