2017-2018学年四川省雅安中学高二上学期第一次月考数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年四川省雅安中学高二上学期第一次月考数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年四川省雅安中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项符合题目要求，请将正确答案的序号填涂在答题卡上．）‎ ‎1．（5分）圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心和半径分别为（　　）‎ A．（4，﹣6），r=16 B．（2，﹣3），r=4 C．（﹣2，3），r=4 D．（2，﹣3），r=16‎ ‎2．（5分）直线3x+4y﹣14=0与圆（x﹣1）2+（y+1）2=4的位置关系是（　　）‎ A．相交且直线过圆心 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相离 ‎3．（5分）若直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（　　）‎ A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣‎ ‎4．（5分）过点A（1，2）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为（　　）‎ A．x﹣2y+4=0 B．2x+y﹣7=0 C．x﹣2y+3=0 D．x﹣2y+5=0‎ ‎5．（5分）点A（1，3）关于直线y=kx+b对称的点是B（﹣2，1），则直线y=kx+b在x轴上的截距是（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎6．（5分）一束光线从点M（5，3）射出，与x轴正方向成α角，遇x轴后反射，若tanα=3，则反射光线所在的直线方程为（　　）‎ A．y=3x﹣12 B．y=﹣3x﹣12 C．y=3x+12 D．y=﹣3x+12‎ ‎7．（5分）已知圆心（a，b）（a＜0，b＜0）在直线y=2x+1上的圆，若其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为，则圆的方程为（　　）‎ A．（x+2）2+（y+3）2=9 B．（x+3）2+（y+5）2=25‎ C． D．‎ ‎8．（5分）直线截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎9．（5分）方程（x﹣）=0表示的曲线为（　　）‎ A．一条直线和一个圆 B．一条射线与半圆 C．一条射线与一段劣弧 D．一条线段与一段劣弧 ‎10．（5分）直线y=kx﹣3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（　　）‎ A．[﹣，0] B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）‎ ‎11．（5分）已知平面内两点A（1，2），B（3，1）到直线l的距离分别，+，则满足条件的直线l的条数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎12．（5分）已知正△ABC的边长为2，在平面ABC中，动点P，M满足AP=1，M是PC的中点，则线段BM的最小值为（　　）‎ A． B．2 C．+1 D．3‎ ‎　‎ 二、填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上．）‎ ‎13．（5分）过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为 　 　．‎ ‎14．（5分）若关于x的方程x+b=3﹣只有一个解，则实数b的取值范围是　 　．‎ ‎15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是　 　．‎ ‎16．（5分）已知动点P（x，y）满足x2+y2﹣|x|﹣|y|=0，O为坐标原点，则 的最大值为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．）‎ ‎17．（10分）（1）已知直线l经过两条直线2x+3y﹣14=0和x+2y﹣8=0的交点，且与直线2x﹣2y﹣5=0平行．求直线l的一般式方程；‎ ‎（2）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且经过点P（3，0），求椭圆的标准方程．‎ ‎18．（12分）（1）过点P（2，4）向圆O：x2+y2=4作切线，求切线的方程；‎ ‎（2）点P在圆x2+y2+4x﹣6y+12=0上，点Q在直线4x+3y=21上，求|PQ|的最小值．‎ ‎19．（12分）已知圆M过两点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心M在x+y﹣2=0上．‎ ‎（1）求圆M的标准方程；‎ ‎（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．‎ ‎20．（12分）已知曲线C的方程为：ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．‎ ‎（Ⅰ）判断曲线C的形状；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．