江西省抚州市南城县第一中学2019届高三上学期期末考试 数学（理）（PDF版）

江西省抚州市南城县第一中学2019届高三上学期期末考试 数学（理）（PDF版）

南城一中 2019 届高三年级上学期期末联考 理 科 数 学 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．设集合  0, 1, 2, 3,4A     ，  2 12B x x，则 AB （ ） A． 4 B．  1, 2, 3   C． 0, 1, 2, 3   D． 3, 2, 1,0,1,2,3   2．设复数 1z 与 2z 是互为共轭复数， 1 1iz ，则 12zz  （ ） A．-2 B．2 C．1i D．1i 3．在△ABC 中，三个内角 A，B，C 满足 sin2A＋sin2B－sin2C＝ 3sin Asin B，则角 C 的大 小为( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4．等差数列 na 的前 11 项和 11 88S  ，则 39aa（ ） A．8 B．16 C．24 D．32 5．长方体 1 1 1 1ABCD A B C D ， 1AB  ， 2AD  ， 1 3AA  ，则异面直线 11AB与 1AC 所成角的余弦值 为（ ） A． 14 14 B． 83 14 C． 13 13 D． 1 3 6.某地某所高中 2018 年的高考考生人数是 2015 年高考考生人数的1.5 倍，为了更好地对比 该校考生的升学情况，统计了该校 2015 年和 2018 年的高考情况，得到如下柱状图： 2015 年高考数据统计 2018 年高考数据统计 则下列结论正确的是（ ） A．与 2015 年相比，2018 年一本达线人数减少 B．与 2015 年相比，2018 年二本达线人数增加了0.5 倍 C．与 2015 年相比，2018 年艺体达线人数相同 D．与 2015 年相比，2018 年不上线的人数有所增加 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A． 8  B． 28  C． 8 3  D． 82 3  8．直线 0ax by与圆 22 0x y ax by    的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 9.已知函数   1 1 lnfx xx  ，则  y f x 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 10．若将函数   sin 2 3f x x  的图象向左平移  0  个单位，所得图象关于原点对 称，则 最小时， tan （ ） A． 3 3 B． 3 3 C． 3 D． 3 11．过抛物线 2 4yx 的焦点 F 且倾斜角为 60的直线交抛物线于 A 、 B 两点，以 AF 、 BF 为 直径的圆分别与 y 轴相切于点 M ， N ，则 MN （ ） A． 23 3 B． 3 C． 43 3 D． 23 12．已知函数   2 ,0 1 ,0 x x a x fx xx      的图像上存在不同的两点 A ， B ，使得曲线  y f x 在这两点处的切线重合，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 1, 4  B．  2, C． 12, 4  D．  1, 2 ,4    二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．已知 3a ， 2b ，若 a b a ，则 a 与 b 的夹角是_________． 14．设 x ， y 满足约束条件 10 10 3 xy xy x          则 23z x y的最小值是_________． 15．设 ABC△ 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 22ab 2cos cosa B b A ，且 的面积为 25，则 周长的最小值 为__________． 16．如图，图形纸片的圆心为O ，半径为 6 cm ，该纸片上的正方形 ABCD 的中心为 O ， E ， F ， G ， H ，为圆 O 上的点， ABE△ ， BCF△ ， CDG△ ， ADH△ 分别以 AB ， BC ，CD ， DA 为底边的等腰三角形，沿虚 线剪开后，分别以 ， ， ， 为折痕折起 ， ， ， ，使得 ， ， ， 重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍时，该四棱锥 的外接球的体积为__________． 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤． 17．（12 分）已知在数列 na 中， nS 为其前n 项和，且  2 nS n n N ，数列 nb 为等比数 列， 公比 111,q b a，且 2 4 32 , ,3b b b 成等差数列. （1）求 na 与 nb 的通项公式；（2）令 n n n ac b ，若 nc 的前项和为 nT ，求证： 6.nT  18．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是边长为 2 的菱形， 60ABC  ， PAB△ 为正三角形，且侧面 PAB  底面 ABCD， E 为线段 AB 的中点， M 在线段 PD 上． （1）当 是线段 PD 的中点时，求证： PB∥平面 ACM ； （2）是否存在点 ，使二面角 M EC D的大小为60，若存在，求出 PM PD 的值；若不存 在，请说明理由． 19．（12 分）中国海军，正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军。在中国海军加快建设的大背 景下，国产水面舰艇吨位不断增大、技术日益现代化，特别是国产航空母舰下水，航母需要 大量高素质航母舰载机飞行员。