高考数学难点突破11__函数中的综合问题
高中数学难点 11 函数中的综合问题
函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活
多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，
掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力.
●难点磁场
(★★★★★)设函数 f(x)的定义域为 R，对任意实数 x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x>0 时
f(x)<0 且 f(3)=－4.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)在区间［－9，9］上，求 f(x)的最值.
●案例探究
［例 1］设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x=1 对称，对任意 x1、x2∈［ 0, 2
1 ］,
都有 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且 f(1)=a>0.
(1)求 f( 2
1 )、f( 4
1 );
(2)证明 f(x)是周期函数；
(3)记 an=f(n+ n2
1 ),求 ).(lnlim n
n
a
命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，
还考查运算能力和逻辑思维能力.
知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)找到问题
的突破口.
错解分析：不会利用 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)进行合理变形.
技巧与方法：由 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为 )2()2()2()22()( xfxfxfxxfxf 是解决
问题的关键.
(1) 解：因为对 x1,x2∈［0, 2
1 ］,都有 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以 f(x)= )2()22( xfxxf ≥
0,
x∈［0,1］
又因为 f(1)=f( + )=f( )·f( )=［f( )］2
f( )=f( 4
1 + 4
1 )=f( )·f( )=［f（ ）］2
又 f(1)=a>0
∴f( )=a 2
1
,f( )=a 4
1
(2)证明：依题意设 y=f(x)关于直线 x=1 对称，故 f(x)=f(1+1－x),即 f(x)=f(2－x),x∈R.
又由 f(x)是偶函数知 f(－x)=f(x),x∈R
∴f(－x)=f(2－x),x∈R.
将上式中－x 以 x 代换得 f(x)=f(x+2)，这表明 f(x)是 R 上的周期函数，且 2 是它的一个
周期.
(3)解：由(1)知 f(x)≥0,x∈［0,1］
∵f( 2
1 )=f(n·
n2
1 )=f( +(n－1) )=f( )·f((n－1)· )
=……
=f( )·f( )·……·f( )
=［f( )］n=a 2
1
∴f( )=a n2
1
.
又∵f(x)的一个周期是 2
∴f(2n+ )=f( ),因此 an=a
∴ .0)ln2
1(lim)(lnlim
ana
n
n
n
［例 2］甲、乙两地相距 S 千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过 c 千米/小时，
已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度
v(km/h)的平方成正比，比例系数为 b,固定部分为 a 元.
(1)把全程运输成本 y(元)表示为 v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
命题意图：本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用
所学数学知识解决实际问题的能力.
知识依托：运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法.
错解分析：不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件.
技巧与方法：四步法：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价.
解法一：(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
v
S ,全程运输成本为
y=a· +bv2· =S( v
a +bv)
∴所求函数及其定义域为 y=S( +bv),v∈(0,c ] .
(2)依题意知，S、a、b、v 均为正数
∴S( +bv)≥2S ab ①
当且仅当 =bv,即 v= b
a 时，①式中等号成立.若 ≤c 则当 v= 时，有 ymin；
若 >c,则当 v∈(0,c ] 时，有 S( v
a +bv)－S( c
a +bc)
=S［( － )+(bv－bc)］= vc
S (c－v)(a－bcv)
∵c－v≥0,且 c>bc2,∴a－bcv≥a－bc2>0
∴S( v
a +bv)≥S( c
a +bc),当且仅当 v=c 时等号成立，也即当 v=c 时，有 ymin；
综上可知，为使全程运输成本 y 最小，当
b
ab ≤c 时，行驶速度应为 v= b
ab ,当 >c
时行驶速度应为 v=c.
解法二：(1)同解法一.
(2)∵函数 y=x+ x
k (k>0),x∈(0,+∞),当 x∈(0, k )时，y 单调减小，当 x∈( k ,+∞)时 y
单调增加，当 x= 时 y 取得最小值，而全程运输成本函数为 y=Sb(v+ v
b
a
),v∈(0,c ] .
∴当
b
a ≤c 时，则当 v= b
a 时，y 最小，若 >c 时，则当 v=c 时，y 最小.结论同上.
●锦囊妙计
在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的
知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想
的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数
知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)函数 y=x+a 与 y=logax 的图象可能是( )
2.(★★★★★)定义在区间(－∞,+∞)的奇函数 f(x)为增函数，偶函数 g(x)在区间［0，+∞)
的图象与 f(x)的图象重合，设 a>b>0,给出下列不等式：
①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)
g(b)－g(－a)
④f(a)－f(－b)0.
