2017-2018学年云南省大理州南涧县民族中学高二上学期12月月考数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年云南省大理州南涧县民族中学高二上学期12月月考数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年云南省大理州南涧县民族中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）已知A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（　　）‎ A． B．（0，1） C． D．∅‎ ‎2．（5分）设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（　　）‎ A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b ‎3．（5分）直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（　　）‎ A．[0，π） B．[0，]∪[，π） C．[0，] D．[0，]∪（，π）‎ ‎4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是（　　）‎ A．6 B．3 C． D．1‎ ‎5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=（　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎6．（5分）命题p：∀x∈[0，1]，ex≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则下列正确的是（　　）‎ A．p∨q为真 B．p∧q为真 C．p∨q为假 D．q为真 ‎7．（5分）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎8．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（　　）‎ A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）‎ ‎9．（5分）已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若直线a∥b，b⊂α，则a∥α B．若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β C．若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b D．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β ‎10．（5分）从数字0，1，2，3，4，5中任取两个数组成两位数，其中奇数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎12．（5分）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（　　）‎ A． B． C．（1，2） D．（1，﹣2）‎ ‎　‎ 二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）在区间（0，4）内任取一个实数x，则使不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的概率为　 　．‎ ‎14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=　 　．‎ ‎15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an=2Sn﹣1（n≥‎ ‎2），则an=　 　．‎ ‎16．（5分）如图，把椭圆+=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共70分）‎ ‎17．（10分）某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有如下数据：‎ 广告支出x（单位：万元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 销售收入y（单位：万元）‎ ‎12‎ ‎28‎ ‎42‎ ‎56‎ 根据以上数据算得：yi=138，xiyi=418‎ ‎（Ⅰ）求出y对x的线性回归方程=x+，并判断变量与y之间是正相关还是负相关；‎ ‎（Ⅱ）若销售收入最少为144万元，则广告支出费用至少需要投入多少万元？‎ ‎（参考公式：=，=﹣）‎ ‎18．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（1，），F1，F2是椭圆的左、右焦点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）点P在椭圆上运动，求|PF1|•|PF2|的最大值．‎ ‎19．（12分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，‎ asinC﹣ccosA．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若a=2，△ABC的面积为，求b、c．‎ ‎20．（12分）已知等比数列{an}中，a1=，公比q=．‎ ‎（Ⅰ）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=‎ ‎（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）证明：PA⊥BD ‎（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．‎ ‎22．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为直角时，求△OMN的面积．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年云南省大理州南涧县民族中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）已知A={y|y=log2x，x＞1}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（　　）‎ A． B．（0，1） C． D．∅‎ ‎【分析】由题设条件知A={y|y＞0}，B={y|0＜y＜}，由此能够得到A∩B的值．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴=．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查集合的运算，解题时要注意公式的灵活运用．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（　　）‎ A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b ‎【分析】分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．‎ ‎【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，‎ 则c＜a＜b，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（　　）‎ A．[0，π） B．[0，]∪[，π） C．[0，] D．[0，]∪（，π）‎ ‎【分析】‎ 由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围．‎ ‎【解答】解：直线xsinα+y+2=0的斜率为k=﹣sinα，‎ ‎∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k≤1‎ ‎∴倾斜角的取值范围是[0，]∪[π，π）‎ 故选B ‎【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是（　　）‎ A．6 B．3 C． D．1‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．‎ ‎【解答】解：变量x，y满足约束条件，目标函数z=2x+y，‎ 画出图形：‎ 点A（1，1），zA=3，‎ B（0，1），zB=2×0+1=1‎ C（3，0），zC=2×3+0=6，‎ z在点B处有最小值：1，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB+bcosA=csinC，S=（b2+c2﹣a2），则∠B=（　　）‎ A．90° B．60° C．45° D．30°‎ ‎【分析】先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C，然后利用三角形面积公式求得S的表达式，进而求得a=b，推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得∠B．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinC•sinC ‎∴sinC=1，C=．