2020届高三数学下学期期中试题 理（新版）人教版

2020届高三数学下学期期中试题 理（新版）人教版

‎2019学年度第二学期高三期中测试 数学（理科）‎ 一、选择题：共12小题,每小题5分共60分,在每小题给出四个选项中选出符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，或，则 A. B. C. D.‎ ‎2.复数在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎ ‎3.已知，且，则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎4.在平面直角坐标系中,角以为始边,终边与单位圆交于点，则=‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设抛物线上一点到轴的距离是则到该抛物线焦点的距离是 A.1 B.2 C.3 D.4 ‎ - 16 -‎ ‎6.故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览。某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有 A.6种 B.8种 C.10种 D.12种 ‎7.设是公差为的等差数列，为其前n项和，则“”是“为递增数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8. 在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为，若,则 A. B. C. D. ‎ ‎9.若 满足 ，则的最大值为 A.6 B.8 C.10 D.12‎ ‎10.某次数学测试共有道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”，已知这次测试共有个“学习能手”，则难题的个数最多为 - 16 -‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎11. 已知定义在R上的函数是奇函数，且满足，，数列满足，且，的前，则（ ）‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎12. 若函数，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的假周期，函数是上的级假周期函数，若函数是定义在区间内的3级假周期且，‎ 当 函数，若，使成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. 　 D.‎ 二、填空题：共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13. 在(1-2x)6错误！未找到引用源。的展开式中， x2的系 - 16 -‎ 数为___.（用数字作答）‎ ‎14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____.‎ ‎15.设平面向量为非零向量，能够说明若“，‎ 则”是假命题的一组向量的坐标依次为______.‎ ‎16.单位圆的内接正n()边形的面积记为，则________；‎ 下面是关于的描述：‎ ‎①；②的最大值为；③；④.‎ 其中正确结论的序号为________（注：请写出所有正确结论的序号）‎ 三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明.‎ ‎17.(本小题满分12分) 已知函数 ‎ ‎(Ⅰ)求的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求在上的最大值和最小值.‎ ‎18.（本小题满分12分） ‎ - 16 -‎ ‎ 从高一年级随机选取100名学生，对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示.‎ ‎（Ⅰ）从这100名学生中随机选取一人，‎ 求该生数学和语文成绩均低于60分的概率;‎ ‎（Ⅱ）从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人，‎ 记这两人中数学成绩高于80分的人数为，‎ 求的分布列和数学期望;‎ ‎（Ⅲ）试判断这100名学生数学成绩的方差与 语文成绩的方差的大小.（只需写出结论）‎ ‎19.（本小题满分12分） 如图1，在边长为2的正方形中，为中点，‎ 分别将沿所在直线折叠，使点与点重合于点，如图2. ‎ 在三棱锥中，为中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的大小.‎ - 16 -‎ ‎20．（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为，且过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设，是椭圆上不同于点的两点，且直线，的斜率之积等于，‎ 试问直线是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．‎ ‎21. （本小题满分12分） 已知函数.‎ - 16 -‎ ‎（Ⅰ）若曲线在处的切线斜率为0，求的值;‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围 ‎（Ⅲ）求证：当时，曲线总在曲线的上方.