2018-2019学年内蒙古集宁一中（西校区）高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年内蒙古集宁一中（西校区）高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年内蒙古集宁一中（西校区）高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合 ，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D.‎ ‎【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算 ‎【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.‎ ‎2．已知抛物线的焦点坐标是（0，-3），则抛物线的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据焦点的坐标，确定抛物线的开口方向，同时求得的值，进而求得抛物线的方程.‎ ‎【详解】‎ 由于焦点坐标为，故焦点在轴负半轴上，且，故抛物线方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查已知抛物线的焦点坐标，求抛物线的方程，属于基础题.‎ ‎3．若，则下列不等式中错误的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由不等式的性质可得选项B,C,D正确．对于选项A，由于，所以 ‎，故．因此A不正确．选A．‎ ‎4．数列的一个通项公式是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：原数列可变为： ，根号下是首项为2，公差为3的等差数列，所以原数列的通项公式为.故选B.‎ ‎【考点】数列的通项公式.‎ ‎5．下列不等式一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用取负数或正数时，对四个选项进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 当都为负数时，A,C选项不正确.当为正数时，B选项不正确.根据基本不等式，有，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查基本不等式应用的条件：一正二定三相等，属于基础题.‎ ‎6．在等比数列中，，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：等比数列中若则所以即 ‎【考点】等比数列性质的应用 ‎7．设集合，则“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 ‎【答案】A ‎【解析】将两个条件“”和“”相互推导，根据推导的结论作出选项的判断.‎ ‎【详解】‎ 当“”时，,“”.当“”时，可以为，故不能推出“”.由此可知“”是“”的充分不必要条件.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查两个集合交集的概念及运算，属于基础题.‎ ‎8．下列有关命题的叙述错误的是（ ）‎ A．对于命题p: ，则 .‎ B．命题“若”的逆否命题为“若”．‎ C．若为假命题，则均为假命题.‎ D．“”是“”的充分不必要条件.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据特称命题的否定是全称命题的知识判断A选项是否正确，根据逆否命题的知识判断B选项是否正确，根据含有简单逻辑联结词命题真假的知识判断C选项是否正确，根据充分必要条件的知识判断D选项是否正确.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，为特称命题，其否定为全称命题，叙述正确.对于B选项，逆否命题是交换条件和结论，并同时进行否定，叙述正确.对于C选项，为假命题，则中至少有一个假命题，故C选项叙述错误.对于D选项.由解得或，故是的充分不必要条件.综上所述，本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查特称命题的否定、考查逆否命题，考查含有逻辑连接词命题真假性判断，考查充分、必要条件的判断以及考查一元二次不等式的解法等知识.全称命题和特称命题互为否定.逆否命题是交换条件和结论，并同时进行否定. 为假命题，则中至少有一个假命题. 为真，则都是真命题.‎ ‎9．若变量满足约束条件，则的最大值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：画出可行域为一个三角形，再画出目标函数，通过平移可知，在点处取得最大值，最大值为3.‎ ‎【考点】本小题主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值，考查学生画图、用图的能力.‎ 点评：对于线性规划知识，关键是正确画出可行域和目标函数.‎ ‎10．已知数列2，，，4成等比数列，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等比数列的性质列方程，再根据基本不等式求得的最小值.‎ ‎【详解】‎ 根据等比数列的性质有，且为正数，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查等比数列的性质，考查利用基本不等式求和式的最小值.属于基础题.‎ ‎11．在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则 的值为（ ）‎ A． B．1 C．2 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：抛物线的准线方程为x=-，‎ 由抛物线的定义知4+=5，解得P=2．故选C ‎【考点】本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质。‎ 点评：简单题，运用抛物线焦半径公式。‎ ‎12．过抛物线的焦点作斜率为的直线，交抛物线于两点,若 ，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出的坐标，根据点斜式写出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，解得两点的坐标，根据，求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知，抛物线的焦点为，由点斜式得直线的方程为，代入抛物线方程得，解得，故,，由于，即，解得.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抛物线的几何性质，考查抛物线的焦点坐标，考查直线的点斜式方程，考查了求解直线和抛物线交点坐标的方法，考查向量共线的坐标表示，属于中档题.对于抛物线来说，其焦点坐标为.直线的点斜式方程为.‎ 二、填空题 ‎13．某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B间的距离为__．‎ ‎【答案】700米 ‎【解析】先求得的值，然后利用余弦定理求得两点间的距离.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知，由于，根据余弦定理得，解得米.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用余弦定理解三角形，属于基础题，要注意的是，填空题要写单位.