高考文科数学复习：夯基提能作业本 (28)

高考文科数学复习：夯基提能作业本 (28)

第一节　变化率与导数、导数的计算 A组　基础题组 ‎1.已知函数f(x)=‎1‎xcos x,则f(π)+f 'π‎2‎=(　　)‎ A.- ‎3‎π‎2‎ B.- ‎1‎π‎2‎ C.- ‎3‎π D.- ‎‎1‎π ‎2.(2017黑龙江、吉林八校联考)函数f(x)=x+sin x的图象在x=π‎2‎处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.π‎2‎‎4‎ C.π‎2‎‎2‎ D.π‎2‎‎4‎+1‎ ‎3.已知f(x)=x(2 014+ln x),若f '(x0)=2 015,则x0=(　　)‎ A.e2 B.1 C.ln 2 D.e ‎4.(2016安徽安庆二模)给出定义:设f '(x)是函数y=f(x)的导函数, f ″(x)是函数f '(x)的导函数,若方程f ″(x)=0有实数解x0,则称点(x0, f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sin x-cos x的拐点是M(x0, f(x0)),则点M(　　)‎ A.在直线y=-3x上 B.在直线y=3x上 C.在直线y=-4x上 D.在直线y=4x上 ‎5.(2015河南郑州质检二)已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=(　　)‎ A.-1 B.0 C.2 D.4‎ ‎6.若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是　　　　. ‎ ‎7.(2016课标全国Ⅲ,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是　　　　. ‎ ‎8.已知函数f(x)=ex-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围为　　　　. ‎ ‎9.已知函数f(x)=‎1‎‎3‎x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.‎ ‎(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围;‎ ‎(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.‎ ‎10.已知函数f(x)=x-‎2‎x,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同,求a的值,并判断两条切线是否为同一条直线.‎ B组　提升题组 ‎11.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　)‎ A.y=sin x B.y=ln x ‎ C.y=ex D.y=x3‎ ‎12.(2016安徽皖江名校联考)已知函数f(x)=ex-2ax,g(x)=-x3-ax2.若不存在x1,x2∈R,使得f '(x1)=g'(x2),则实数a的取值范围为(　　)‎ A.(-2,3) B.(-6,0) ‎ C.[-2,3] D.[-6,0]‎ ‎13.(2016重庆二诊)已知函数f(x)=‎2‎ex‎+1‎+sin x,其导函数为f '(x),则f(2 016)+f(-2 016)+f '(2 016)-f '(-2 016)的值为(　　)‎ A.0 B.2 C.2 016 D.-2 016‎ ‎14.已知f(x)=acos x,g(x)=x2+bx+1,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点(0,m)处有公切线,则a+b=(　　)‎ A.-1 B.0 C.1 D.2‎ ‎15.若函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是　 . ‎ ‎16.设函数f(x)=ax-bx,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.C　∵f '(x)=-‎1‎x‎2‎cos x+‎1‎x(-sin x), f(π)=-‎1‎π,‎ ‎∴f(π)+f 'π‎2‎=-‎1‎π+‎2‎π·(-1)=-‎3‎π.‎ ‎2.A　f(x)=x+sin x,则f '(x)=1+cos x,则f 'π‎2‎=1,而fπ‎2‎=π‎2‎+1,故函数f(x)的图象在x=π‎2‎处的切线方程为y-π‎2‎‎+1‎=x-π‎2‎,即y=x+1.‎ 令x=0,可得y=1;令y=0,可得x=-1.‎ 故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为‎1‎‎2‎×1×1=‎1‎‎2‎.‎ 故选A.‎ ‎3.B　由题意可知f '(x)=2 014+ln x+x·‎1‎x=2 015+ln x.由f '(x0)=2 015,得ln x0=0,解得x0=1.‎ ‎4.B　f '(x)=3+4cos x+sin x, f ″(x)=-4sin x+cos x,由题意知4sin x0-cos x0=0,所以f(x0)=3x0,故M(x0, f(x0))在直线y=3x上.故选B.‎ ‎5.B　由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-‎1‎‎3‎,∴f '(3)=-‎1‎‎3‎.∵g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf '(x),∴g'(3)=f(3)+3f '(3),又由题图可知f(3)=1,‎ ‎∴g'(3)=1+3×‎-‎‎1‎‎3‎=0.‎ ‎6.答案　(e,e)‎ 解析　令f(x)=xln x,则f '(x)=ln x+1,设P(x0,y0),则f '(x0)=ln x0+1=2,∴x0=e,此时,y0=x0ln x0=eln e=e,∴点P的坐标为(e,e).‎ ‎7.