‎ ‎21．（12分）已知曲线C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．‎ ‎（1）若m=1，过点（﹣2，3）的直线l交曲线C于M，N两点，且|MN|=2，求直线l的方程；‎ ‎（2）若曲线C表示圆，且直线x﹣y﹣1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4交x轴于点A，B（点A在x轴的负半轴上），点M为圆O上一动点，MA，MB分别交直线x=4于P，Q两点．‎ ‎（1）求P，Q两点纵坐标的乘积；‎ ‎（2）若点C的坐标为（1，0），连接MC交圆O于另一点N：‎ ‎①试判断点C与以PQ为直径的圆的位置关系，并说明理由；‎ ‎②记MA，NA的斜率分别为k1，k2，试探究k1k2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年四川省雅安中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项符合题目要求，请将正确答案的序号填涂在答题卡上．）‎ ‎1．（5分）圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心和半径分别为（　　）‎ A．（4，﹣6），r=16 B．（2，﹣3），r=4 C．（﹣2，3），r=4 D．（2，﹣3），r=16‎ ‎【分析】将圆的方程配方成标准形式，结合圆心和半径的公式，即可得到本题答案．‎ ‎【解答】解：将圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的方程化成标准形式，得（x+2）2+（y﹣3）2=16‎ ‎∴圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心为C（﹣2，3），半径r=4‎ 故选：C ‎【点评】本题给出圆的一般式方程，求圆的圆心和半径，着重考查了圆的一般方程、标准方程及其互化等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）直线3x+4y﹣14=0与圆（x﹣1）2+（y+1）2=4的位置关系是（　　）‎ A．相交且直线过圆心 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相离 ‎【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，利用d与r比较大小，即可得到直线与圆的位置关系．‎ ‎【解答】解：由圆的方程，得到圆心坐标为（1，﹣1），半径r=2，‎ 因为圆心到直线3x+4y﹣14=0的距离d==3＞2=r，‎ 所以直线与圆的位置关系是相离．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生熟练掌握直线与圆位置关系的判别方法，以及灵活运用点到直线的距离公式．‎ 直线与圆位置关系的判别方法为：（其中d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）当0≤d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）若直线x+（1+m）y﹣2=0和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（　　）‎ A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣‎ ‎【分析】由直线平行可得1×2﹣（1+m）m=0，解方程可得．结论 ‎【解答】解：∵直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，‎ ‎∴1×2﹣（1+m）m=0，解得m=1或﹣2，‎ 经检验都符合题意．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）过点A（1，2）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为（　　）‎ A．x﹣2y+4=0 B．2x+y﹣7=0 C．x﹣2y+3=0 D．x﹣2y+5=0‎ ‎【分析】根据两条直线垂直的性质求得所求的直线的斜率等于，用点斜式求得所求直线的方程．‎ ‎【解答】解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率等于﹣2，故所求的直线的斜率等于，‎ 故过点A（1，2）且垂直于直线2x+y﹣5=0的直线方程为 y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0，‎ 故选C．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）点A（1，3）关于直线y=kx+b对称的点是B（﹣2，1），则直线y=kx+b在x轴上的截距是（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎【分析】点关于直线对称，可以根据对称点的坐标，利用两点连线的斜率与直线垂直．然后两点中点在直线上．联立两个一元两次方程即可求解出直线方程，最后令y=0求出在x轴上的截距．‎ ‎【解答】解：由题意知，‎ 解得k=﹣，b=，‎ ‎∴直线方程为y=﹣x+，‎ 其在x轴上的截距为﹣×（﹣）=．