‎ ‎∴S=ab=（b2+c2﹣a2），‎ 解得a=b，因此∠B=45°．‎ 故选C ‎【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．作为解三角形常用的定理，我们应熟练记忆和掌握正弦定理公式及其变形公式．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）命题p：∀x∈[0，1]，ex≥1，命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0，则下列正确的是（　　）‎ A．p∨q为真 B．p∧q为真 C．p∨q为假 D．q为真 ‎【分析】分别判断命题p、q的真假，只要命题p或命题q有一个命题是真命题，则p∨q为真 ‎【解答】解：命题p：∀x∈[0，1]，由指数函数y=ex的图象可得ex≥1，正确，‎ 命题q：∃x∈R，x2+x+1＜0错误，因为x2+x+1=（x+）2+＞0恒成立，‎ p∨q为真，故正确．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，根据条件求出命题p，q的真假是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【分析】通过三视图判断正视图的形状，结合数据关系直接求出正视图的面积即可．‎ ‎【解答】解：因为正方体的棱长为1，俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，‎ 说明侧视图是底面对角线为边，正方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图：‎ 那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以正视图的面积为：．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查几何体的三视图形状，侧视图的面积的求法，判断几何体的三视图是解题的关键，考查空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（　　）‎ A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）‎ ‎【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求 ‎【解答】解：∵3an+1+an=0‎ ‎∴‎ ‎∴数列{an}是以﹣为公比的等比数列 ‎∵‎ ‎∴a1=4‎ 由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）‎ 故选C ‎【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题 ‎　‎ ‎9．（5分）已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若直线a∥b，b⊂α，则a∥α B．若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β C．若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b D．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β ‎【分析】由条件利用直线和平面平行的判定定理、性质定理，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：若直线a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A不对；‎ 若平面α⊥β，a⊥α，则a∥β或a⊂β，故B不对；‎ 若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b或a、b是异面直线，故C不对；‎ 根据垂直于同一条直线的两个平面平行，可得D正确，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和平面的位置关系，直线和平面平行的判定定理、性质定理的应用，直线和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）从数字0，1，2，3，4，5中任取两个数组成两位数，其中奇数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先一一列举所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：从数字0，1，2，3，4，5中任取两个数组成两位数，‎ 共有10，12，13，14，15，‎ ‎20，21，23，24，25，‎ ‎30，31，32，34，35，‎ ‎40，41，42，43，45，‎ ‎50，51，52，53，54，‎ 故25中等可能事件，其中奇数有13，15，21，23，25，31，35，41，43，45，51，53，共12个，‎ 故从数字0，1，2，3，4，5中任取两个数组成两位数，其中奇数的概率为P=，‎ 故选：B ‎【点评】数字问题是概率中经常出现的题目，一般可以列举出要求的事件，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的可以借助于排列数和组合数来表示 ‎　‎ ‎11．（5分）已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【分析】求出椭圆的方程为+y2=1，联立得出A（0，1），B（，），即可得出两点距离．‎ ‎【解答】解：∵e=，2c=2，c=1‎ ‎∴a=，c=1，‎ 则b==1，‎ ‎∴椭圆的方程为+y2=1，‎ 联立 化简得：3x﹣4x=0，x=0，或x=，‎ 代入直线得出y=1，或y=‎ 则A（0，1），B（，）‎ ‎∴|AB|=，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，联立方程组求解出点的坐标，运用距离公式，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（　　）‎ A． B． C．（1，2） D．（1，﹣2）‎ ‎【分析】先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在S，P，Q三点共线时取得，可得到答案．‎ ‎【解答】解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PS+PQ，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是﹣1，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线的定义，即抛物线是到定点的距离等于定直线的距离的点的集合．‎ ‎　‎ 二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）在区间（0，4）内任取一个实数x，则使不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的概率为　　．‎ ‎【分析】先利用不等式求出满足不等式成立的x的取值范围，然后利用几何概型的概率公式求解．‎ ‎【解答】解：由题意知0＜x＜4．‎ 由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，‎ 所以由几何概型的概率公式可得使不等式x2﹣2x﹣3＜0成立的概率 为=，．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查几何概型，要求熟练掌握几何概型的概率求法．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=　30°　．‎ ‎【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．‎ ‎【解答】解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，‎ 代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，‎ ‎∴由余弦定理得：cosA===，‎ ‎∵A为三角形的内角，‎ ‎∴A=30°．‎ 故答案为：30°‎ ‎【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an=2Sn﹣1（n≥2），则an=　　．‎ ‎【分析】利用n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，确定数列{Sn}是以1为首项，3为公比的等比数列，从而可得结论．‎ ‎【解答】解：n≥2时，∵an=2Sn﹣1，∴Sn﹣Sn﹣1=2Sn﹣1，∴Sn=3Sn﹣1，‎ ‎∵a1=1，∴S1=1‎ ‎∴数列{Sn}是以1为首项，3为公比的等比数列 ‎∴Sn=3n﹣1，‎ ‎∴n≥2时，an=2Sn﹣1=2•3n﹣2，‎ 又a1=1，∴an=‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的判定，考查数列的通项，确定数列{Sn}是以1为首项，3为公比的等比数列是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）如图，把椭圆+=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=　35　．