2018届高三数学一轮复习： 第2章 第10节 变化率与导数、导数的计算

2018届高三数学一轮复习： 第2章 第10节 变化率与导数、导数的计算

第十节　变化率与导数、导数的计算 ‎[考纲传真]　1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．‎ ‎1．导数的概念 ‎(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：‎ ‎①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′，即f′(x0)＝ ＝ .‎ ‎②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．‎ ‎(2)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．‎ ‎2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝xn(n∈Q*)‎ f′(x)＝n·xn－1‎ f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a(a＞0)‎ f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ ‎3.导数的运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(3)′＝(g(x)≠0)．‎ ‎4．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(　　)‎ ‎(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　)‎ ‎(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．(　　)‎ ‎(4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为(　　) ‎ ‎【导学号：01772075】‎ A.　　　 B.　　‎ C.　　　 D. D　[由题意知，机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t－，故当t＝2时，机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2－＝.]　‎ ‎3．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′‎ ‎(0)的值为________．‎ ‎3　[因为f(x)＝(2x＋1)ex，‎ 所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，‎ 所以f′(0)＝3e0＝3.]‎ ‎4．(2016·豫北名校期末联考)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．‎ ‎5x＋y＋2＝0　[∵y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′＝－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.]‎ ‎4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.‎ ‎1　[∵f′(x)＝3ax2＋1，‎ ‎∴f′(1)＝3a＋1.‎ 又f(1)＝a＋2，‎ ‎∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．‎ ‎∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.]‎ 导数的计算 ‎　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝exln x；‎ ‎(2)y＝x；‎ ‎(3)y＝x－sincos；‎ ‎(4)y＝ln(2x－9)．‎ ‎[解]　(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex·＝ex.‎ ‎(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.‎ ‎(3)∵y＝x－sin x，∴y′＝1－cos x.‎ ‎(4)令u＝2x－9，y＝ln u，‎ 则y′x＝y′u·u′x.‎ 因此y′＝·(2x－9)′＝.‎ ‎[规律方法]　1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错．‎ ‎2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．‎ ‎3．复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．‎ ‎[变式训练1]　(1)f(x)＝x(2 017＋ln x)，若f′(x0)＝2 018，则x0等于(　　)‎ A．e2　　　 B.‎1　‎　‎ C.ln 2　　　 D.e ‎(2)(2015·天津高考)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．‎ ‎(1)B　(2)3　[(1)f′(x)＝2 017＋ln x＋x×＝2 018＋ln x，故由f′(x0)＝2 018，得2 018＋ln x0＝2 018，则ln x0＝0，解得x0＝1.‎ ‎(2)f′(x)＝a＝a(1＋ln x)．‎ 由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.]‎ 导数的几何意义 ‎☞角度1　求切线方程 ‎　已知曲线y＝x3＋.‎ ‎(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；‎ ‎(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．‎ ‎[思路点拨]　(1)点P(2,4)是切点，先利用导数求切线斜率，再利用点斜式写出切线方程；‎ ‎(2)点P(2,4)不一定是切点，先设切点坐标为，由此求出切线方程，再把点P(2,4)代入切线方程求x0.‎ ‎[解]　(1)根据已知得点P(2,4)是切点且y′＝x2，‎ ‎∴在点P(2,4)处的切线的斜率为y′＝4，3分 ‎∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，‎ 即4x－y－4＝0.5分 ‎(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，‎ 则切线的斜率为y′＝x，‎ ‎∴切线方程为y－＝x(x－x0)，‎ 即y＝x·x－x＋.7分 ‎∵点P(2,4)在切线上，‎ ‎∴4＝2x－x＋，‎ 即x－3x＋4＝0，9分 ‎∴x＋x－4x＋4＝0，‎ ‎∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，‎ ‎∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，‎ 故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.12分 ‎☞角度2　求切点坐标 ‎　若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．‎ ‎ ‎ ‎【导学号：01772076】‎ ‎(e，e)　[由题意得y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即点P的坐标为(e，e)．]‎ ‎☞角度3　求参数的值 ‎　(1)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(　　)‎ A．1　　　 B.2‎ C.－1　　　 D.－2‎ ‎(2)(2017·西宁复习检测(一))已知曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝(　　)‎ A．－2　　　 B.2‎ C.－　　　 D. ‎(1)B　(2)A　[(1)设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)．‎ 又y′＝，所以y′|x＝x0＝＝1，即x0＋a＝1.‎ 又y0＝ln(x0＋a)，所以y0＝0，则x0＝－1，所以a＝2.‎ ‎(2)由y′＝得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－，又切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝－2，故选A.]‎ ‎[规律方法]　1.导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．‎ ‎2．曲线在点P处的切线是以点P为切点，曲线过点P的切线则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标．‎ 易错警示：当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.‎ ‎2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．在实施化简时，必须注意变换的等价性．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．‎ ‎2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．‎ ‎3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．‎