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本小题主要考查与直线关于点、直线对称的直线方程、直线的截距、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）一束光线从点M（5，3）射出，与x轴正方向成α角，遇x轴后反射，若tanα=3，则反射光线所在的直线方程为（　　）‎ A．y=3x﹣12 B．y=﹣3x﹣12 C．y=3x+12 D．y=﹣3x+12‎ ‎【分析】利用点M（5，3）关于x轴的对称点M′（5，﹣3）在反射光线上，再根据入射光线x轴正方向成α角，tanα=3，得到反射光线所在的直线方程的斜率k=tan（π﹣α），由点斜式写出反射光线所在的直线方程，‎ ‎【解答】解：∵tanα=3，‎ ‎∴k=tan（π﹣α）=﹣3，‎ ‎∵点M（5，3）关于x轴的对称点M′（5，﹣3）在反射光线上，‎ 设反射光线所在的直线方程 y=﹣3x+b，‎ ‎∴﹣3=﹣3×5+b，‎ 解得b=12，‎ 故反射光线所在的直线方程 y=﹣3x+12，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点坐标的方法，用两点式求直线的方程，反射定律的应用．考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知圆心（a，b）（a＜0，b＜0）在直线y=2x+1上的圆，若其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为，则圆的方程为（　　）‎ A．（x+2）2+（y+3）2=9 B．（x+3）2+（y+5）2=25‎ C． D．‎ ‎【分析】根据题意画出图形，过M作MA垂直于x轴，MB垂直于y轴，连接MC，由垂径定理得到B为CD中点，由|CD|求出|BC|，由圆与x轴垂直得到圆与x轴相切，所以MA和MC为圆M的半径，在直角三角形MBC中，由|MB|=|a|，|MC|=|MA|=|b|及|BC|，利用勾股定理列出关于a与b的方程，再把M的坐标代入到直线y=2x+1中，又得到关于a与b的另一个方程，联立两方程即可求出a与b的值，从而确定出圆心M的坐标，及圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．‎ ‎【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：‎ 过M作MA⊥x轴，MB⊥y轴，连接MC，‎ 由垂径定理得到B为CD中点，又|CD|=2，‎ ‎∴|CB|=，‎ 由题意可知圆的半径|MA|=|MC|=|b|，|MB|=|a|，‎ 在直角三角形BC中，根据勾股定理得：b2=a2+（）2，①‎ 又把圆心（a，b）代入y=2x+1中，得b=2a+1，②‎ 联立①②，解得：a=﹣2，b=﹣3，‎ 所以圆心坐标为（﹣2，﹣3），半径r=|﹣3|=3，‎ 则所求圆的方程为：（x+2）2+（y+3）2=9．‎ 故选A ‎【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理及勾股定理．根据圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径得到所求的圆与x轴相切，进而求出圆的半径为|b|是解本题的关键，同时运用了数形结合的思想解决数学问题，培养了学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）直线截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心C到已知直线的距离d，由垂径定理及勾股定理求出直线被圆截得的弦长，由弦长等于圆的半径得到三角形ABC为等边三角形，即可得到直线被圆截得的劣弧所对的圆心角为60°．‎ ‎【解答】解：过O作OC⊥AB，垂足为点C，‎ 由圆的方程x2+y2=4，得到圆心O的坐标为（0，0），半径r=2，‎ ‎∵圆心到直线x+y﹣2=0的距离d=|OC|==，‎ ‎∴直线被圆截得的弦|AB|=2=2，‎ ‎∴△AOB为等边三角形，即∠AOB=60°，‎ ‎∴直线被圆截的劣弧所对的圆心角为60°．‎ 故选C ‎【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，再由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）方程（x﹣）=0表示的曲线为（　　）‎ A．一条直线和一个圆 B．一条射线与半圆 C．一条射线与一段劣弧 D．一条线段与一段劣弧 ‎【分析】根据（x﹣）=0，可得x=或=0，从而可得结论．‎ ‎【解答】解：∵（x﹣）=0，‎ ‎∴x=或=0（﹣2≤y≤4），‎ ‎∴x2+（y﹣1）2=9（x≥0）或x=y（﹣2≤y≤4）．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查曲线与方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）直线y=kx﹣3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（　　）‎ A．[﹣，0] B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）‎ ‎【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长等于2‎ ‎，故当弦长大于或等于2时，圆心到直线的距离小于或等于1，解此不等式求出k的取值范围．