‎ ‎14．过抛物线y2=2x的焦点作直线交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2=3，则|PQ|=__．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】根据过抛物线焦点的弦长公式，求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，抛物线，由于过抛物线焦点的弦长公式为，故.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查过抛物线焦点的弦长公式，考查抛物线的几何性质，属于基础题.‎ ‎15．点P是双曲线上一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|=_____‎ ‎【答案】4或16‎ ‎【解析】根据双曲线的定义列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ 根据双曲线的定义可知，即，，解得或.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线的定义，考查含有绝对值的方程的解法，属于基础题.‎ ‎16．椭圆的左焦点为，，是两个顶点，如果到直线的距离等于，则椭圆的离心率为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：设到的垂足为，因为为公共角，所以，所以，所以，因为，所以，化简得到，解得或（舍去），所以.‎ ‎【考点】椭圆的几何性质.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了椭圆的几何性质，其中解答中涉及到椭圆的标准方程、三角形相似与相似比的应用，以及椭圆中等知识点的综合考查，本题的解答中利用左焦点到的距离建立等式是解得的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17．记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎ （1）求的通项公式；‎ ‎ （2）求，并求的最小值．‎ ‎【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．‎ ‎【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.‎ 详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．‎ 由a1=–7得d=2．‎ 所以{an}的通项公式为an=2n–9．‎ ‎（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．‎ 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．‎ 点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.‎ ‎18．△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.‎ ‎（1）求 ；‎ ‎（2）若,求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由角平分线定理可将BD=2DC转化为AB=2AC，在三角形ABC中利用正弦定理可求得的比值；（2）由内角和定理可得，将用表示，代入（1）的结论中可得到关于的三角函数值，求得角 试题解析：（1）由正弦定理得因为AD平分BAC，BD=2DC，所以．‎ ‎（2）因为 所以由（1）知，‎ 所以 ‎【考点】1．正弦定理解三角形；2．同角间的三角函数公式 ‎19．已知椭圆的离心率为，点在上 ‎（1）求的方程 ‎（2）直线不过原点且不平行于坐标轴， 与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由求得,由此可得C的方程.（II）把直线方程与椭圆方程联立得,所以于是 .‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）由题意有解得,所以椭圆C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线, ,把代入得 故于是直线OM的斜率即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.‎ ‎【考点】本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.‎ ‎20．已知直线 ，抛物线， ‎ ‎（1）当l与C有两个公共点时，求的取值范围；‎ ‎（2）l与C相交于A、B两点，线段AB的中点的横坐标为5，求m的值。‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）联立直线和抛物线的方程，消去，整理后利用判别式大于零，求得的取值范围.（2）由（1）写出的表达式，利用求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）联立直线的方程和抛物线的方程得，消去得.由于直线和抛物线有两个公共点，故上述一元二次方程的判别式，解得.（2）设两点的横坐标分别为，由（1）知，依题意，即.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查一元二次方程根与系数关系，考查直线和抛物线相交所得弦的中点有关的问题.属于中档题.研究抛物线和直线交点的个数问题，需要将直线方程和抛物线方程联立，化简为一元二次方程的形式，然后根据判别式来判断交点的根数.‎ ‎21．已知焦距为的双曲线的焦点在x轴上，且过点P .‎ ‎（Ⅰ）求该双曲线方程 ；‎ ‎（Ⅱ）若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长.‎ ‎【答案】(1) ；（2）|AB|=6 。‎ ‎【解析】试题分析：(1)设双曲线方程为（a,b＞0）‎ 左右焦点F1、F2的坐标分别为（-2，0）（2，0） 1分 则|PF1|－|PF2|=2=2，所以=1， ,3分 又c=2,b= 5分 所以方程为 6分 ‎（2）直线m方程为y=x－2 7分 联立双曲线及直线方程消y得2 x2 +4x-7=0 9分 设两交点， x1+x2=-2, x1x2=-3.5 10分 由弦长公式得|AB|=6 12分 ‎【考点】双曲线的定义、几何性质、标准方程，直线与双曲线的位置关系。‎ 点评：中档题，求圆锥曲线的标准方程，往往利用定义或曲线的几何性质，确定a,b,c,e等。涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往联立方程组，应用韦达定理，简化解题过程。本题直接利用弦长公式，计算较为简便。‎ ‎22．给定两个命题，：对任意实数都有恒成立；：．如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：根据已知求出两个简单命题中参数的取值范围，命题，命题；再根据复合命题的真假，判断简单命题的真假，分两种情况进行讨论，（1） 当真假时；（2）当假真时，从而得到实数的取值范围.‎ 试题解析：解：命题：ax2+ax+1＞0恒成立 当a=0时，不等式恒成立，满足题意）‎ 当a≠0时，，解得0＜a＜4‎ ‎∴0≤a＜4‎ 命题：a2+8a﹣20＜0解得﹣10＜a＜2‎ ‎∵为真命题，为假命题∴有且只有一个为真，‎ 当真假时得 当假真时得 所以﹣10＜a＜0或2≤a＜4‎ ‎【考点】复合命题的真假判断.‎