2018-2019学年吉林省延边第二中学高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年吉林省延边第二中学高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 吉林省延边第二中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知复数满足，则复数的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把给出的等式两边同时乘以i，然后利用复数的乘法运算化简，取虚部为相反数得到z的共轭复数．‎ ‎【详解】‎ 由，得．‎ ‎∴复数z的共轭复数为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎2．设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则=( )‎ A．2 B．1 C． D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数概念直接求解．‎ ‎【详解】‎ 解：∵函数f（x）在x＝1处存在导数，‎ ‎∴f′（1）=．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的概念，是基础题，解题时要认真审题，注意导数定义的合理运用．‎ ‎3．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的选法为（ ）‎ A．45 种 B．42 种 C．28 种 D．16种 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分成两类：：2部都为魏晋南北朝时期的名著、只有1部为魏晋南北朝时期的名著，分别计算即可.‎ ‎【详解】‎ 解：2部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为＝21种，‎ 只有1部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为＝21种，‎ ‎∴事件“所选两部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著”的选法为42种.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查组合数的简单应用，属于基础题.‎ ‎4．将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有(　　)‎ A．480种 B．240 种 C．960种 D．720 种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论，考虑C排在左边第一、二、三个位置的情况，再利用对称性可得结论．‎ ‎【详解】‎ 解：第一类，字母C排在左边第一个位置，有种；‎ 第二类，字母C排在左边第二个位置，有种；‎ 第三类，字母C排在左边第三个位置，有种，‎ 由对称性可知共有2（）＝480种．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用排列知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎5．下面几种推理是演绎推理的个数是（ ）‎ ‎①两条直线平行，同旁内角互补。如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,那么∠A+∠B=180°；‎ ‎②猜想数列1，3，5，7，9，11，…的通项公式为；‎ ‎③由正三角形的性质得出正四面体的性质；‎ ‎④半径为的圆的面积，则单位圆的面积．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．其形式在高中阶段主要学习了三段论：大前提、小前提、结论，由此对四个命题进行判断得出正确选项．‎ ‎【详解】‎ 解：对于①是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补，”，小前提是“∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角”，结论是“∠A+∠B＝180°”；‎ 对于②是由特殊到一般，是归纳推理；‎ 对于③“正三角形的性质得出正四面体的性质”是类比推理；‎ 对于④是演绎推理，大前提是“半径为的圆的面积”，小前提是“单位圆”，结论是“单位圆的面积”；‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考点是进行简单的演绎推理，解题的关键是熟练掌握演绎推理的定义及其推理形式，演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．演绎推理主要形式有三段论，其结构是大前提、小前提、结论.‎ ‎6．用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由 到时，不等式的左边（　　）‎ A．增加了一项 B．增加了两项 C．增加了两项，又减少了一项 D．增加了一项，又减少了一项 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：n=k时，左边="1" /k+1 +1/ k+2 ++1/ k+k ，‎ n=k时，左边="1" /(k+1)+1 +1 /(k+1)+2 ++1 /(k+1)+(k+1)="(1/" k+1 +1 /k+2 ++1/ k+k )-1 /k+1 +1 /2k+1 +1/ 2k+2 ‎ 故选C ‎7．若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导函数，利用导数有两个不同的零点，说明函数恰好有三个单调区间，从而求出a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：∵函数f（x）＝ax3﹣3x2+x+1，‎ ‎∴f′（x）＝3ax2﹣6x+1，‎ 由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点，‎ ‎∴3ax2﹣6x+1＝0满足：a≠0，且△＝36﹣12a＞0，解得a＜3，‎ ‎∴a∈（﹣∞，0）∪（0，3）．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数在研究函数单调性的应用，运用了函数与方程思想．属于基础题．‎ ‎8．（3分）（2011•重庆）（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（ ）‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中x5与x6的系数，列出方程求出n．