河南省许昌高级中学2019届高三复习诊断（二）数学（文）试题

河南省许昌高级中学2019届高三复习诊断（二）数学（文）试题

许昌高级中学2019届复习诊断（二）‎ 数学（文）试题 ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．（文）已知全集，集合，集合，则集合(　　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知i为虚数单位，实数x，y满足(x＋2i)i＝y－i，则|x－yi|＝(　　 )‎ A．1 B. C. D. ‎3．命题“，”的否定是(　　 )‎ A．， B．，‎ C．， D．， ‎ ‎4．函数f(x)＝x2－xsin x的大致图象可能是 (　　 )‎ A　 　　　　 　B C　　　 　　　　　 D ‎5．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(4,0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为(　　 )‎ A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1或－＝1‎ ‎6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　 )‎ A．8π＋6 B．6π＋6 C．8π＋12 D．6π＋12‎ ‎7．定义在R上的偶函数在[0，＋∞)单调递增，且f(－2)＝1，则f(x－2)≤1的取值范围是(　　 )‎ A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．[0,4]‎ ‎8．已知为正项等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则的值是(　　 )‎ A．29 B．30 C．31 D．32‎ ‎9．（文）已知实数x，y满足约束条件，则z＝的取值范围为(　　 )‎ A. B. ‎ C. D.∪ ‎10．在平面直角坐标系中，点为椭圆的下顶点，，在椭圆上，若四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则椭圆的离心率的取值范围为(　　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角ABDC的余弦值为－，则该四面体ABCD外接球的体积为(　　 )‎ A.π B．8π C.π D．36π ‎12.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，‎ ‎，若，，，则，，的大小关系正确的是(　　 )‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知函数满足，则________．‎ ‎14．将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ＜0)的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则φ的最大值是________．‎ ‎15．设等差数列的前项和，，，若数列的前项和为，则________．‎ ‎16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于点A，B，以线段AB为直径的圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D(－2，t)，则实数t的取值范围为________．‎ 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2acos C＋bcos C＋ccos B＝0.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若a＝2，△ABC的面积为，求c的大小．‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ ‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PB的中点．‎ ‎(1)证明：PD∥平面CEF；‎ ‎(2)若PE⊥平面ABCD，PE＝AB＝2，求四面体P－DEF的体积．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0 )的左、右焦点分别为F1，F2，MF2⊥x轴，直线MF1交y轴于H点，OH＝，Q为椭圆E上的动点，△F1F2Q的面积的最大值为1.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)过点S(4,0)作两条直线与椭圆E分别交于A，B，C，D，且使AD⊥x轴，如图，问四边形ABCD的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ ‎ 某人事部门对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制的频率分布直方图如图所示．规定80分以上者晋级成功，否则晋级失败(满分为100分)．‎ ‎(1)求图中a的值；‎ ‎(2)估计该次考试的平均分(同一组中的数据用该组的区间中点值代表)；‎ ‎(3)根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．