‎ ‎【解答】解：设圆心（3，2）到直线y=kx+3的距离为d，由弦长公式得，MN=2≥2，故d≤1，‎ 即≤1，化简得 8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，以及弦长公式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知平面内两点A（1，2），B（3，1）到直线l的距离分别，+，则满足条件的直线l的条数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】由点A（1，2），B（3，1），易得AB=，以点A为圆心，半径为的圆，与以点B为圆心，半径为的圆相内切，即可得出．‎ ‎【解答】解：由点A（1，2），B（3，1），易得AB=，以点A为圆心，半径为的圆，与以点B为圆心，半径为的圆相内切，‎ 则这两个圆共有的切线有1条（即1条外公切线）．‎ ‎∴满足条件的直线l的条数为1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了两个圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知正△ABC的边长为2，在平面ABC中，动点P，M满足AP=1，M是PC的中点，则线段BM的最小值为（　　）‎ A． B．2 C．+1 D．3‎ ‎【分析】首先建立直角坐标系，进一步把：x2+（y﹣3）2=1，转化为：‎ ‎（θ为参数），利用M是PC的中点，求出M的坐标，在利用两点间的距离公式求出函数的三角关系式，再利用三角函数关系式的恒等变换，变形成正弦型函数，最后求出最小值．‎ ‎【解答】解：在平面ABC中，以BC线段为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，‎ 正△ABC的边长为2，在平面ABC中，动点P，M满足AP=1，‎ 则：B（﹣，0），C（，0），A（0，3），‎ 设P（x，y），由于|AP|=1，‎ 则：x2+（y﹣3）2=1，‎ 转化为：（θ为参数），‎ M是PC的中点，‎ 则：M（，），‎ ‎|BM|=，‎ ‎=，‎ 当sin（）=﹣1时，最小值为．‎ 故选：B ‎【点评】‎ 本题考查的知识要点：直角坐标方程和参数方程的转化，中点坐标公式的应用，两点间距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，属于中档题型．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上．）‎ ‎13．（5分）过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为 　1　．‎ ‎【分析】首先分析题意，直线过（﹣2，m）和Q（m，4）两点，故写出过两个点的直线斜率，令其等于1．解出m的值即可．‎ ‎【解答】解：过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率为1‎ ‎∴‎ 解得：m=1‎ 故答案为：1‎ ‎【点评】本题考查斜率的计算公式，按照两个点求斜率的公式，求出参数即可．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）若关于x的方程x+b=3﹣只有一个解，则实数b的取值范围是　（﹣1，3]∪{1﹣2}　．‎ ‎【分析】由题意可得半圆（x﹣2）2+y2=4（y≥0）与直线y=﹣x+3﹣b只有1个交点，数形结合求得实数b的取值范围．‎ ‎【解答】解：关于x的方程x+b=3﹣只有一个解，‎ 则函数y= （0≤x≤4），‎ 即（x﹣2）2+y2=4（y≥0），表示以C（2，0）为圆心、‎ 半径等于2的半圆，‎ 且此半圆与直线y=﹣x+3﹣b只有1个交点，如图：‎ 当直线y=﹣x+3﹣b经过点A、B时，3﹣b=4，b=﹣1；‎ 当直线y=﹣x+3﹣b经过原点O时，b=3；‎ 当直线y=﹣x+3﹣b与半圆相切时，‎ 由圆心C到直线y=﹣x+3﹣b的距离等于半径可得 ‎=2，求得b=1﹣2，或b=1+2（不满足3﹣b＞4，故舍去），‎ 结合图象可得，﹣1＜b≤3或； ‎ 故答案为：（﹣1，3]∪{1﹣2}．‎ ‎【点评】本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是　　．‎ ‎【分析】由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．‎ ‎【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；‎ 又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，‎ ‎∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可．‎ 设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，‎ 则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，‎ ‎∴0≤k≤．‎ ‎∴k的最大值是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知动点P（x，y）满足x2+y2﹣|x|﹣|y|=0，O为坐标原点，则的最大值为　　．‎ ‎【分析】由曲线的方程可得曲线关于x轴、y轴、原点都是对称的，故只需考虑第一象限内的情况即可，数形结合求得OP的最大值和最小值，即|PO|的取值范围．