2018-2019学年四川省内江市高二下学期期末检测数学（文）试题

2018-2019学年四川省内江市高二下学期期末检测数学（文）试题

‎2018-2019学年四川省内江市高二下学期期末检测数学（文）试题.‎ 一、单选题 ‎1．设i是虚数单位，则复数的虚部是（ ）‎ A. B.2 C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部.‎ ‎【详解】‎ ‎，因此，该复数的虚部为，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的概念，考查复数虚部的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】将椭圆方程化为标准方程，根据题中条件列出关于的不等式，解出该不等式可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 椭圆的标准方程为，由于该方程表示焦点在轴上的椭圆，‎ 则，解得，因此，实数的取值范围是，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程，考查根据方程判断出焦点的位置，解题时要将椭圆方程化为标准形式，结合条件列出不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎3．方程至少有一个负根的充要条件是 A． B． C． D．或 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：①时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则；‎ 若方程有两个负的实根，则必有．‎ ‎②若时，可得也适合题意．‎ 综上知，若方程至少有一个负实根，则．反之，若，则方程至少有一个负的实根，‎ 因此，关于的方程至少有一负的实根的充要条件是．‎ 故答案为：C ‎【考点】充要条件，一元二次方程根的分布 ‎4．下列说法中不正确的是（）‎ A．命题：“，若，则”，用反证法证明时应假设x≠1或y≠1。‎ B．若，则a，b中至少有一个大于1。‎ C．若成等比数列，则.‎ D．命题：“，使得”的否定形式是：“，总有”。‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据反证法的知识判断A,B两个选项说法正确，根据等比数列的知识判断C选项错误.根据特称命题的否定是全称命题的知识判断D选线说法正确.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，反证法假设时，假设“或”，说法正确.对于B选项，假设两个都不大于，即，则与已知矛盾，故假设不成立，原来说法正确.对于C ，假设等比数列公比为，则，所以C选项说法错误.对于D选项，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知D选项说法正确.综上所述，本小题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查反证法的知识，考查等比数列基本量以及项的正负关系，考查全称命题与特称命题互为否定等知识，属于基础题.‎ ‎5．函数的单调递增区间是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求得函数的定义域，然后利用导数求得函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】‎ 依题意，函数的定义域为，，故当时，，所以函数的单调递增区间为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数求函数的单调递增区间，考查导数的运算，属于基础题.‎ ‎6．执行如图的程序框图，若输入的，则输出n的值为（）‎ A．15 B．6 C．5 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】运行程序，当时，退出程序，输出的值.‎ ‎【详解】‎ 运行程序，输入，，判断是，，判断是，，判断是，,判断否，输出.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查程序框图，考查计算程序输出的结果，属于基础题.‎ ‎7．双曲线经过点，且离心率为3，则它的虚轴长是（）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据双曲线经过的点和离心率，结合列方程组，解方程组求得的值，进而求得虚轴长.‎ ‎【详解】‎ 将点代入双曲线方程及离心率为得，解得，故虚轴长，故本小题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线的离心率，考查双曲线的几何性质，考查方程的思想，属于基础题.解题过程中要注意：虚轴长是而不是.‎ ‎8．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品事先拟订的价格进行试销，得到如下数据。‎ 单价(元)‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 销量(件)‎ ‎91‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎67‎ 由表中数据求得线性回归方程，则元时预测销量为（）‎ A．45件 B．46件 C．49件 D．50件 ‎【答案】B ‎【解析】计算出代入回归直线方程，求得，再令求得预测值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，代入得，即 ‎，当时，，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查回归直线方程过样本中心点，考查利用回归直线方程进行预测，属于基础题.‎ ‎9．抛物线的一条焦点弦为AB，若，则AB的中点到直线的距离是（）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】B ‎【解析】设出两点的坐标，根据抛物线方程求得的值，利用抛物线的定义，求得中点到直线的距离.‎ ‎【详解】‎ 设，抛物线方程为，故.根据抛物线的定义有，所以中点的横坐标为，故中点到直线的距离为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的焦点弦有关问题，属于基础题.‎ ‎10．函数，且在处有极值10，则a，b的值是（）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】B ‎【解析】根据函数在处极值为列方程组，解方程组求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，由于函数在处极值为,所以 ，解得或.当，，函数没有极值.所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据函数的极值求得函数的解析式，考查导数的运算，考查方程的思想，属于基础题.解题过程中要注意没有极值的情况.‎ ‎11．