求证： )2
1()
13
1()11
1()5
1( 2 f
nn
fff
.
7.(★★★★★)某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为 200 平方米的三级污水
处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过 16 米，如果池外周壁建造单价为每米 400 元，
中间两条隔墙建造单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元(池壁厚度忽略不计，
且池无盖).
(1)写出总造价 y(元)与污水处理池长 x(米)的函数关系式，并指出其定义域.
(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价.
8.(★★★★★)已知函数 f(x)在(－∞,0)∪(0,+∞)上有定义，且在(0,+∞)上是增函数，
f(1)=0,又 g(θ )=sin2θ －mcosθ －2m,θ ∈［0, 2
］,设 M={m|g(θ )<0,m∈R},N={m|f［g(θ )］
<0},求 M∩N.
［学法指导］怎样学好函数
学习函数要重点解决好四个问题：准确深刻地理解函数的有关概念；揭示并认识函数与
其他数学知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意
识.
(一)准确、深刻理解函数的有关概念
概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始
终.数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来，高考试
题中始终贯穿着函数及其性质这条主线.
(二)揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的数学概
念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲
线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩
证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.
所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及 5 个方面：(1)原始
意义上的函数问题；(2)方程、不等式作为函数性质解决；(3)数列作为特殊的函数成为高考
热点；(4)辅助函数法；(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中.
(三)把握数形结合的特征和方法
函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义
域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既
要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象
的平移变换、对称变换.
(四)认识函数思想的实质，强化应用意识
函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，
求得问题的解决.纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定
要认识函数思想实质，强化应用意识.
参考答案
难点磁场
(1）证明：令 x=y=0,得 f(0)=0
令 y=－x,得 f(0)=f(x)+f(－x),即 f(－x)=－f(x)
∴f(x)是奇函数
(2）解：1°,任取实数 x1、x2∈［－9,9］且 x1＜x2,这时，x2－x1>0,f(x1)－f(x2)=f［(x1－x2)+x2］
－f(x2)=f(x1－x2)+f(x2)－f(x1)=－f(x2－x1)
因为 x>0 时 f(x)＜0,∴f(x1)－f(x2)>0
∴f(x)在［－9，9］上是减函数
故 f(x)的最大值为 f(－9),最小值为 f(9).
而 f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－12,f(－9)=－f(9)=12.
∴f(x)在区间［－9，9］上的最大值为 12，最小值为－12.
歼灭难点训练
一、1.解析：分类讨论当 a>1 时和当 0＜a＜1 时.
答案：C
2.解析：用特值法，根据题意，可设 f(x)=x,g(x)=|x|,又设 a=2,b=1,
则 f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)－f(b)=f(2)－f(－1)=2+1=3.
g(b)－g(－a)=g(1)－g(－2)=1－2=－1.∴f(a)－f(－b)>g(1)－g(－2)=1－2=－1.
又 f(b)－f(－a)=f(1)－f(－2)=1+2=3.
g(a)－g(－b)=g(2)－g(1)=2－1=1,∴f(b)－f(－a)=g(a)－g(－b).
即①与③成立.
答案：C
二、3.解析：设 2x=t>0，则原方程可变为 t2+at+a+1=0 ①
方程①有两个正实根，则
01
0
0)1(4
21
21
2
att
att
aa
解得：a∈(－1,2－2 2 ] .
答案：(－1，2－2 2 ]
三、4.解：(1)当 a=0 时，函数 f(－x)=(－x)2+|－x|+1=f(x),此时 f(x)为偶函数；当 a≠0 时，
f(a)=a2+1,f(－a)=a2+2|a|+1,f(－a)≠f(a),f(－a)≠－f(a).此时函数 f(x)既不是奇函数也不是偶
函数.
(2)①当 x≤a 时，函数 f(x)=x2－x+a+1=(x－
2
1 )2+a+ 4
3 ,若 a≤ ,则函数 f(x)在(－∞,a] 上
单调递减，从而，函数 f(x)在(－∞,a 上的最小值为 f(a)=a2+1.
若 a> ,则函数 f(x)在(－∞,a 上的最小值为 f( )= +a,且 f( )≤f(a).
②当 x≥a 时，函数 f(x)=x2+x－a+1=(x+ )2－a+ ;当 a≤－ 时，则函数 f(x)在［a,+∞
) 上的最小值为 f(－ )= －a,且 f(－ )≤f(a).若 a>－ , f(x)在［a,+∞)上单调递
增，从而，函数 f(x)在［a,+∞］上的最小值为 f(a)=a2+1.
