2021高考数学一轮复习课后限时集训53抛物线文北师大版2

2021高考数学一轮复习课后限时集训53抛物线文北师大版2

- 1 - 课后限时集训 53 抛物线 建议用时：45 分钟 一、选择题 1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆x2 3p ＋y2 p ＝1 的一个焦点，则 p ＝( ) A．2 B．3 C．4 D．8 D [抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点坐标为 p 2 ，0 ， 椭圆x2 3p ＋y2 p ＝1 的焦点坐标为(± 2p，0)． 由题意得p 2 ＝ 2p，∴p＝0(舍去)或 p＝8. 故选 D.] 2．(2019·厦门模拟)已知抛物线 y＝px2(其中 p 为常数)过点 A(1,3)，则抛物线的焦点 到准线的距离等于( ) A.9 2 B.3 2 C. 1 18 D.1 6 D [由抛物线 y＝px2(其中 p 为常数)过点 A(1,3)，可得 p＝3，则抛物线的标准方程为 x2＝1 3 y，则抛物线的焦点到准线的距离等于1 6 .故选 D.] 3．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A．y2＝－4x B．x2＝4y C．y2＝－4x 或 x2＝4y D．y2＝4x 或 x2＝－4y C [设所求抛物线方程为 y2＝kx 或 x2＝my，又点(－4,4)在抛物线上，则有－4k＝16 或 4m＝16，解得 k＝－4 或 m＝4，所求抛物线方程为 y2＝－4x 或 x2＝4y.故选 C.] 4．已知 AB 是抛物线 y2＝8x 的一条焦点弦，|AB|＝16，则 AB 中点 C 的横坐标是( ) A．3 B．4 C．6 D．8 C [设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝16，又 p＝4，所以 x1＋x2＝12，所以 - 2 - 点 C 的横坐标是x1＋x2 2 ＝6.] 5．(2019·龙岩模拟)若直线 AB 与抛物线 y2＝4x 交于 A，B 两点，且 AB⊥x 轴，|AB|＝ 4 2，则抛物线的焦点到直线 AB 的距离为( ) A．1 B．2 C．3 D．5 A [由|AB|＝4 2及 AB⊥x 轴，不妨设点 A 的纵坐标为 2 2，代入 y2＝4x 得点 A 的横坐 标为 2，从而直线 AB 的方程为 x＝2.又 y2＝4x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线 AB 的距离为 2－1＝1，故选 A.] 二、填空题 6．若抛物线 x2＝4y 上的点 A 到焦点的距离为 10，则点 A 到 x 轴的距离是________． 9 [根据题意，抛物线 x2＝4y 的准线方程为 y＝－1，点 A 到准线的距离为 10，故点 A 到 x 轴的距离是 9.] 7．已知正三角形 AOB(O 为坐标原点)的顶点 A，B 在抛物线 y2＝3x 上，则△AOB 的边长是 ________． 6 3 [如图，设△AOB 的边长为 a，则 A 3 2 a，1 2 a ，∵点 A 在抛 物线 y2＝3x 上， ∴1 4 a2＝3× 3 2 a，∴a＝6 3.] 8．直线 y＝k(x－1)与抛物线 y2＝4x 交于 A，B 两点，若|AB|＝16 3 ，则 k＝________. ± 3 [设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线 AB 经过抛物线 y2＝4x 的焦点，所以|AB|＝ x1＋x2＋2＝16 3 ，所以 x1＋x2＝10 3 .联立 y2＝4x， y＝k x－1 得到 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 所以 x1＋x2＝2k2＋4 k2 ＝10 3 ， 所以 k＝± 3.] 三、解答题 9．已知抛物线 y2＝2px(p＞0)过点 A(2，y0)，且点 A 到其准线的距离为 4. (1)求抛物线的方程； (2)直线 l：y＝x＋m 与抛物线交于两个不同的点 P，Q，若 OP⊥OQ，求实数 m 的值． [解](1)已知抛物线 y2＝2px(p＞0)过点 A(2，y0)，且点 A 到准线的距离为 4， ∴2＋p 2 ＝4，∴p＝4， - 3 - ∴抛物线的方程为 y2＝8x. (2)由 y＝x＋m， y2＝8x 得 x2＋(2m－8)x＋m2＝0. 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2， y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝8，y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝8m. ∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0， ∴m＝0 或 m＝－8. 经检验，当 m＝0 时，直线与抛物线交点中有一点与原点 O 重合，不符合题意． 当 m＝－8 时，Δ＝(－24)2－4×64＞0，符合题意． 综上，实数 m 的值为－8. 10．如图，已知点 F 为抛物线 E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点 A(2，m)在抛物线 E 上，且 |AF|＝3. (1)求抛物线 E 的方程； (2)已知点 G(－1,0)，延长 AF 交抛物线 E 于点 B，证明：GF 为∠AGB 的平分线． [解](1)由抛物线定义可得|AF|＝2＋p 2 ＝3，解得 p＝2.∴抛物线 E 的方程为 y2＝4x. (2)证明：∵点 A(2，m)在抛物线 E 上， ∴m2＝4×2，解得 m＝±2 2，由抛物线的对称性，不妨设 A(2,2 2)，由 A(2,2 2)，F(1,0)， ∴直线 AF 的方程为 y＝2 2(x－1)， 由 y＝2 2 x－1 ， y2＝4x， 得 2x2－5x＋2＝0，解得 x＝2 或1 2 ，∴B 1 2 ，－ 2 . 