椭圆短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，若该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用等面积法得出、、的等式，可得出、的等量关系式，可求出椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积为，‎ 该三角形的周长为，由题意可得，可得，‎ 得，因此，该椭圆的离心率为，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆离心率的计算，解题时要结合已知条件列出有关、、的齐次等式，通过化简计算出离心率的值，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎12．设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】构造函数，根据等式可得出函数为偶函数，利用导数得知函数在上单调递减，由偶函数的性质得出该函数在上单调递增，由，得出，利用函数的单调性和偶函数的性质解出该不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 构造函数，对任意实数，都有，‎ 则，‎ 所以，函数为偶函数，.‎ 当时，，则函数在上单调递减，‎ 由偶函数的性质得出函数在上单调递增，‎ ‎，即，‎ 即，则有，‎ 由于函数在上单调递增，，即，解得，‎ 因此，实数的最小值为，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数不等式的求解，同时也涉及函数单调性与奇偶性的判断，难点在于根据导数不等式的结构构造新函数，并利用定义判断奇偶性以及利用导数判断函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13．函数的图象在的切线方程为_____________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求得函数在时的导数和函数值，根据点斜式求得切线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎，，所以切线方程为，即.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查在函数图像上某点的切线方程的求法，考查导数的运算，属于基础题.‎ ‎14．校田径运动会中的200米决赛中，甲、乙、丙三个同学在被问到谁拿到冠军时，丙说：甲拿到了冠军；乙说：我拿了冠军；甲说：丙说的真话。事实证明这三个同学中，只有一个人说的假话，那么拿到冠军的同学是_________________。‎ ‎【答案】甲 ‎【解析】根据丙、甲所说同真同假，结合“只有一个人说的假话”判断出拿到冠军的同学.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知丙、甲所说同真同假，由于“只有一个人说的假话”，故丙、甲两位同学说的为真话，故拿到冠军的同学是甲.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查逻辑推理能力，属于基础题.‎ ‎15．已知函数，若函数在上为单调函数，则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分两种情况讨论：函数在区间上为增函数或减函数，转化为或在区间上恒成立，利用参变量分离得出或在区间上恒成立，然后利用单调性求出函数在区间上的最大值和最小值，可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎，.‎ ‎①当函数在区间上单调递增，则不等式在区间上恒成立，‎ 即，则，由于函数在区间上单调递增，‎ ‎，，，解得；‎ ‎②当函数在区间上单调递减，则不等式在区间上恒成立，‎ 即，则，由于函数在区间上单调递增，‎ ‎，，，解得.‎ 因此，实数的取值范围是，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，解题时要注意函数的单调性与导数的符号之间的关系，另外利用参变量分离法进行求解，可简化计算，考查化归与转化数学思想，属于中等题.‎ ‎16．已知F为抛物线的焦点，点A、B在抛物线上位于x轴的两侧，且＝12(其中O为坐标原点)，若的面积是，则的面积是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据三角形的面积求得点的纵坐标，代入抛物线方程求得点的坐标，根据及点在抛物线上，求得点的纵坐标，由此求得三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ 设，且.由抛物线得，而.由①，由于在抛物线上，故②，由①②解得，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抛物线上点的坐标的求法，考查向量数量积的坐标运算，考查三角形的面积公式，考查方程的思想，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．（1）证明不等式：，；‎ ‎（2）已知，；；p是q的必要不充分条件，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）.‎ ‎【解析】（1）构造函数，将问题转化为，然后利用导数求出函数的最小值即可得证；‎ ‎（2）解出命题中的不等式，由题中条件得出的两个取值范围之间的包含关系，然后列出不等式组可解出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）即证：，.‎ 令，，则，令，得.‎ 当时，；当时，.‎ 所以，函数单调递减区间为，单调递增区间为.‎ 所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即.‎ 因此，，因此，对任意的，；‎ ‎（2）解不等式，得，则.‎ 由于是的必要不充分条件，则，‎ 则有，解得.‎ 当时，则，合乎题意.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题第（1）考查利用导数证明函数不等式，一般构造差函数，转化为差函数的最值来证明，第（2）问考查利用充分必要条件求参数的取值范围，一般转化为两集合间的包含关系求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题.‎ ‎18．已知椭圆.‎ ‎（1）求椭圆C的离心率e；‎ ‎（2）若，斜率为的直线与椭圆交于、两点，且，求的面积.‎ ‎【答案】（1） ；（2）.‎ ‎【解析】（1）将椭圆的方程化为标准方程，得出、与的等量关系，可得出椭圆的离心率的值；‎ ‎（2）设直线的方程为，设点、，将的值代入得出椭圆的方程，将直线的方程与椭圆联立，消去，列出韦达定理，利用弦长公式结合条件可求出，利用点到直线的距离公式计算出原点到直线的距离 ‎，然后利用三角形的面积公式可得出的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）椭圆，椭圆长半轴长为，短半轴长为，‎ ‎；‎ ‎（2）设斜率为的直线的方程为，且、，‎ ‎，椭圆的方程为，‎ 由，.