数学文卷·2018届广东省东莞市高三第二次调研考试（2018

数学文卷·2018届广东省东莞市高三第二次调研考试（2018

‎2018届东莞市高三第二次调研考试试题 文科数学 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）若复数满足，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）已知，则=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到直线l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎（5）在中，，BC边上的高等于,则 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）已知，则的最小值是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（7）执行如下图所示的程序框图，则输出的结果为 ‎（A）7　　 ‎ ‎（B）9　　‎ ‎（C）10　　‎ ‎（D）11‎ ‎（8）设函数，若曲线在点处的切线方程为 ，则点的坐标为 ‎ (Ａ) (Ｂ) 　(Ｃ) 　(Ｄ) 或 ‎（9）在正四棱锥中，，直线与平面所成角为，为的中点，则异面直线与所成角为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）已知函数的图象关于对称，则把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数的图象，则函数的一条对称轴方程为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（12）已知，则不等式的解集为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷 ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎（13）设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a b，则x= .‎ ‎（14）在各项都为正数的等比数列中，已知，，则数列的通项公式 ．‎ ‎（15）已知，，点的坐标为 ，当时，点满足的概率为 .‎ ‎（16）已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的零点，则的取值范围是____________．‎ 三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知数列的前n项和为，且（nN）．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ (Ⅱ) 求数列的前n项和．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的检测数据，结果统计如下：‎ API 大于300‎ 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 ‎4‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎30‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎15‎ 记某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元），空气质量指数API为X.在区间对企业没有造成经济损失；在区间对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元.‎ ‎（1）试写出S（X）的表达式；‎ ‎（2）估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；‎ ‎（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下列22列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.07‎ ‎2.70‎ ‎3.84‎ ‎5.02‎ ‎6.63‎ ‎7.87‎ ‎10.82‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 ‎100‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图,矩形中, 分别为边上的点,且 ‎,将△BCE沿折起至△PBE位置(如图所示),连结,其中.‎ ‎(Ⅰ) 求证: ； (Ⅱ) 求点到的距离.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为, 且过点.‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ) 若是椭圆上的两个动点,且使的角平分线总垂直于轴, 试判断直线 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. ‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：对任意的，．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。‎ ‎（22）（本小题满分10分）[选修 4-4]参数方程与极坐标系 在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数在以坐标原点为极点,‎ ‎ x轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 ‎(Ⅰ) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数. ‎ ‎(Ⅰ) 若，求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ) 若R , 求证：.‎ ‎2018届东莞市高三第二次调研考试文科数学试题 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C A B D C B D C D D D ‎1.【解析】.所以，故选C.‎ ‎2.【解析】，故选C.‎ ‎3.【答案】A ‎4.【答案】B【解析】如图，在椭圆中，，‎ 在中，，且，代入解得 ‎，所以椭圆的离心率为：，故选B.‎ ‎5.