‎ 晋级成功 晋级失败 合计 男 ‎16‎ 女 ‎50‎ 合计 参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d P(K2≥k)‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k ‎0.780‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎21．已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)与直线x－y－1－ln2＝0相切，求实数a的值；‎ ‎(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2，证明＋>2．‎ ‎【选考题】‎ 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，0≤α＜π)．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)当α＝时，求C与l的交点的极坐标；‎ ‎(2)直线l与曲线C交于A，B两点，且两点对应的参数t1，t2互为相反数，求|AB|的值．‎ ‎23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知f(x)＝|mx＋3|－|2x＋n|.‎ ‎(1)当m＝2，n＝－1时，求不等式f(x)＜2的解集；‎ ‎(2)当m＝1，n＜0时，f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值范围．‎ ‎数学（文）答案 ‎1．【答案】B ‎【解析】因为，，所以，因为，则．‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】因为(x＋2i)i＝y－i，所以－2＋xi＝y－i，所以，则|x－yi|＝|－1＋2i|＝.‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】由全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否定是“，”．‎ ‎4．【答案】C 由f(－x)＝f(x)，x∈R，得函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．又f＝×－×＝××＜0，因此结合各选项知C正确.‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，即a＝b，又双曲线C：－＝1的一个焦点坐标为(4,0)，所以2a2＝16，即a2＝b2＝8，即该双曲线的方程为－＝1.‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】由三视图可得该几何体是由圆柱的一半(沿轴截面截得，底面半径为1，母线长为3)和一个半径为1的半球组合而成(部分底面重合)，则该几何体的表面积为S＝2π＋π＋2π×3×＋2×3＝6π＋6.‎ ‎7．【答案】D ‎【解析】由题意得f(x－2)≤f(－2)，由于函数f(x)是偶函数，所以x－2到原点的距离小于等于－2到原点的距离，所以|x－2|≤|－2|＝2，所以－2≤x－2≤2，解之得0≤x≤4。‎ ‎8．【答案】C ‎【解析】设正项等比数列的公比为，则，，与的等差中项为，即有，即，解得（负值舍去），则有 ‎． ‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】作出的可行域为三角形(图略)，把z＝改写为＝，所以可看作点(x，y)和(5,0)之间的斜率，记为k，则－≤k≤，所以z∈.‎ ‎10．【答案】A ‎【解析】因为是平行四边形，因此且，故，代入椭圆方程可得，所以．因，所以，即，所以，即，解得．‎ ‎11．【答案】B ‎【解析】取BD中点M，连接AM，CM(图略)．根据二面角的平面角的概念，可知∠AMC是二面角ABDC的平面角，根据图形的特征，结合余弦定理，可以求得AM＝CM＝2·＝3，此时满足AC2＝9＋9－2×3×3×＝24，从而求得AC＝2，AB2＋BC2＝AD2＋CD2＝AC2，所以△ABC，△ADC是共斜边的两个直角三角形，所以该四面体的外接球的球心落在AC中点，半径R＝＝，所以其体积为V＝πR3＝π·6＝8π.‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】定义域为的奇函数，设，所以为上的偶函数，所以，因为当时，．所以当时，，当时，，即在单调递增，在单调递减．，，‎ ‎，因为，‎ 所以．即．‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】由题意函数满足，令，则．‎ ‎14．【答案】－ ‎【解析】函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ＜0)的图象向左平移个单位长度，得到y＝2sin＝2sin，即g(x)＝2sin，又g(x)为偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z.又因为φ＜0，所以φ的最大值为－.‎ ‎15．【答案】10‎ ‎【解析】为等差数列的前项和，设公差为，，，则，解得，则．由于，‎ 则，解得，故答案为10． ‎ ‎16．【答案】[－1,3] ‎ ‎【解析】由题意可得直线AB的方程为x＝y＋1，与y2＝4x联立消去x，可得y2－4y－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y1y2＝－4，设E(xE，yE)，则yE＝＝2，xE＝yE＋1＝3，又|AB|＝x1＋x2＋2＝y1＋1＋y2＋1＋2＝8，所以圆E是以(3,2)为圆心，4为半径的圆，所以点D恒在圆E外．圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D(－2，t)，即圆E上存在点P，Q，使得DP⊥DQ，设过D点的两直线分别切圆E于P′，Q′点，要满足题意，则∠P′DQ′≥，所以＝≥，整理得t2－4t－3≤0，解得2－≤t≤2＋，故实数t的取值范围为[2－，2＋].‎ ‎17．【解析】(1)在△ABC中，因为2acos C＋bcos C＋ccos B＝0，‎ 所以由正弦定理可得：2sin Acos C＋sin Bcos C＋sin Ccos B＝0，‎ 所以2sin Acos C＋sin(B＋C)＝0，又△ABC中，sin(B＋C)＝sin A≠0，所以cos C＝－.‎ 因为0＜C＜π，所以C＝.‎ ‎(2)由S＝absin C＝，a＝2，C＝，得b＝1.‎ 由余弦定理得c2＝4＋1－2×2×1×＝7，所以c＝.‎ ‎18．(1)证明：连接BE，BD，BD交CE于点O，连接OF.‎ 因为E为线段AD的中点，BC＝AD＝ED，AD∥BC，所以BC∥ED.‎ 所以四边形BCDE为平行四边形，所以O为BD的中点，‎ 又因为F是BP的中点，所以OF∥PD.‎ 因为OF⊂平面CEF，PD⊄平面CEF，所以PD∥平面CEF.‎ ‎(2)因为F为线段PB的中点，所以VP－DEF＝VB－DEF＝VP－BDE＝×VP－ABCD，‎ 因为VP－ABCD＝PE··＝×2××＝2.‎ 所以VP－DEF＝.‎ ‎19．【解析】(1)设F(c,0)，由题意可得＋＝1，即yM＝.‎ 因为OH是△F1F2M的中位线，且OH＝，‎ 所以|MF2|＝，即＝，整理得a2＝2b4.　①‎ 又由题知，当Q在椭圆E的上顶点时，△F1F2M的面积最大，‎ 所以×2c×b＝1，整理得bc＝1，即b2(a2－b2)＝1，②‎ 联立①②可得2b6－b4＝1，变形得(b2－1)(2b4＋b2＋1)＝0，解得b2＝1，进而a2＝2.‎ 所以椭圆E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则由对称性可知D(x1，－y1)，B(x2，－y2)．‎ 设直线AC与x轴交于点(t,0)，直线AC的方程为x＝my＋t(m≠0)，‎ 联立，消去x，得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－2＝0，‎ 所以y1＋y2＝，y1y2＝，‎ 由A，B，S三点共线kAS＝kBS，即＝，‎ 将x1＝my1＋t，x2＝my2＋t代入整理得：y1(my2＋t－4)＋y2(my1＋t－4)＝0，‎ 即2my1y2＋(t－4)(y1＋y2)＝0，从而＝0，‎ 化简得2m(4t－2)＝0，解得t＝，‎ 于是直线AC的方程为x＝my＋， ‎ 故直线AC过定点.同理可得BD过定点，‎ 所以直线AC与BD的交点是定点，定点坐标为.‎ ‎20．【解析】(1)由频率分布直方图中各小长方形面积总和为1，‎ 得(2a＋0.020＋0.030＋0.040)×10＝1，解得a＝0.005.‎ ‎(2)由频率分布直方图知各小组的中点值依次是55,65,75,85,95，‎ 对应的频率分布为0.05,0.30,0.40,0.20,0.05，‎ 则估计该次考试的平均分为＝55×0.05＋65×0.3＋75×0.4＋85×0.2＋95×0.05＝74(分)．‎ ‎(3)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.2＋0.05＝0.25，‎ 故晋级成功的人数为100×0.25＝25，‎ 填写2×2列联表如下：‎ 晋级成功 晋级失败 合计 男 ‎16‎ ‎34‎ ‎50‎ 女 ‎9‎ ‎41‎ ‎50‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ K2＝＝≈2.613>2.072，‎ 所以有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．‎ ‎21．(文) 【解析】(1)由f(x)＝lnx－ax，得f′(x)＝－a.‎ 设切点的横坐标为x0，依题意得：‎ 解得 故实数a的值为1.‎ ‎(2)证明：不妨设01，则ln>0，－－2ln＝t－－2lnt.‎ 设g(t)＝t－－2lnt，则当t>1时，g′(t)＝>0，‎ 则函数g(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(t)>g(1)＝0.‎ 从而>0，即＋>2.‎ ‎【选考题】‎ 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．【解析】(1)依题意可知，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，‎ 当ρ＞0时，联立，解得交点，‎ 当ρ＝0时，经检验(0,0)满足两方程，‎ 当ρ＜0时，无交点；‎ 综上，曲线C与直线l的交点极坐标为(0,0)，.‎ ‎(2)把直线l的参数方程代入曲线C，得t2＋2(sin α－cos α)t－2＝0，‎ 可知t1＋t2＝0，t1t2＝－2，所以|AB|＝|t1－t2|＝＝2.‎ ‎23．【解析】(1)当m＝2，n＝－1时，f(x)＝|2x＋3|－|2x－1|.‎ 不等式f(x)＜2等价于 或或 解得x＜－或－≤x＜0，即x＜0.‎ 所以不等式f(x)＜2的解集是(－∞，0)．‎ ‎(2)由题设可得，f(x)＝|x＋3|－|2x＋n|＝ 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(3－n,0)，C.‎ 所以三角形ABC的面积为＝.‎ 由题设知，＞24，解得n＜－6.‎