陕西省咸阳市旬邑中学彬州市阳光中学 彬州中学2019-2020学年高二上学期期中考试质量检测数学试题

陕西省咸阳市旬邑中学彬州市阳光中学 彬州中学2019-2020学年高二上学期期中考试质量检测数学试题

‎2019—2020学年度第一学期期中质量检测 高二数学试题 考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟.请将答案填写在答题纸相对应的位置.‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.若，则下列不等式中不正确的是（）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断出的大小关系，然后根据不等式的性质以及基本不等式逐项判断.‎ ‎【详解】由，得，，，故D不正确，C正确；，，，故A正确；，，，取等号时，故B正确，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查利用不等式性质以及基本不等式判断不等式是否成立，难度一般.注意使用基本不等式计算最值时，取等号条件一定要记得添加.‎ ‎2.设，，则与的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. 与的取值有关 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作差后与0比较。‎ ‎【详解】由题意，‎ ‎∴当或2时，，当时，，当或时，。‎ 故选：D。‎ ‎【点睛】本题考查实数比较大小。属于基础题。基本方法是作差法。‎ ‎3.已知不等式的解集为,则不等式的解集为(   )‎ A. 或 B. ‎ C. D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式的解集为,可得的根为，‎ ‎，由韦达定理可得的值，代入不等式解出其解集即可.‎ ‎【详解】的解集为,‎ 的根为，‎ 即，，‎ 解得，‎ 则不等式可化为，‎ 即为，‎ 解得或，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是—元二次不等式的解法，及一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系，其中利用韦达定理求出的值，是解答本题的关键.‎ ‎4.在等比数列中，，是方程的两根，则等于（ ）‎ A. 1 B. ‎-1 ‎C. D. ‎ 不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由韦达定理得，再由等比数列性质可求得。‎ ‎【详解】∵，是方程的两根，∴，，∴，‎ 又是等比数列，∴，而等比数列中所有偶数项同号，∴。‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的性质，考查韦达定理，掌握等比数列性质是解题基础。‎ ‎5.在中，若，那么角等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理先求得，再得。‎ ‎【详解】中，由题意，∴。‎ 故选：C。‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理，考查用余弦定理求角。余弦定理公式较多，注意选用：如，变形为。‎ ‎6.在锐角中，角所对边长分别为.若（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：正弦定理解三角形 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎7.已知变量、满足，则的最大值为（ ）‎ A. 16 B. ‎8 ‎C. 6 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解。‎ ‎【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当过时取得最大值4。‎ 故选：D。‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划，解题方法是作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解。‎ ‎8.已知，，，则的最小值为（ ）‎ A 6 B. ‎12 ‎C. 18 D. 24‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由展开后利用基本不等式求得最小值。‎ ‎【详解】∵，，，‎ ‎∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值是18。‎ 故选：C。‎ ‎【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题方法是“‎1”‎的代换，主要是配凑出基本不等式中的“定值”，注意要得到最值，还要满足“相等”的条件，否则等号取不到。‎ ‎9.已知满足，且能取到最小值，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. -1＜a＜2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图，只要直线y=a(x-1)能够与阴影部分区域构成三角形, 那么z=x+y就有最小值存在，就是直线y=-x+z与y轴交点的纵坐标的最小值，则直线y=a(x-1)的斜率a应该在g(x)和f(x)的斜率之间有-1＜a＜2.‎ 又当a=-1时，直线y=-x+z与y轴交点的纵坐标有最小值.‎ 又当a=2时，直线y=a(x-1)与直线f(x)重合，y=-x+z没有最小值.‎ 所以-1≤a＜2.‎ ‎10.原点和点在直线两侧，则的取值范围是（ ）‎ A. 或 B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把和代入，两者异号。‎ ‎【详解】直线方程一般式，‎ 而原点和点在直线两侧，‎ 则，解得。‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查二元一次不等式表示的平面区域，在直线的同一侧的点的坐标代入所得值同号，即表示直线的一侧，表示直线的另一侧。‎ ‎11.已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为( 　)‎ A. 9 B. ‎18 ‎C. 9 D. 18‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角形内角和求出，由三角形的性质求出边BC，根据面积公式求出三角形面积.‎ ‎【详解】由三角形内角和：，故三角形为等腰三角形，所以，‎ 由三角形面积公式：.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查三角形面积公式以及三角形性质，注意面积公式中边与角的关系，求边长时也可以通过正弦定理.‎ ‎12.等比数列的前项和为，且， ， 成等差数列，若，则（ ）‎ A. 7 B. ‎8 ‎C. 15 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n项和公式．‎ 考点：1．等比数列通项公式及前n项和公式；2．等差中项．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.