【答案】D【解析】设边上的高线为，则，所以．由正弦定理，知，即，解得，故选D．‎ ‎6.【解析】如图，作出可行域（阴影部分），画出初始直线，平行移动，可知经过点时，取得最小值3，，故选C. ‎ ‎7.【解析】否；否；‎ 否； 否；‎ 是，输出故选B．‎ ‎（9）解析：如图，由题意易知，因为，所以为异面直线与所成角，又，中，，，得为等腰直角三角形，故选C.‎ ‎10.【解析】，可得，所以，横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移，得到函数的图象，，所以函数的对称轴的方程为.当时，对称轴的方程为.故选：D．‎ ‎11.【答案】D【解析】函数f(x)=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D.‎ ‎12.【解析】，因为所以是偶函数。 所以所以变形为：‎ ‎ 又所以在单调递增，在单调递减。所以等价于故选D ‎ 13.【答案】【解析】由题意， ‎ ‎ 14． 15. 【解析】如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界),∴所求的概率.‎ ‎16.【解析】函数为偶函数，且左减右增．函数的对称轴为，且向右单调递增．故当时函数先减后增，当时函数单调递增，要有三个不同的零点，则必须满足，解得.‎ ‎17.(本题满分12分)‎ ‎（Ⅰ）当时，，即， ………………………………………1分 ‎ 解得． ………………………………………………………2分当时，， ………………3分 即， …………………………………………………4分 所以数列是首项为，公比为的等比数列．……………………………………5分 所以（nN）． ………………………………………………6分 ‎(Ⅱ) 因为， ………………………………………………7分 所以 ………………………………………………8分 ‎ ………………………………………………10分 ‎ ………………………………………………11分 ‎． ………………………………………………12分 ‎18.(本题满分12分)‎ ‎……………3分（写对一条给1分）‎ ‎ …………………6分 ‎……………………………9分 ‎……………………11分 ‎………………12分 ‎19.(本题满分12分)‎ ‎【解析】(Ⅰ)连结,由翻折不变性可知,,,‎ ‎ 在中,,‎ 所以………………………………2分 ‎ 在图中,易得,……3分 在中,,所以…………………………4分 又,平面,平面,所以平面.…………………5分（注：只要少一个条件，扣1分）‎ ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)知平面,所以为三棱锥的高. ……………6分 ‎ 设点到平面的距离为,由等体积法得, ‎ A B C D P E F Q 即,…………………8分 又,,…………………10分 ‎ 所以,…………………11分 即点到平面的距离为.……………12分 ‎（注：指出给1分，若能最终得到结果给4分）‎ ‎20.(本题满分12分)‎ ‎(Ⅰ) 因为椭圆的离心率为, 且过点,‎ ‎ 所以, . ………………………………………………2分 ‎ 因为,‎ ‎ 解得, , ………………………………………………3分 ‎ 所以椭圆的方程为. ……………………………………………4分 ‎(Ⅱ)因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对 ‎ 称. 设直线的斜率为, 则直线的斜率为. ………………………………5分 ‎ 所以直线的方程为,直线的方程为.‎ ‎ 设点, ,‎ 由消去,得. ①‎ 因为点在椭圆上, 所以是方程①的一个根, 则, ‎ ‎ ……………………………………………6分 所以. ……………………………………………7分 同理. ……………………………………………8分 所以. ……………………………………………9分 又. ……………………………………………10分 所以直线的斜率为. …………………………………………11分 所以直线的斜率为定值，该值为. ……………………………………………12分 ‎21.(本题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）函数的定义域是 ‎……………………2分 当时，对任意恒成立，‎ 所以，函数在区间单调递增；……………………4分 当时，由得，由得 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。……………………分（Ⅱ）当时，，要证明，‎ 只需证明，设，‎ 则问题转化为证明对任意的，……………………分 令得，容易知道该方程有唯一解，不妨设为，则满足 当变化时，和变化情况如下表 ‎－‎ 递减 递增 ‎……………………分 因为，且，所以，因此不等式得证………………分 ‎22.(本题满分10分)‎ ‎ (Ⅰ) 由 消去得, ………………………………………1分 ‎ 所以直线的普通方程为. ………………………………………2分 ‎ 由, ……3分 ‎ 得. ………………………………………4分 ‎ 将代入上式,‎ ‎ 得曲线的直角坐标方程为, 即. ………5分 ‎ (Ⅱ) 法1:设曲线上的点为, ………………………………6分 则点到直线的距离为…………………………7分 ‎………………………………………8分 ‎ 当时, , ………………………………………9分 ‎ 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.………………………………10分 法2: 设与直线平行的直线为, ………………………………………6分 ‎ 当直线与圆相切时, 得, ………………………………………7分 ‎ 解得或(舍去),‎ ‎ 所以直线的方程为. ………………………………………8分 ‎ 所以直线与直线的距离为. …………………………………9分 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为………………………………10分 ‎23.(本题满分10分)‎ ‎(Ⅰ) 因为，所以. ………………………………………1分 ‎ ① 当时，得，解得，所以; ……………2分 ‎ ② 当时，得，解得，所以; ……………3分 ‎③ 当时，得，解得，所以; ……………4分 综上所述，实数的取值范围是. ………………………………………5分 ‎(Ⅱ) 因为R , ‎ ‎ 所以 ……………………………7分 ‎ ……………………………………………………………………8分 ‎ ……………………………………………………………………9分 ‎ . ……………………………………………………………………10分