答案　y=2x 解析　当x>0时,-x<0, f(-x)=ex-1+x,而f(-x)=f(x),所以f(x)=ex-1+x(x>0),点(1,2)在曲线f(x)=ex-1+x(x>0)上,易知f '(1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f '(1)·(x-1),即y=2x.‎ ‎8.答案　‎‎1‎e‎,+∞‎ 解析　函数f(x)=ex-mx+1的导函数为f '(x)=ex-m,‎ 要使曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,‎ 则需ex-m=-‎1‎e有解,即m=ex+‎1‎e有解,‎ 由ex>0,得m>‎1‎e.则实数m的取值范围为‎1‎e‎,+∞‎.‎ ‎9.解析　(1)由题意得f '(x)=x2-4x+3,‎ 则f '(x)=(x-2)2-1≥-1,‎ 即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[-1,+∞).‎ ‎(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k,‎ 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,‎k≥-1,‎‎-‎1‎k≥-1,‎ 解得-1≤k<0或k≥1,‎ 故由-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,‎ 得x∈(-∞,2-‎2‎]∪(1,3)∪[2+‎2‎,+∞).‎ ‎10.解析　根据题意有 曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f '(1)=3,‎ 曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率为g'(1)=-a.‎ 又f '(1)=g'(1),所以a=-3.‎ 曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-f(1)=3(x-1),‎ 得y+1=3(x-1),即切线方程为3x-y-4=0.‎ 曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y-g(1)=3(x-1),‎ 得y+6=3(x-1),即切线方程为3x-y-9=0,‎ 所以两条切线不是同一条直线.‎ B组　提升题组 ‎11.A　设函数y=f(x)图象上两点的横坐标为x1,x2.由题意知只需函数y=f(x)满足f '(x1)·f '(x2)=-1(x1≠x2)即可.y=f(x)=sin x的导函数为f '(x)=cos x, f '(0)·f '(π) =-1,故A满足;y=f(x)=ln x的导函数为f '(x)=‎1‎x, f '(x1)·‎ f '(x2)=‎1‎x‎1‎x‎2‎>0,故B不满足;y=f(x)=ex的导函数为f '(x)=ex, f '(x1)·f '(x2)=ex‎1‎‎+‎x‎2‎>0,故C不满足;y=f(x)=x3的导函数为f '(x)=3x2, f '(x1)·f '(x2)=9x‎1‎‎2‎x‎2‎‎2‎≥0,故D不满足.故选A.‎ ‎12.D　依题意,知函数f '(x)与g'(x)值域的交集为空集,∵f '(x)=ex-2a>-2a,g'(x)=-3x2-2ax≤a‎2‎‎3‎,∴a‎2‎‎3‎≤-2a,解得-6≤a≤0.‎ ‎13.B　∵f(x)=‎2‎ex‎+1‎+sin x,∴f '(x)=-‎2‎ex‎(ex+1‎‎)‎‎2‎+cos x,‎ f(x)+f(-x)=‎2‎ex‎+1‎+sin x+‎2‎e‎-x‎+1‎+sin(-x)=2,‎ ‎∴f '(x)-f '(-x)=-‎2‎ex‎(ex+1‎‎)‎‎2‎+cos x+‎2‎e‎-x‎(e‎-x+1‎‎)‎‎2‎-cos(-x)=0,∴f(2 016)+f(-2 016)+f '(2 016)-f '(-2 016)=2.‎ ‎14.C　依题意得, f '(x)=-asin x,g'(x)=2x+b, f '(0)=g'(0),∴-asin 0=2×0+b,故b=0,‎ ‎∵m=f(0)=g(0),∴m=a=1,因此a+b=1,选C.‎ ‎15.答案　‎-∞,2-‎‎1‎e∪‎‎2-‎1‎e,2‎ 解析　f '(x)=‎1‎x+a(x>0).∵函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,∴方程‎1‎x+a=2在区间(0,+∞)上有解,即a=2-‎1‎x在区间(0,+∞)上有解,∴a<2.若直线2x-y=0与曲线f(x)=ln x+ax相切,设切点为(x0,2x0),则‎1‎x‎0‎‎+a=2,‎‎2x‎0‎=lnx‎0‎+ax‎0‎,‎解得x0=e,a=2-‎1‎e.‎ 综上,实数a的取值范围是‎-∞,2-‎‎1‎e∪‎2-‎1‎e,2‎.‎ ‎16.解析　(1)方程7x-4y-12=0可化为y=‎7‎‎4‎x-3,‎ 当x=2时,y=‎1‎‎2‎,故2a-b‎2‎=‎1‎‎2‎,‎ 又f '(x)=a+bx‎2‎,即有a+b‎4‎=‎7‎‎4‎,解得a=1,b=3.‎ 故f(x)=x-‎3‎x.‎ ‎(2)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由(1)知, f '(x)=1+‎3‎x‎2‎,则曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=‎1+‎‎3‎x‎0‎‎2‎(x-x0),即y-x‎0‎‎-‎‎3‎x‎0‎=‎1+‎‎3‎x‎0‎‎2‎(x-x0).‎ 令x=0,得y=-‎6‎x‎0‎,从而得切线与直线x=0的交点坐标为‎0,-‎‎6‎x‎0‎.‎ 令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).‎ 所以曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为‎1‎‎2‎·‎-‎‎6‎x‎0‎|2x0|=6.‎ 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.‎