‎ 选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 已知直线，曲线.以坐标原点O为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）分别求直线和曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若射线分别交直线和曲线于M,N两点（N点不同于坐标原点O），求的最大值.‎ ‎23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（1）若对于任意的实数，都有成立，求的取值范围；‎ ‎（2）若方程有两个不同的实数解，求的取值范围.‎ - 16 -‎ 一、选择题：共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.【答案】‎ ‎【解析】由题易知，故选 ‎2.【答案】‎ ‎【解析】,所以在复平面上对应的点为，在第二象限,故选 ‎3.【答案】‎ ‎【解析】由在上单调递增可知, ‎ 故选 ‎4.【答案】‎ ‎【解析】由正切函数定义可知: ，，‎ 故选 ‎5.【答案】 ‎ ‎ ‎ ‎【解析】在抛物线中, 焦点 准线点到 轴的距离为即故选 ‎6.【答案】C ‎【解析】法一：种 - 16 -‎ 法二：种.故选C ‎7.【答案】D ‎【解析】充分条件的反例，当，时，，，充分不成立.‎ 必要条件的反例，例，，，‎ 必要不成立.故选D.‎ ‎8.A 【解析】,‎ ‎9.A 可行域如右图所示：‎ 设即，当过时，取最大值，‎ 所以.‎ ‎10.【答案】D ‎【解析】由题意可知每位“学习能手”最多做错道题，位“学习能手”则最多做错道题.而至少有个“学习能手”做错的题目才能称之为“难题”，所以难题最多道.故选D.‎ ‎11.D ‎12. C 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.60 ‎ ‎14.【答案】 【解析】该几何体如图所示：‎ 可知,为等边三角形,‎ - 16 -‎ 所以,所以四边形的面积为 ‎,所以.‎ ‎15.【答案】，，（答案不唯一）‎ ‎【解析】‎ 设，，,则，，所以但，所以若，则为假命题。‎ ‎16.【答案】；①③④‎ ‎【解析】内接正边形可拆解为个等腰三角形，腰长为单位长度，顶角为.‎ 每个三角形的面积为，所以正边形面积为 ‎.，①正确；‎ 正边形面积无法等于圆的面积，所以②不对；‎ 随着的值增大，正边形面积也越来越大，所以③正确；‎ 当且仅当时，有，由几何图形可知其他情况下都有 所以④正确.‎ 四、 解答题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明.‎ ‎17、解:(Ⅰ)由题意得：,‎ ‎(Ⅱ)当时，‎ - 16 -‎ 当时,即时,取得最大值.‎ 当时,即时,取得最小值.‎ 所以在上的最大值和最小值分别是和.‎ ‎18、解:（Ⅰ）由图知有9名学生数学和语文成绩均低于60分,则从100名学生中随机选一人,该生数学和语文成绩均低于60分的概率为.‎ ‎（Ⅱ）由题可知,的可能取值为0,1,2‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎（Ⅲ）‎ ‎19.解:（Ⅰ）由图1知 ‎ 由图2知重合于点.则 ‎ ‎ 面 面 ‎ 面,又面 ‎ - 16 -‎ ‎（Ⅱ）由题知 为等边三角形 过取 延长作 建立如图空间直角坐标系 则 ‎ 易知面的法向量为 ‎ 设与平面 夹角为 ‎ 则 ‎ ‎ 直线与平面所成角正弦值为 ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知面的法向量为 ‎ ‎ 设面法向量为 ‎ ‎ 易知为中点 ，， ‎ ‎ 即 ‎ - 16 -‎ ‎ 令 则 ‎ 则 ‎ 由图知二面角为锐角， 二面角为 ‎ ‎20．解:（Ⅰ），，‎ 过，，，‎ ‎，‎ ‎（Ⅱ）①当斜率不存在时，设，则，‎ ‎，，‎ 又在椭圆上，，解得，，‎ ‎．‎ ‎②当斜率存在时，设，与椭圆联立，由 得，，即，‎ 设，，‎ 则，，‎ - 16 -‎ ‎，‎ ‎，，或，‎ 当时，，恒过不符合①，‎ 当时，，结合①，恒过，‎ 综上，直线恒过．‎ ‎21.解:（Ⅰ），由题可得，即，故 ‎（Ⅱ）‎ ‎①当时，恒成立，符合题意。‎ ‎②当时，恒成立，则在上单调递增，当时，，不符合题意，舍去；‎ ‎③当时，令，解得 当变化时，和变化情况如下 极小值 ‎，由题意可，即，‎ 解得。‎ 综上所述，的取值范围为 - 16 -‎ ‎（Ⅲ）由题可知要证的图像总在曲线上方，即证恒成立，即要证明恒成立，构造函数 ‎ ，令，故，则在单调递增，则单调递增.因为，，由零点存在性定理可知，在存在唯一零点，设该零点为，‎ 令，即，且 当变化时，和变化情况如下 极小值 则，因为，所以，‎ 所以，当且仅当时取等，因为，‎ ‎，‎ 即恒成立，曲线总在曲线的上方.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ - 16 -‎ ‎22.解：（1） ……………..…4分 ‎（2）由已知可设 ‎ 则 ………………..…6分 仅当时，取得最大值 …..…10分 23. 解：（1） 由于，‎ 所以的最小值为。又因为对任意的实数，‎ 都有成立，只需，‎ 即，解得，故的取值范围为。………5分 ‎（2）方程有两个不同的实数解，即函数与 的图像有两个不同的交点，作出这两个函数图像，‎ 由图像可知，得取值范围是………10分 - 16 -‎