为此中国海军在全国 9 省 9 所优质普通高中进行海航班建设 试点培育航母舰载机飞行员。2017 年 4 月我省首届海军航空实验班开始面向全省遴选学 员，有 10000 名初中毕业生踊跃报名投身国防，经过文化考试、体格测试、政治考核、心理 选拔等过程筛选，最终招收 50 名学员。培养学校在关注学员的文化素养同时注重学员的身 体素质，要求每月至少参加一次野营拉练活动（下面简称“活动”），这批海航班学员在 10 月参加活动的次数统计如图所示： （1）从海航班 50 名学员中任选 2 名学员，他们 10 月参加活动次数恰好相等的概率； （2）从海航班 50 名学员中任选 2 名学员，用 X 表示这两 学员 10 月参加活动次数之差绝对值，求随机变量 的分布 列及数学期望． 20．（12 分）已知椭圆   22 22: 1 0xyC a b ab     的一个焦点与抛物线 2 43yx 的焦点重合，且 直线 byxa 与圆 2210 20 0x y x   相切． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设斜率为 k 且不过原点的直线 l 与椭圆 相交于 A 、 B 两点，O 为坐标原点，直线OA， OB 的斜率分别为 1k ， 2k ，若 1k ， ， 2k 成等比数列，推断 22OA OB 是否为定值？若是，求 出此定值；若不是，说明理由． 21．（12 分）已知函数    1 ln 12 mf x x m Rx    的两个零点为 1x ，  2 1 2x x x ． （1）求实数 m 的取值范围； （2）求证： 12 1 1 2 exx． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 已知直线 l 的参数方程为 14 2 3 2 xt yt     （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos ． （1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的极坐标方程； （2）若直线  π 6R 与曲线 C 交于点 A （不同于原点），与直线l 交于点 B ，求 AB 的 值． 23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数   2f x x a x    ． （1）当 1a  时，求不等式   3fx 的解集； （2） 0xR ，  0 3fx  ，求 a 的取值范围． 高三上学期期末理数参考答案 1． C2． B 3.A 4． B 5.A 6．D7． C 8．B 9．A 10． C 11． A 12． C 13． 150 14． 6 15．10 2 10 16． 3500 3 cm27  连接 OE 交 AB 于点 I ，设 E ， F ，G ， H 重合于点 P ，正方形的边长为  0xx ， 则 2 xOI  ， 6 2 xIE ， ∵该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，∴ 24 6 222 xxx    ，解得 4x  ， 设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为 R ， 则 22OC  ， 16 4 2 3OP    ，    222 2 3 2 2RR   ，解得 5 3 R  ， 外接球的体积 3 34 5 500 3 cm3 273 V    ．故答案为 3500 3 cm27  ． 18．（1）证明：连接 BD 交 AC 于 H 点，连接 MH ， ∵四边形 ABCD是菱形，∴点 H 为 BD 的中点． 又∵ M 为 PD 的中点， ∴ MH BP∥ ．又∵平面 BP ACM ， MH  平面 ACM ． ∴ PB∥平面 ACM ． 6 分 （2）∵ ABCD是菱形， 60ABC  ， E 是 AB 的中点， ∴CE AB ． 又∵ PE  平面 ABCD， 以 E 为原点，分别以 EB ， EC ， EP 为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系 E xyz ， 则  0,0,0E ，  1,0,0B ，  0,0, 3P ，  0 3,0C , ，  2, 3,0D  ． 假设棱 PD 上存在点 M ，设点 M 坐标为 ,,x y z ，  01PM PD   ， 则    , , 3 2, 3, 3x y z     ，∴   2 , 3 , 3 1M   ， ∴   2 , 3 , 3 1EM      ，  0, 3,0EC  ， 设平面 CEM 的法向量为  ,,x y zn ， 则  2 3 3 1 0 30 EM x y z EC y              n n ，解得   0 2 3 1 y xz   ． 令 2z  ，则  31x ，得   3 1 ,0,2n ． ∵ PE  平面 ABCD，∴平面 ABCD的法向量  0,0,1m ， ∴  222 22cos , 7 6 34 3 1       nmmn nm ． ∵二面角 M EC D的大小为 60， ∴ 2 21 27 6 3     ，即 23 2 1 0   ，解得 1 3  ，或 1  （舍去）； ∴在棱 PD 上存在点 M ，当 1 3 PM PD  时，二面角 的大小为 ． 12 分 19．（1）由频率分布表可看出：50 名海航班学员中参加活动一次有 10 人，参加活动 2 次有 25 人，参加活动 3 次有 15 人，记事件 A：“这两人参加活动次数恰好相等” 2 2 2 10 25 15 2 50 () C C CpA C  ,据此计算可得   18 49PA ． 