‎ ‎【解答】解：由曲线的方程 x2+y2﹣|x|﹣|y|=0，可得曲线关于x轴、y轴、‎ 原点都是对称的，‎ 故只需考虑第一象限内的情况即可，如图：‎ 在第一象限内（含坐标轴），曲线方程为 x2+y2﹣x﹣y=0，‎ 转化为：，‎ 表示以C（，）为圆心，半径等于的圆的一部分．‎ 由于|CO|=，‎ ‎∴|OP|的最大值为|CO|+|CP|=+=；‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查圆的标准方程，体现了转化、数形结合的数学思想，‎ ‎　‎ 三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．）‎ ‎17．（10分）（1）已知直线l经过两条直线2x+3y﹣14=0和x+2y﹣8=0的交点，且与直线2x﹣2y﹣5=0平行．求直线l的一般式方程；‎ ‎（2）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且经过点P（3，0），求椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）求得两条直线的交点，根据直线平行求得直线l的斜率，利用点斜式即可求得直线l的一般式方程；‎ ‎（2）分类讨论，根据椭圆的性质，即可求得椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：（1），解得：，‎ 由直线2x﹣2y﹣5=0的斜率k=1，则直线l的斜率为1，‎ 则直线l的方程y﹣2=x﹣4，整理得x﹣y﹣2=0，‎ ‎∴直线l的一般式方程x﹣y﹣2=0；‎ ‎（2）假设椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为：（a＞b＞0），‎ 由a=3b，由经过点P（3，0），则a=3，则b=1‎ ‎∴椭圆的方程为：；‎ 假设椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的方程为：（a＞b＞0），‎ 由a=3b，由经过点P（3，0），则b=3，∴a=9，‎ ‎∴椭圆的标准方程为：，‎ ‎∴椭圆的标准方程为：或．‎ ‎【点评】本题考查直线的一般方程，椭圆的标准方程及性质，考查分类讨论思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（1）过点P（2，4）向圆O：x2+y2=4作切线，求切线的方程；‎ ‎（2）点P在圆x2+y2+4x﹣6y+12=0上，点Q在直线4x+3y=21上，求|PQ|的最小值．‎ ‎【分析】（1）利用分类讨论思想对直线的方程进行分类①斜率不存在②斜率存在两种情况，最后求的结果．‎ ‎（2）利用点到直线的距离公式求出结果，进一步求出最小值．‎ ‎【解答】解：（1）过点P（2，4）向圆O：x2+y2=4作切线，‎ ‎①当斜率不存在时，直线x=2与圆相切．‎ ‎②当斜率存在时，设直线的方程为：y﹣4=k（x﹣2），‎ 利用圆心（0，0）到y﹣4=k（x﹣2）的距离为2，‎ 即：，‎ 解得：k=．‎ 所求的直线的方程为：3x﹣4y+10=0；‎ 综上所述直线的方程为：x=2或3x﹣4y+10=0．‎ ‎（2）圆x2+y2+4x﹣6y+12=0的方程可转化为：（x+2）2+（y﹣3）2=1，‎ 则：圆心（﹣2，3）到直线4x+3y=21的距离为：d=，‎ 点|PQ|的最小值为：4﹣1=3．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，主要培养学生分类讨论思想的能力．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知圆M过两点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心M在x+y﹣2=0上．‎ ‎（1）求圆M的标准方程；‎ ‎（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．‎ ‎【分析】（1）待定系数法求解圆的方程即可；‎ ‎（2）由题意得到面积的表达式，据此求解面积的最值即可．‎ ‎【解答】解 （1）设圆M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），解得：a=b=1，r=2，‎ 故所求圆M的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．‎ ‎（2）由题知，四边形PAMB的面积为S=S△PAM+S△PBM=|AM||PA|+|BM||PB|．‎ 又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，‎ 而 ，即，‎ 因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，‎ 所以|PM|min==3，‎ 所以四边形PAMB面积的最小值为．‎ ‎【点评】本题考查了圆的方程的求解，直线与圆的位置关系等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知曲线C的方程为：ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．