数学（文）卷·2018届天津市实验中学高三上学期期中（第三阶段）考试（2017

数学（文）卷·2018届天津市实验中学高三上学期期中（第三阶段）考试（2017

天津市实验中学2018届高三上学期期中（第三阶段）考试 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共40分）‎ 一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设为实数，若复数，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知直线分别在两个不同的平面内，则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的（ ）‎ A.充分不必耍条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎3.下列命题中的假命题是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4.已知数列中，，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.双曲线的离心率是2，则的最小值为（ ）‎ A．1 B．2 C． D． ‎ ‎6. 已知是等差数列的前项和，，设为数列的前项和，则（ ）‎ A．2014 B． C．2015 D． ‎ ‎7.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相较于点，，则与的面积之（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.已知函数若存在实数，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D． ‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设全集，若，则集合 ．‎ ‎10.已知直线 .若以点为圆心的圆与直线相切于点，且点在轴上，则该圆的方程为 ．‎ ‎11.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ．‎ ‎12.若函数在区间内单调递增，则实数的取值范闱为 ．‎ ‎13.在平面直角坐标系中，设是圆上相异三点，若存在正实数使得，则的取值范围是 ．‎ ‎14.已知函数，，若方程的实根个数为4，则的取值范围是_ ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15. 中，角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎16.是直线与函数 图像的两个相邻的交点，且.‎ ‎（1）求的值和函数的单调增区间； ‎ ‎（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的对称轴方程.‎ ‎17.某餐厅装修，需要大块胶合板20张，小块胶合板50张，已知市场出售两种不同规格的胶合板。经过测算，种规格的胶合板可同时截得大块胶合板2张，小块胶合板6张，种规格的胶合板可同时截得大块胶合板1张，小块胶合板2张.已知种规格胶合板每张200元，种规格胶合板每张72元.分别用表示购买两种不同规格的胶合板的张数.‎ ‎（1）用列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎（2）根据施工需求，两种不同规格的胶合板各买多少张花费资金最少？并求出最少资金数.‎ ‎18.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点.‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；‎ ‎（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值.‎ ‎19.已知数列的前项和满足：（为常数，且).‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，若数列为等比数列，求的值；‎ ‎（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列的前项和为，求证：.‎ ‎20. 设函数 ‎（1）若在点处的切线斜率为，求的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）若，求证：在时，.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: AABDC 6-8: CBA ‎ 二、填空题 ‎9. 10. 11. 12. ‎ ‎13. 14. ‎ 三、解答题 ‎15.解：（1）.‎ ‎（2），.‎ ‎16.解：（1） 增区间 ‎ ‎（2）对称轴 ‎17. 解：（1）‎ ‎（2）种胶合板5张，种胶合板10张花费资金最少，最少资金数为1720元。‎ ‎18.解：（1）椭圆的标准方程为 ‎（2）设线段的中点为，点的坐标是，‎ 由，得 ‎ 点在椭圆上，得 ‎∴线段中点的轨迹方程是. ‎ ‎（3）当直线垂直于轴时，，因此的面积.‎ 当直线不垂直于轴时，该直线方程为，代入，‎ 解得，，‎ 则，又点到直线的距离，‎ ‎∴的面积 于是 由，得，其中，当时，等号成立.‎ ‎∴的最大值是.‎ ‎19．解：（1） ∴，‎ 当时， ‎ 两式相减得： 即是等比数列，∴；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 若为等比数列，则有，‎ 而，‎ 故，解得，‎ 再将代入得成立，符合为等比数列.所以.‎ ‎（2）证明：由（2）知，‎ 所以，‎ 所以 ‎ ‎ ‎.‎ ‎20．解：（1）若在点处的切线斜率为，‎ ‎，‎ 得.‎ ‎（2）由 当时，令解得：‎ 当变化时，随变化情况如表：‎ 由表可知：在上是单调减函数，在上是单调增函数 当时，，的单调减区间为 ‎ 所以，当时，的单调减区间为.单调增区间为 当时，的单调减区间为 ‎（3）当时，要证，即证 令，只需证 ‎∵ ‎ 由指数函数及幕函数的性质知：在上是增函数 ‎∵，∴在内存在唯一的零点，‎ 也即在上有唯一零点 设的零点为，则，即，‎ 由的单调性知：‎ 当时，，为减函数 当时，，为增函数，‎ 所以当时.‎ ‎∴.‎