‎ 解：二项式展开式的通项为Tr+1=3rCnrxr ‎∴展开式中x5与x6的系数分别是35Cn5，36Cn6‎ ‎∴35Cn5=36Cn6‎ 解得n=7‎ 故选B 点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．‎ ‎9．有4名学生要到某公司实践学习，该公司共有5个科室，由公司人事部门安排他们到其中任意3个科室实践，每个科室至少安排一人，则不同的安排方案种数为（ ）‎ A．120 B．240 C．360 D．480‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先从5个科室任选三个，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个科室，根据分步计数原理可得答案 ‎【详解】‎ 解：先从5个科室任选三个，有10种，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个科室，故有•360，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．‎ ‎10．一个正方形花圃，被分为5份A、B、C、D、E，种植红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花,则不同的种植方法有（ ）．‎ A．24 种 B．48 种 C．84 种 D．96种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 区域A、C、Ｄ两两相邻，共有种不同的种植方法，讨论区域E与区域A种植的花的颜色相同与不同，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 区域A、C、Ｄ两两相邻，共有种不同的种植方法，‎ 当区域E与区域A种植相同颜色的花时，种植B、E有种不同的种植方法，‎ 当区域E与区域A种植不同颜色的花时，种植B、E有种不同的种植方法，‎ ‎∴不同的种植方法有种，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与分析、运算及求解能力，属于中档题．‎ ‎11．若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出,要使恰有2个正极值点，则方程有2个不相等的正实数根，即有两个不同的正根，的图象在轴右边有两个不同的交点，利用导数研究函数的单调性，由数形结合可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，可得,‎ 要使恰有2个正极值点，‎ 则方程有2个不相等的正实数根，‎ 即有两个不同的正根，‎ 的图象在轴右边有两个不同的交点，‎ 求得，‎ 由可得在上递减，‎ 由可得在上递增，‎ ‎，‎ 当时，；当时，‎ 所以，当，即时，‎ 的图象在轴右边有两个不同的交点，‎ 所以使函数在区间上有两个极值点，‎ 实数的取值范围是，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的极值、单调性与最值，考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将极值问题转化为方程问题，再转化为函数图象交点问题是解题的关键.‎ ‎12．已知函数， ，若成立，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】不妨设，则： ，‎ 则，令，‎ 则，由可得，结合导函数与原函数的关系可知：‎ ‎.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0（或f′(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b）内可导的函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，且f′(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f′(x0)=0.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若 ，则的值是__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵，易得，故答案为.‎ 考点：定积分的计算.‎ ‎14．七个人站成一排，则甲乙两人之间恰好间隔3人的站法有_____________种.‎ ‎【答案】720‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分析甲乙两人的站法数目，再从其他5人中，选出甲乙之间的三人，分析其选法，最后用捆绑法，将甲乙及其中间站的人视为一个元素，与剩余两人共3个元素全排列，由分步计数原理分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：依题意，先分析甲乙两人，甲乙两人有2种站法，‎ 再从其他5人中，选出3人，站在甲乙之间，有种选法，‎ 最后用捆绑法，‎ 将甲乙及其中间站的三人视为一个元素，与剩余两人共3个元素全排列，有A33种排列方法；‎ 由分步计数原理可得，不同站法有2××A33＝720种，‎ 故答案为：720．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列、组合的综合应用，注意分析的顺序一般是，先抽取，再排列．‎ ‎15．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ‎________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出原函数的导函数，由题意得到关于a的不等式组，求解得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：由，得f′（x）＝x，‎ ‎∵在区间[a﹣1，a+2]上单调递减，‎ 则，解得1＜a≤2．‎ ‎∴实数a的取值范围是（1，2]．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性与导函数符号间的关系，是中档题．‎ ‎16．对于任意，当 时，恒有成立,则实数的取值范围是_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 解：对于任意∈，当＞时，恒有a（ln﹣1n）＜2（﹣）成立，‎ 即恒有aln﹣2＜a1n﹣成立，‎ 令f（x）＝alnx﹣2x，则f（x）在上为减函数，‎ 则f′（x）0在上恒成立，‎ ‎∴a≤2x在上恒成立，‎ 即a≤4．‎ ‎∴实数a的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．