又 G(－1,0)，∴kGA＝2 2 3 ，kGB＝－2 2 3 ， ∴kGA＋kGB＝0，∴∠AGF＝∠BGF. ∴GF 为∠AGB 的平分线． 1．已知抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，准线方程为 x＝－2，过点 F 的直线与抛物 线 C 交于 M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，若|MN|＝8，则 y2 1＋y2 2＝( ) - 4 - A．16 B．32 C．24 D．48 B [由准线方程为 x＝－2，可知 p＝4，则抛物线 C 的方程为 y2＝8x.由抛物线的定义可 知，|MN|＝|MF|＋|NF|＝x1＋x2＋4＝8，则 x1＋x2＝4，即y2 1 8 ＋y2 2 8 ＝4，故 y2 1＋y2 2＝32.故选 B.] 2．(2019·大庆模拟)已知 F 是抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点，过点 R(2,1)的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，R 为线段 AB 的中点．若|FA|＋|FB|＝5，则直线 l 的斜率为( ) A．3 B．1 C．2 D.1 2 B [由于 R(2,1)为 AB 中点，设 A(xA，yA)，B(xB，yB)．根据抛物线的定义|FA|＋|FB|＝ xA＋xB＋p＝2×2＋p＝5，解得 p＝1，抛物线方程为 y2＝2x.y2 A＝2xA，y2 B＝2xB，两式相减并化简 得yB－yA xB－xA ＝ 2 yA＋yB ＝ 2 2×1 ＝1，即直线 l 的斜率为 1.故选 B.] 3．已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F 与双曲线x2 3 －y2＝1 的右焦点重合，若 A 为抛物线 在第一象限上的一点，且|AF|＝3，则直线 AF 的斜率为________． －2 2 [∵双曲线x2 3 －y2＝1 的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为 y2＝8x.∵|AF|＝3，∴xA ＋2＝3，得 xA＝1，代入抛物线方程可得 yA＝±2 2.∵点 A 在第一象限， ∴A(1,2 2)， ∴直线 AF 的斜率为 2 2 1－2 ＝－2 2.] 4．已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的 点，A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，OB 的中点为 M. (1)求抛物线的方程； (2)若过 M 作 MN⊥FA，垂足为 N，求点 N 的坐标． [解](1)抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线为 x＝－p 2 ，于是 4＋p 2 ＝5，∴p＝2. ∴抛物线方程为 y2＝4x. (2)∵点 A 的坐标是(4,4)， 由题意得 B(0,4)，M(0,2)． 又∵F(1,0)，∴kFA＝4 3 ， ∵MN⊥FA，∴kMN＝－3 4 . - 5 - ∴FA 的方程为 y＝4 3 (x－1)， ① MN 的方程为 y－2＝－3 4 x， ② 联立①②，解得 x＝8 5 ，y＝4 5 ， ∴点 N 的坐标为 8 5 ，4 5 . 1．已知直线 l：y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线 C：y2＝8x 相交于 A，B 两点，F 为 C 的焦点．若 |FA|＝2|FB|，则 k＝( ) A.1 3 B. 2 3 C.2 3 D.2 2 3 D [由 y＝k x＋2 ， y2＝8x， 消去 y 得 k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.Δ＝(4k2－8)2－16k4＞0， 解得－1＜k＜1.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．x1＋x2＝8 k2－4.① x1x2＝4.② 根据抛物线的定义及 |FA|＝2|FB|，得 x1＋2＝2(x2＋2)，即 x1＝2x2＋2，③且 x1＞0，x2＞0，由②③解得 x1＝4，x2 ＝1，代入①得 k2＝8 9 ，k＞0，∴k＝2 2 3 .故选 D.] 2．已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)，过焦点 F 的直线交 C 于 A，B 两点，D 是抛物线的准 线 l 与 y 轴的交点． (1)若 AB∥l，且△ABD 的面积为 1，求抛物线的方程； (2)设 M 为 AB 的中点，过 M 作 l 的垂线，垂足为 N. 证明：直线 AN 与抛物线相切． [解](1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p. ∴S△ABD＝p2，∴p＝1， 故抛物线 C 的方程为 x2＝2y. (2)设直线 AB 的方程为 y＝kx＋p 2 ， 由 y＝kx＋p 2 ， x2＝2py 得 x2－2kpx－p2＝0. ∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2. - 6 - 其中 A x1，x2 1 2p ，B x2，x2 2 2p . ∴M kp，k2p＋p 2 ，N kp，－p 2 . ∴kAN＝ x2 1 2p ＋p 2 x1－kp ＝ x2 1 2p ＋p 2 x1－x1＋x2 2 ＝ x2 1＋p2 2p x1－x2 2 ＝ x2 1－x1x2 2p x1－x2 2 ＝x1 p . 又 x2＝2py，∴y′＝x p . ∴抛物线 x2＝2py 在点 A 处的切线斜率 k＝x1 p . ∴直线 AN 与抛物线相切．