‎ ‎【分析】根据椭圆的定义与椭圆的对称性，证出|P1F|+|P7F|=|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P5F|=2a，结合|P4F|==a和题中的数据，可得答案．‎ ‎【解答】解：将椭圆+=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆 的上半部分于P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7七个点，‎ F是椭圆的一个焦点，设椭圆的另一个焦点为F'，‎ 根据椭圆的对称性，得|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F'|=2a=10同理可得：|P2F|+|P6F|=2a=10且|P3F|+|P5F|=2a=10‎ 又∵|P4F|==a=5‎ ‎∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35，‎ 故答案为：35‎ ‎【点评】本题着重考查了椭圆的标准方程、椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．巧妙运用椭圆的对称性，是解决本题的关键所在．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共70分）‎ ‎17．（10分）某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有如下数据：‎ 广告支出x（单位：万元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 销售收入y（单位：万元）‎ ‎12‎ ‎28‎ ‎42‎ ‎56‎ 根据以上数据算得：yi=138，xiyi=418‎ ‎（Ⅰ）求出y对x的线性回归方程=x+，并判断变量与y之间是正相关还是负相关；‎ ‎（Ⅱ）若销售收入最少为144万元，则广告支出费用至少需要投入多少万元？‎ ‎（参考公式：=，=﹣）‎ ‎【分析】（Ⅰ）由表中数据，做出线性回归方程的系数，得到方程．‎ ‎（Ⅱ）由销售收入最少为144万元，建立不等式，即可求出广告支出费用．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由表中数据得，，‎ ‎∴线性回归方程为，变量x与y之间是正相关；‎ ‎（Ⅱ）依题意有，解得x≥10，所以广告支出费用至少需投入10万元．‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程的写法和应用，本题解题的关键是正确求出线性回归方程的系数，本题是一个基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（1，），F1，F2是椭圆的左、右焦点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）点P在椭圆上运动，求|PF1|•|PF2|的最大值．‎ ‎【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）由题意定义可得|PF1|+|PF2|=2a=4，再由基本不等式求得|PF1|•|PF2|的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，得，解得．‎ ‎∴椭圆C的方程是；‎ ‎（2）∵P在椭圆上运动，‎ ‎∴|PF1|+|PF2|=2a=4，‎ ‎∴|PF1|•|PF2|≤，‎ 当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立，‎ ‎∴|PF1|•|PF2|的最大值为4．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆的定义及基本不等式的应用，属中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，‎ asinC﹣ccosA．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若a=2，△ABC的面积为，求b、c．‎ ‎【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数的关系式的恒等变换求出结果．‎ ‎（2）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，asinC﹣ccosA由正弦定理得，‎ sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，‎ 由于：sinC≠0，‎ 所以：．‎ 即：，‎ 由于：0＜A＜π，‎ 解得：A=．‎ ‎（2）因为△ABC的面积为，‎ 所以：①，‎ 所以bc=4；在△ABC中，应用余弦定理知，‎ a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ ‎，所以b2+c2=8②；‎ 联立①②两式可得，b=c=2．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知等比数列{an}中，a1=，公比q=．‎ ‎（Ⅰ）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=‎ ‎（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎【分析】（I）根据数列{an}是等比数列，a1=，公比q=，求出通项公式an 和前n项和Sn，然后经过运算即可证明．‎ ‎（II）根据数列{an}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{bn}的通项公式．‎ ‎【解答】证明：（I）∵数列{an}为等比数列，a1=，q=‎ ‎∴an=×=，‎ Sn=‎ 又∵==Sn ‎∴Sn=‎ ‎（II）∵an=‎ ‎∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33）‎ ‎=﹣（1+2+…+n）‎ ‎=﹣‎ ‎∴数列{bn}的通项公式为：bn=﹣‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）证明：PA⊥BD ‎（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过BD2+AD2=AB2，说明BD⊥AD，证明BD⊥PD，即可证明BD⊥平面PAD．推出PA⊥BD．‎ ‎（II）作DE⊥PB于E，证明BC⊥BD．BC⊥DE，推出DE⊥平面PBC．推出DE•PB=PD•BD，然后求解即可．‎ ‎【解答】（12分）解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，‎ 从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，‎ 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，‎ 所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．‎ ‎（II）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，‎ 则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD，‎ ‎∴BC⊥BD．‎ 故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，‎ 则DE⊥平面PBC．‎ 由题设知PD=1，则BD=，PB=2．‎ 根据DE•PB=PD•BD，得DE=，‎ 即棱锥D﹣PBC的高为．‎ ‎【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为直角时，求△OMN的面积．‎ ‎【分析】（Ⅰ） 设抛物线方程为x2=2py，把点（2，1）代入运算求得 p的值，即可求得抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ） 由直线与圆相切可得，把直线方程代入抛物线方程并整理，由△＞0求得t的范围．利用根与系数的关系及∠MON为直角则，求得t=4，运用弦长公式求得|MN|，求得点O到直线的距离，从而求得△OMN的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 设抛物线方程为x2=2py，‎ 由已知得：22=2p所以p=2，‎ 所以抛物线的标准方程为x2=4y；‎ ‎（Ⅱ）因为直线与圆相切，‎ 所以，‎ 把直线方程代入抛物线方程并整理得：x2﹣4kx﹣4t=0，‎ 由△=16k2+16t=16（t2+2t）+16t＞0得 t＞0或t＜﹣3，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则x1+x2=4k且x1•x2=﹣4t，‎ ‎∵∠MON为直角∴，解得t=4或t=0（舍去），‎ ‎∵，‎ 点O到直线的距离为，‎ ‎∴=．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，向量的数量积公式的应用，点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