（1）若,,求的值 ‎（2）的值(用数字作答)‎ ‎【答案】（1）7；（2）164‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用排列数公式即可得到结果.‎ ‎（2）利用求解．‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ‎ 即：‎ 解得：或舍去） ‎ ‎ ‎ ‎ (2) ‎ ‎＝（）‎ ‎＝（）1‎ ‎＝（）1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1＝164．‎ 故答案为：164．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合的运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18．（1）设常数，若的二项展开式中项的系数为，求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可；‎ ‎(2) 利用赋值法，令x＝0，求出的值，再求出的值，即得的值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)的展开式的通项为Tr+1＝C5rx10﹣2r（）r＝C5rx10﹣3rar 令10﹣3r＝7得r＝1，‎ ‎∴x7的系数是aC51‎ ‎∵x7的系数是﹣10，‎ ‎∴aC51＝﹣10，‎ 解得a＝﹣2．‎ ‎(2)令x＝0，可得，‎ 令x=，可得 ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应利用赋值法，容易求出正确的结果．‎ ‎19．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品13千克.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大利润.‎ ‎【答案】（1）6（2）x=4,46‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由f（5）＝13代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；‎ ‎（Ⅱ）商场每日销售该商品所获得的利润＝每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为x＝5时，y＝13，所以10＝13，故a＝6，‎ ‎（2）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 ‎ ‎ 从而，f′（x）＝10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]＝30（x﹣6）（x﹣4）‎ 于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：‎ ‎ x ‎（3，4）‎ ‎4 ‎ ‎（4，6）‎ ‎ f'（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎ f（x）‎ ‎ 单调递增 极大值46 ‎ ‎ 单调递减 由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．‎ 所以，当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于46‎ 答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.‎ ‎【点睛】‎ 本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题．‎ ‎20．设函数.‎ ‎（1）当，时，求函数的最值；‎ ‎（2）令，其图象上存在一点，使此处切线的斜率，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）函数的最大值为，无最小值；（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）确定函数的定义域，求导数，确定函数的单调性，再求函数f（x）的最大值；‎ ‎（2）F（x）＝lnx，x∈[，3]，则有k＝F′（）在x0∈[，3]上有解，可得a≥（）min，x0∈[，3]，求出的最小值，即可求实数a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，的定义域为，‎ 当，时，，，‎ 由 ，得，解得；由 ，得，解得或.在单调递增，在单调递减； 所以的极大值为，此即为最大值；无最小值；‎ ‎（2），，则有在上有解，‎ ‎，所以当时，取得最小值，所以 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的最值，考查分离参数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎21．已知函数和 ‎（1）若是的导函数，求的值 ‎（2）当时，不等式恒成立，其中是导函数,求正整数的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，代入x的值即可得到结果；‎ ‎（2）不等式恒成立等价于对于恒成立.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得 ‎∴；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立 即对于恒成立 设，则 ‎，在区间上是增函数，‎ 且存在唯一实数根,满足，即 由时，；时，‎ 知的最小值为 故正整数的最大值为3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．‎ ‎22．已知函数,.‎ ‎（1）求最大正整数n，使得对任意个实数时，都有恒成立；‎ ‎（2）设的图象上是否存在不同的两点，使得成立.‎ ‎【答案】（1）2685；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对于当xi∈[e﹣1，2]时，都有f（xi）＜2014g（xn+1）成立，转化为[f（xi）]max＜[2014g（xn+1）]min，求出函数最值即可;‎ ‎(2)先求出函数H（x）的导数，再求出H（）﹣H（），转化为ln2，利用换元法令t，t∈（1，+∞），够造函数u（t）＝lnt2，判断函数有无零点即可得到结论 ‎【详解】‎ ‎(1) ‎ 均为增函数 ‎ -‎ ‎ ‎ ‎ 的最大值为2685.‎ ‎(2) ‎ 原式 ①‎ 令 ‎①式 令 ‎ 在上是增函数 ‎ 无零点,故A、B两点不存在 ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数求出函数的最值，判断函数的单调性，以及函数的零点存在性，培养了学生的转化思想，增强学生的运算能力，属于难题.‎