不等式的解集是______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 移项通分，解分式不等式，注意分母不为0.‎ ‎【详解】‎ 故解集为：‎ ‎【点睛】本题考查解分式不等式，属于简单题.‎ ‎14.若，且，，，和，，，，各自都成等差数列，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的定义计算。‎ ‎【详解】设数列，，，的公差为，数列，，，，的公差为，‎ 则，，‎ ‎∴。‎ 故答案为：。‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的定义，属于基础题。题中只要用首末两项表示出各自的公差即可计算。‎ ‎15.在中，若,那么角C=______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形面积公式整理，即可得到，问题得解．‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，即：‎ 所以，又，‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理及计算能力，属于基础题 ‎16.三位同学合作学习，对问题“已知不等式对于恒成立,求的取值范围”提出了各自的解题思路.‎ 甲说：“可视为变量，为常量来分析”.‎ 乙说：“不等式两边同除以2，再作分析”.‎ 丙说：“把字母单独放在一边，再作分析”.‎ 参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 利用丙的方法，将字母a分离出来，然后将看成整体，转化成关于的二次函数，求出的范围，只需研究二次函数在闭区间上的最大值即可．故答案为a,故填写a．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.关于的不等式（为常数）.‎ ‎（1）如果，求不等式的解集；‎ ‎（2）如果不等式的解集为，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由因式分解得出二次方程的根，直接写出不等式的解集．‎ ‎（2）利用一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系求解．‎ ‎【详解】（1）由，得，即.‎ 解得或．‎ 所以原不等式的解集为．‎ ‎（2）根据题意，得.‎ 解得．‎ ‎【点睛】本题考查解一元二次不等式，掌握一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系是解题基础．‎ ‎18.已知函数（为正数）.‎ ‎（1）若，求当时函数的最小值；‎ ‎（2）当时，函数有最大值-3，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）函数式为，利用基本不等式可得最小值；‎ ‎（2）函数式变形为，这样括号内式子可以用基本不等式求得最小值，也是求得最大值，由最大值-3可求得．‎ ‎【详解】解：（1）时，．因为，所以．‎ 所以.‎ 当且仅当，即时取等号．‎ 所以当时函数的最小值为．‎ ‎（2）因为，所以．‎ 所以.‎ 当且仅当，即时取等号．‎ 即函数的最大值为．所以．‎ 解得．‎ ‎【点睛】本题考查用基本不等式求函数的最值，解题时要注意基本不等式求最值的条件：一正二定三相等，没有定值时可以凑配出定值，不是正数时，请利用相反数变为正数，特别要注意只有能“相等”才能是最值．‎ ‎19.等比数列中，已知．‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）本题考察的是求等比数列的通项公式，由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项和公比，代入等比数列的通项公式，即可得到所求答案．‎ ‎（2）由（1）可得等差数列的第3项和第5项，然后根据等差数列的性质可以求出等差数列的通项，然后根据等差数列的求和公式，即可得到其前项和．‎ 试题解析：（Ⅰ）设的公比为由已知得，解得，所以 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，则，‎ 设的公差为，则有解得 从而 所以数列的前项和 考点：等差、等比数列的性质 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎20.在中，，，，求的面积.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 分析】‎ 用正弦定理求出，然后得出，最后由面积公式得三角形面积，注意有两解．‎ ‎【详解】解：由正弦定理，得.‎ ‎∵，故该三角形有两种：或.‎ 当时，，；‎ 当时，，，‎ ‎∴的面积为或.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理，考查三角形面积公式．在用正弦定理解三角形时要注意可能有两解，需要分类讨论．‎ ‎21.设.‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）求的最小值.‎ ‎【答案】（1）1；（2）9‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由均值不等式易得的最大值为1．（2）利用将所求化为 再运用均值不等式求最值．‎ 试题解析：（1）‎ 考点：均值不等式求最值．‎ ‎22.制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利分别为和，可能的最大亏损率分别为和.投资人计划投资金额不超过亿元，要求确保可能的资金亏损不超过亿元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少亿元，才能使可能的盈利最大？‎ ‎【答案】投资人用亿元投资甲项目，亿元投资乙项目，才能在确保亏损不超过亿元的前提下，使可能的盈利最大.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设投资人分别用亿元、亿元投资甲、乙两个项目，根据题意列出变量、‎ 所满足的约束条件和线性目标函数，利用平移直线的方法得出线性目标函数取得最大值时的最优解，并将最优解代入线性目标函数可得出盈利的最大值，从而解答该问题.‎ ‎【详解】设投资人分别用亿元、亿元投资甲、乙两个项目，‎ 由题意知，即，目标函数为.‎ 上述不等式组表示平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.‎ 由图可知，当直线经过点时，该直线在轴上截距最大，此时取得最大值，解方程组，得，所以，点的坐标为.‎ 当，时，取得最大值，此时，（亿元）.‎ 答：投资人用亿元投资甲项目，亿元投资乙项目，才能在确保亏损不超过亿元的前提下，使可能的盈利最大.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划的实际应用，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键就是列出变量所满足的约束条件，并利用数形结合思想求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