上海市闵行区2019届高三上学期期末质量调研数学试题

上海市闵行区2019届高三上学期期末质量调研数学试题

闵行区2019届高三期末质量调研 数学试卷 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1. 已知全集，集合，则 ‎ ‎2. ‎ ‎3. 若复数满足（是虚数单位），则 ‎ ‎4. 方程的解为 ‎ ‎5. 等比数列中，，，则 ‎ ‎6. 的展开式中项的系数为 （用数字作答）‎ ‎7. 已知两条直线和，则与的距离为 ‎ ‎8. 已知函数，的值域为，‎ 则的取值范围是 ‎ ‎9. 如图，在过正方体的任意两个顶点的 所有直线中，与直线异面的直线的条数为 ‎ ‎10. 在△中，角、、的对边分别为、、，‎ 面积为，且，则 ‎ ‎11. 已知向量，，且，若向量满足 ‎，则的最大值为 ‎ ‎12. 若无穷数列满足：，当，时，（其中表示中的最大项），有以下结论：‎ ‎① 若数列是常数列，则（）；‎ ‎② 若数列是公差的等差数列，则；‎ ③ 若数列是公比为的等比数列，则；‎ ④ 若存在正整数，对任意，都有，则是数列的最大项.‎ 则其中的正确结论是 （写出所有正确结论的序号）‎ 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13. 若、为实数，则“”是“”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 ‎14. 已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，，∥，则下 列结论不可能成立的是（ ）‎ A. Ü，且∥ B. Ü，且∥‎ C. ∥，且∥ D. 与、都相交 ‎15. 已知函数（，，）与其反函数有交点，则下列结论 正确的是（ ）‎ A. B. C. D. 与的大小关系不确定 ‎16. 在平面直角坐标系中，已知向量，是坐标原点，是曲线上 的动点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）‎ ‎17. 如图，正三棱柱的各棱长均为2，为棱的中点.‎ ‎（1）求该三棱柱的表面积；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的大小.‎ ‎18. 已知抛物线（）.‎ ‎（1）若上一点到其焦点的距离为3，求的方程；‎ ‎（2）若，斜率为2的直线交于A、B两点，交x轴的正半轴于点M，O为坐标原 点，，求点M的坐标.‎ ‎19. 在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在ABC段可近似地用函数的图像从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号. ‎ 老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线对称，点B、D的坐标分别是、. ‎ ‎（1）请你帮老张确定、、的值，并写出ABC段的函数解析式；‎ ‎（2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，‎ 那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？‎ ‎20. 对于函数，若函数是增函数，则称函数具有 性质A. ‎ ‎（1）若，求的解析式，并判断是否具有性质A；‎ ‎（2）判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；‎ ‎（3）若函数具有性质，求实数的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数. ‎ ‎21. 对于数列，若存在正数，使得对任意都成立，则称数列为 ‎“拟等比数列”. ‎ ‎（1）已知，，且，若数列和满足：，，且 ‎，；‎ ‎① 若，求的取值范围；‎ ‎② 求证：数列是“拟等比数列”；‎ ‎（2）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，，‎ ‎，且是“拟等比数列”，求的取值范围. （请用，d表示）‎ 数学试卷参考答案与评分标准 一. 填空题 1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．；8．；9．； 10．； 11．；12．①②③④. ‎ 二. 选择题 13．B； 14．D； 15．B； 16．A．‎ 三. 解答题 ‎ ‎17．[解] （1） ………6分 （2） 取的中点，联结，则，‎ 所以（或其补角）是异面直线与所成的角．…8分 在中，，， ‎ 所以．………12分 所以与所成的角的大小为． …………14分 ‎18．[解] （1）由条件知, ………………4分 所以的方程为. ………………………6分 ‎（2）设点的坐标分别为、，，‎ 则直线的方程为； ………………………8分 ‎， ………………………10分 ‎ ………………………12分 ‎，‎ 所以点的坐标为. ………………………14分 ‎19．[解] （1）因为两点关于直线对称，所以点的坐标为，……2分 又点恰在平衡位置，为最低点，得…4分 将代入解析式可得：‎ ‎，∴， …………………………6分 再结合点是最低点，可得.‎ ‎∴段的解析式为 ……………………8分 ‎（2）由对称性得，段的解析式为：‎ ‎，…10分 若股价至少是买入价的两倍，则 ‎ ………………………………12分 解得 所以买入16天后，股价至少是买入价的两倍. …………………………14分 ‎20．[解] (1) ……2分 而在上是增函数， 所以是否具有性质. ………………………………4分 ‎(2)假命题. ………………………………6分 如函数是减函数， ………………………………8分 ‎ 函数在上单调递增，∴具有性质． ∴命题是假命题. ………………………………10分 (3) ， 因为函数具有性质，‎ 所以 ． ………………………………12分 ‎，由得 或 或或． …………………14分 t y ‎1‎ y=k t1‎ x O t=t1‎ t ‎1‎ x1‎ x2‎ O 设，则 由函数的图像可知 当时，，无解；‎ 当时，， ；‎ 当时，，在上有两个解；‎ 综上所述：当时，在区间上零点的个数为2；‎ 当时，在区间上零点的个数为3；‎ 当时，在区间上零点的个数为4．………………16分 ‎21．[解] （1）①∵，且，，∴，‎ ‎∴， ……………………………………4分 ②依题意得： 所以，当时，，……………6分 所以对任意，都有 ， ………………8分 即存在，使得， ∴数列是“拟等比数列”．……………………………………10分 ‎（2） …………………12分 ‎ ‎ 由可知，从而解得， …………………14分 又是“拟等比数列”，故存在，使得 当时，，‎ 由，‎ 由图像可知在时递减，‎ 故； ………………………16分 当时，，‎ 由，‎ 由图像可知在时递减，故； ‎ 由可得，此时的取值范围是 ………………………18分