综上，当 a≤－
2
1 时，函数 f(x)的最小值是
4
3 －a,当－ ＜a≤ 时，函数 f(x)的最小值
是 a2+1;当 a> 时，函数 f(x)的最小值是 a+ .
5.(1)证明：由
02
01
1
x
x
x
得 f(x)的定义域为(－1，1)，易判断 f(x)在(－1，1)内是减函数.
(2)证明：∵f(0)= 2
1 ,∴f-－1( )=0,即 x= 是方程 f-－1(x)=0 的一个解.若方程 f-－1(x)=0 还有
另一个解 x0≠ ,则 f-－1(x0)=0,由反函数的定义知 f(0)=x0≠ ,与已知矛盾，故方程 f-－1(x)=0
有惟一解.
(3)解：f［x(x－ )］＜ ,即 f［x(x－ )］＜f(0).
.4
151
2
104
151
0)2
1(
1)2
1(1
xx
xx
xx
或
6.证明：对 f(x)+f(y)=f( xy
yx
1 )中的 x,y,令 x=y=0,得 f(0)=0,再令 y=－x,又得 f(x)+f(－
x)=f(0)=0,即 f(－x)=－f(x),∴f(x)在 x∈(－1,1)上是奇函数.设－1＜x1＜x2＜0,则 f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－
x2)=f(
21
21
1 xx
xx
),∵－1＜x1 ＜x2 ＜0,∴x1 －x2 ＜0,1－x1x2>0.∴
21
21
1 xx
xx
＜0,于 是 由 ② 知
f( ) >0,从而f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在x∈(－1,0)上是单调递减函数.根据奇
函数的图象关于原点对称，知 f(x)在 x∈(0,1)上仍是递减函数，且 f(x)＜0.
.),2
1()2
1()2
1(
,0)2
1(,12
10
),2
1()2
1()]2
1()1
1([)]4
1()3
1([)]3
1()2
1([
)
13
1()11
1()5
1(
)2
1()1
1()
2
1
1
11
2
1
1
1
(
]
)2)(1(
11
)2)(1(
1
[]1)2)(1(
1[)
13
1(
2
2
故原结论成立
有时
fnff
nfn
nffnfnfffff
nn
fff
nfnf
nn
nnf
nn
nnfnnf
nn
f
7.解：(1)因污水处理水池的长为 x 米，则宽为
x
200米，总造价 y=400(2x+2×
x
200)+248×
×2+80×200=800(x+ x
324)+1600,由题设条件
162000
,160
x
x
解得 12.5≤x≤16,即函数定义域为［12.5，16］.
(2)先研究函数 y=f(x)=800(x+ )+16000 在［12.5,16］上的单调性，对于任意的 x1,x2
∈［ 12.5,16］,不妨设 x1＜x2,则 f(x2)－f(x1)=800［(x2－x1)+324(
12
11
xx )］=800(x2－x1)(1－
21
324
xx ),
∵12.5≤x1≤x2≤16.∴0＜x1x2＜162＜324,∴ >1,即 1－ ＜0.又 x2－x1>0,∴f(x2)－f(x1)
＜0,即 f(x2)＜f(x1),故函数 y=f(x)在［ 12.5,16］上是减函数.∴当 x=16 时，y 取得最小值，此时，
ymin=800(16+ 16
324)+16000=45000(元)，
16
200200 x =12.5(
综上，当污水处理池的长为 16 米，宽为 12.5 米时，总造价最低，最低为 45000 元.
8.解：∵f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞,0)上也是增函数.
又 f(1)=0,∴f(－1)=－f(1)=0,从而，当 f(x)＜0 时，有 x＜－1 或 0＜x＜1,
则集合 N={m|f［g(θ )］＜θ ＝} ={m|g(θ )＜－1 或 0＜g(θ )＜1} ,
∴M∩N={m|g(θ )＜－1 .由 g(θ )＜－1,得 cos2θ >m(cosθ －2)+2,θ ∈［ 0, 2
］,令 x=cos
θ ,x∈［0,1］得：x2>m(x－2)+2,x∈［0,1］，令①：y1=x2,x∈［0,1］及②y2=m(m－2)+2,显然
①为抛物线一段，②是过(2，2)点的直线系，在同一坐标系内由 x∈［0,1］得 y1>y2.∴m>4
－2 2 ,故 M∩N={m|m>4－2 2 }.