消去得，又有.‎ ‎，‎ 解得：满足，直线的方程为.‎ 故到直线的距离，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆离心率的计算，考查椭圆中的弦长与三角形面积的计算，一般将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理与弦长公式进行计算求解，难点在于计算量大，属于中等题.‎ ‎19．现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.‎ 月收入(单位百元)‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎(1)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99％的把握认为“月收入以5500元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；‎ 月收入不低于55百元的人数 月收入低于55百元的人数 合计 赞成 a=______________‎ c=______________‎ ‎______________‎ 不赞成 b=______________‎ d=______________‎ ‎______________‎ 合计 ‎______________‎ ‎______________‎ ‎______________‎ ‎(2)试求从年收入位于（单位：百元）的区间段的被调查者中随机抽取2人，恰有1位是赞成者的概率。‎ 参考公式：，其中.‎ 参考值表：‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）填表见解析，没有的把握认为月收入以5500元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异（2）‎ ‎【解析】（1）根据题目所给数据，填写列联表.计算，故没有的把握认为月收入以5500元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.（2）利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出所求概率.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）列联表：‎ 月收入不低于55百元的人数 月收入低于55百元的人数 合计 赞成 a=_________3_____‎ c=______29________‎ ‎_______32_______‎ 不赞成 b=___7___________‎ d=____11__________‎ ‎__________18____‎ 合计 ‎_____10_________‎ ‎______40________‎ ‎_________50_____‎ 则没有的把握认为月收入以5500元为分界点对“楼市限购令”的态度有差异.‎ ‎（2）年收入位于（单位：百元）的区间段的被调查者有5人，其中赞成者2人，记为a，b，不赞成者3人，记为A，B，C.‎ 列举如下：‎ 故所求概率为 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查补全列联表，考查独立性检验，考查利用列举法求解古典概型问题，属于基础题.‎ ‎20．对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”。为定义在上的“局部奇函数”；q：曲线与x轴交于不同的两点。‎ ‎(1)当p为真时，求m的取值范围.‎ ‎(2)若“”为真命题，且“”为假命题，求m的取值范围。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据“局部奇函数”的定义列方程，分离常数后利用指数函数值域和对勾函数性质，求得的取值范围.（2）先求得真时的取值范围.根据“”为真命题，且“”为假命题，可知“p真q假”或“p假q真”，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）为定义在上的“局部奇函数”；‎ ‎，使得成立 化为 ‎（2）q：曲线与x轴交于不同的两点；‎ ‎，解得或 由题知：“”为真命题，且“”为假命题，‎ 则“p真q假”或“p假q真”.‎ 即或 解得或或 即m的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查新定义函数性质的理解和运用，考查存在性问题的求解策略，考查含有简单逻辑联结词命题真假性问题中参数范围的求解，属于中档题.‎ ‎21．已知抛物线上一点到焦点F的距离，倾斜角为α的直线经过焦点F，且与抛物线交于两点A、B。‎ ‎(1)求抛物线的标准方程及准线方程；‎ ‎(2)若α为锐角，作线段AB的中垂线m交x轴于点P。证明：。‎ ‎【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为（2）见解析 ‎【解析】（1）根据抛物线的定义，求得，由此求得点坐标，将其代入抛物线方程，解方程求得的值，进而求得抛物线方程及其准线方程；（2）设出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得线段中点坐标，进而求得线段中垂线方程，由此求得点坐标，求出，由此计算出 ‎.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由抛物线的定义知，‎ 将点代入，得.得 ‎∴抛物线的方程为，准线方程为 ‎（2）证：设直线AB与直线m的交点为C..直线 由，消去x得：。‎ 则 设线段AB中垂线m的方程为：‎ 令，得：，则点 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抛物线标准方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查垂直平分线方程的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎22．已知函数。‎ ‎(1)求函数的单调区间；‎ ‎(2)若函数有两个正零点，求a的取值范围，并证明：。‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】（1）先求得函数的导函数以及定义域，对分成两种情况分类讨论，由此求得函数的单调区间.（2）先根据（1）以及函数有两个零点，判断出，根据（1）中求得的函数单调性，得到，解不等式求得的取值范围.求得的取值范围，通过证明，结合在上递减，得到，即.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ 当时，在上递减；‎ 当时，令 则时，在上递减；‎ 时，在上递增 综上：时，的减区间是 时,的减区间是，增区间是 ‎（2）证；由（1）知，有两个零点，则且 且由时，时，‎ 解得：‎ ‎∴a的范围是 不妨令，则 故 又 ‎，即 在上递减.，即 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.‎