‎ ‎（Ⅰ）判断曲线C的形状；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）配方，将曲线C的方程化为：，进而可得答案；‎ ‎（Ⅱ）圆C过坐标原点，若|OM|=|ON|，则圆心在MN的垂直平分线上，进而得到答案；‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）将曲线C的方程化为：，‎ 可知曲线C是以点为圆心，‎ 以为半径的圆；‎ ‎（Ⅱ）∵原点坐标满足方程，所以圆C过坐标原点，‎ 又|OM|=|ON|，‎ ‎∴圆心在MN的垂直平分线上，故 ‎∴，‎ ‎∴a=±2，‎ 当a=﹣2时，圆心坐标为（﹣2，﹣1），圆的半径为，‎ 圆心到直线l：y=﹣2x+4的距离，直线l与圆C相离，不合题意舍去；‎ 当a=2时，符合条件，这时曲线C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y=0．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，直线与圆的位置关系，难度中档．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知曲线C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．‎ ‎（1）若m=1，过点（﹣2，3）的直线l交曲线C于M，N两点，且|MN|=2，求直线l的方程；‎ ‎（2）若曲线C表示圆，且直线x﹣y﹣1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据题意，分析可得当m=1时，曲线C是以C（1，2）为圆心，2为半径的圆，进而设直线l为：y﹣3=k（x+2），由点到直线的距离公式分析可得，解可得k的值，代入直线方程即可得答案；‎ ‎（2）首先分析曲线C表示圆时m的取值范围，再假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，设出A、B的坐标，若以AB为直径的圆过原点，必有OA⊥OB，由此分析可得x1x2+y1y2=0，联立直线与圆的方程，由根与系数的关系分析，解可得m的值，即可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，当m=1时，曲线C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，‎ 是以C（1，2）为圆心，2为半径的圆，‎ 若直线l的斜率不存在，显然不符合题意，‎ 故可设直线l为：y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0．‎ 由题意知，圆心C（1，2）到直线l的距离等于，‎ 即：‎ 解得k=0或．‎ 故的方程y=3或（即3x+4y﹣6=0）．‎ ‎（2）由曲线C表示圆x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，‎ 所以圆心C（1，2），半径，则必有m＜5．‎ 假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，‎ 由得2x2﹣8x+5+m=0，‎ ‎∴△=64﹣8（m+5）=24﹣8m＞0，即m＜3，‎ 又m＜5，故m＜3，‎ 从而 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴m=﹣2＜3，‎ 故存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，m=﹣2．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的方程的综合应用，涉及直线与圆的位置关系问题时需要分析直线的斜率是否存在．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4交x轴于点A，B（点A在x轴的负半轴上），点M为圆O上一动点，MA，MB分别交直线x=4于P，Q两点．‎ ‎（1）求P，Q两点纵坐标的乘积；‎ ‎（2）若点C的坐标为（1，0），连接MC交圆O于另一点N：‎ ‎①试判断点C与以PQ为直径的圆的位置关系，并说明理由；‎ ‎②记MA，NA的斜率分别为k1，k2，试探究k1k2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）求出直线AM的方程，求出，，然后求解P，Q两点纵坐标的乘积；‎ ‎（2）通过，判断点C在圆内，设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，，，求出直线的斜率，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k（x﹣1），代入圆方程x2+y2=4，利用韦达定理化简求解k1k2的值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，解得A（﹣2，0），B（2，0），设M（x0，y0），∴直线AM的方程为，令x=4，则，∴，同理，∴…（5分）‎ ‎（2）①∵C（1，0），由（1）知，，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴点C在圆内…（10分）‎ ‎②设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，，，此时；‎ 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k（x﹣1），‎ 代入圆方程x2+y2=4，整理得（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，‎ ‎∴，，又，‎ ‎∴…（16分）‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查计算能力．‎ ‎　‎