4 分 （2）依题意，随机变量 X 的取值有 0、1、2，求解相应的概率值可得 从海航班中任选 2 名学员， 记事件 B ：“这两人中一人参加 1 次活动，一人参加 2 次活动， 事件 C ：“这两人中一人参加 2 次活动，一人参加 3 次活动”， 事件 D ：“这两人中一人参加 1 次活动，一人参加 3 次活动”， ∴     360 98P X P A   ；       1 1 1 1 10 25 25 15 2 50 C C C C 501+ C 98P X P B P C     ，     11 10 15 2 50 CC 122 C 98P X P D    ， 8 分 ∴随机变量 的分布列为： 10 分 ∴随机变量 的期望 50 12 2 37 98 98 49EX    ． 12 分 20．（1）因为抛物线 2 43yx 的焦点为 3,0 ，则 3c  ，所以 223ab．(2 分) 因为直线 0bx ay与圆  2 255xy 相切，则 22 5 5b ba   ，即 224ab ．(4 分) 解得 2 4a  ， 2 1b  ，所以椭圆 C 的方程是 2 2 14 x y．(5 分) （2）设直线 l 的方程为  0y kx m m   ，点  11,A x y ，  22,B x y ， 将直线 l 的方程代入椭圆方程，得  22 44x kx m，即 2 2 24 1 8 4 4 0k x kmx m ， 则 12 2 8 41 kmxx k     ， 2 12 2 44 41 mxx k   ．(7 分) 由已知，   122 12 12 1 2 1 2 kx m kx myyk k k x x x x    ，则   2 1 2 1 2k x x kx m kx m   ， 即   2 12 0km x x m，所以 22 2 2 8 0 41 km m k     ，即 221 4 0km  ． 因为 0m  ，则 2 1 4k  ，即 1 2k  ，从而 12 2x x m   ， 2 12 22x x m．(10 分) 所以    22 222 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2OA OB x y x y x kx m x kx m                     22 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 2 1 2 2 2k x x km x x m k x x x x km x x m             ．  2 2 2 25 4 2 2 2 2 2 54 m m m m     为定值．(12 分) 21．（1）   22 12 22 m x mfx x x x      ， 当 0m  时，   0fx  ，  fx在  0, 上单调递增，不可能有两个零点； 当 0m  时，由   0fx  可解得 2xm ，由   0fx  可解得02xm ， ∴ 在  0,2m 上单调递减，在 2,m  上单调递增， ∴    min 12 ln 2 122 mf x f m mm    ， 要使得 在 上有两个零点，则 11ln 2 1 022 m   ，解得 e0 2m， 则 m 的取值范围为 e0, 2   ． 5 分 （2）令 1t x ，则   1 1 1 1ln 1 ln 122f x m mt txx       ， 由题意知方程 1 ln 1 02mt t   有两个根，即方程 ln 2 2 tm t  有两个根， 不妨设 1 1 1t x ， 2 2 1t x ，令   ln 2 2 tht t  ， 则当 10, et  时，  ht 单调递增， 1,et   时，  ht 单调递减， 综上可知， 12 1 0ett   ， 要证 12 1 1 2 exx，即证 12 2 ett，即 12 21 eett   ，即证  12 2 eh t h t ， 令     2 ex h x h x    ，下面证  x 对任意的 10, ex  恒成立，     22 21 ln2 1 ln e e2 22 e xxx h x h x x x             ， ∵ 10, ex  ，∴ ln 1 0x   ， 2 2 2 exx ， ∴   2 2 2 221 ln 2 ln1 ln ee 2 2 22 2 2e e e x x xxx x x x                                      ， 又∵ 10, ex  ，∴ 2 2 2 21e e 2 e xx xx    ， ∴   0x  ，则  x 在 10, e   单调递增， ∴   1 0ex ，故原不等式成立． 12 分 22．（1）∵ 2cos ，∴ 2 2 cos   ， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 2220x y x   ． ∵直线 l 的参数方程为 14 2 3 2 xt yt     （ t 为参数），∴ 3 4 3xy ． ∴直线 l 的极坐标方程为 3 cos sin 4 3   ． 5 分 （2）将 π 6  代入曲线 C 的极坐标方程 2cos 得 3  ，∴ A 点的极坐标为 π3, 6  ．将 代入直线 l 的极坐标方程得 314322 ，解得 43  ． ∴ B 点的极坐标为 π4 3, 6  ，∴ 33AB  ． 10 分 23．（1）当 1a  时，   12f x x x    ， ①当 2x  时，   21f x x   ， 令   3fx ，即 2 1 3x   ，解得 2x  ， ②当 21x   时，   3fx ，显然   3fx 成立，∴ 21x   ， ③当 1x  时，   21f x x， 令   3fx ，即 2 1 3x ，解得 1x  ， 综上所述，不等式的解集为 21xx   ． 5 分 （2）∵      2 2 2f x x a x x a x a          ， ∵ 0xR ，有   3fx 成立，∴只需 23a ，解得 51a   ， ∴ a 的取值范围为 5,1 ． 10 分