湖南省岳阳市2020届高三教学质量检测（二）数学（理科）

湖南省岳阳市2020届高三教学质量检测（二）数学（理科）

·1· 岳阳市 2020 届高三教学质量检测试卷（二） 数学（理科） 分值：150 分时量：120 分钟 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。 1.已知复数 z=(1+ i)(3-i)(i 为虚数单位)，则 Z 的虚部为 A.2 B.2i C.4 D.4i 2.已知集合 A={x|x+1≤0}， B={x|x≥a}，若 A∪B=R ，则实数 a 的值可以为 A.2 B.1 C.0 D. -2 3.若 a 4 2 4log 3, log 7, 0.7 ,a b c   则实数 A. a>b> c B.c>a>b C. b> a>c D. c>b>a 4.已知数列{ }na 为等差数列， nS 为其前 n 项和， 6 3 5 3,a a a   则 7S  A.42 B.21 C.7 D.3 5.已知向量 1| | 1, ( , ),2a b m  若 ( ) ( ),a b a b     ，则实数 m 的值为 1. 2A 3. 2B 1. 2C  3. 2D  6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有刍甍，下广三丈，袤四 丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？"其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈，上棱长 2 丈，高 2 丈，问：它的体积是多少？”已知 1 丈为 10 尺，该楔体的三视图如图所示， 其中网格纸上小正方形边长为 1，则该楔体的体积为 A.10000 立方尺 B.11000 立方尺 C.12000 立方尺 D.13000 立方尺 7. 在区间[-1,1]上随机取一个数 k,使直线 y=k(x+3)与圆 2 2 1x y  相交的概率为 ·2· 1. 2A 1. 3B 2. 4C 2. 3D 8. 5(2 1)(2 2 )x x  的展开式中8x 的项的系数为 A.120 B.80 C.60 D.40 9. 已知 '( )f x 为函数 f(x)(x∈R)的导函数,满足 f(1)=1,且 '( ) 1,f x  则不等式 2 2(lg ) lgf x x 的解集 为 1.(0, )10A 1.(0, ) (10, )10B   1.( ,10)10C D.(10, +∞) 10.“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立 足全体党员、面向全社会的优质学习平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门 APP. 该款软件主要设有“阅读文章”、“视听学习”两个学习模块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战 答题"四个答题模块.某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块 相邻的学习方法有 A.60 种 B.192 种 C.240 种 D.432 种 11. 已 知 函 数 13( ) 4sin(2 ), [0, ]6 3f x x x    ， 若 函 数 F(x)= f(x)-3 的 所 有 零 点 依 次 记 为 1 2 3, , , , ,nx x x x 且 1 2 3 nx x x x    ，则 1 2 3 12 2 2 n nx x x x x      50. 3A  B.21π 100. 3C  D.42π 12. 已知 F 为抛物线 2 4y x 的焦点，点 A 在抛物线上，且 |AF|=5，过点 F 的动直线 l 与抛物线交于 B，C 两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与 x 轴的交点为 M. 给出下列四个命题: ①在抛物线上满足条件的点 A 仅有一个; ②若 P 是抛物线准线上一动点, 则| PA|+ |PO|的最小值为 2 13 ③无论过点 F 的直线 l 在什么位置，总有∠OMB=∠OMC ; ④若点 C 在抛物线准线上的射影为 D，则三点 B、O、D 在同一条直线上. 其中所有正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 第 II 卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置.上，答错 位置，书写不清，模棱两可均不得分。 13. 在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 2 2 2 ,a c b  且 sin AcosC= 3cos AsinC， 则 b=____ ·3· 14.已知双曲线 2 2 2 2: 1( , 0)x yC a ba b    的左右焦点为 F1, F2,过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A, B 两点， 1F B 与 y 轴相交于 D.若 1 ,AD F B ,则双曲线 C 的离心率为____ 15. 设 f(x)是定义在(0, +∞)上的函数，且 f(x)>0,对任意 a>0, b>0,若经过点(a, f(a)), (b,-f(b))的一次函数 与 x 轴的交点为(c,0),且 a、b、c 互不相等,则称 c 为 a, b 关于函数 f(x)的平均数,记为 ( , ).fM a b 当 f(x)=______(x> 0)时， ( , )fM a b 为 a, b 的几何平均数 .ab (只需写出一个符合要求的函数即可) 16.农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒,俗称“粽子”,古称“角黍”，是端午节大 家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸 片是由六个边长为 1 的正三角形构成的,将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该 六面体的体积为____; 若该六面体内有一球，则该球体积的最大值______为(本题第一空 2 分，第二空 3 分). 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 一 21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题 17.(本小题满分 12 分) 等差数列{ }na 的公差为 2, 2 4 8,,a a a 分别等于等比数列{ }nb 的第 2 项、第 3 项、第 4 项. ( 1)求数列{ }na 和{ }nb 的通项公式; (2)若数列{ }nc 满足 1 2 1 1 2 n n n cc c ba a a     ,求数列{ }nc 的前 2020 项的和. 18.(本小题满分 12 分) 如图，直三棱柱 1 1 1ABC A BC 中，D, E 分别是 1,AB BB 的中点， 1 2 2.2AA AC CB AB    ·4· (1 )证明: 1BC ∥平面 1ACD ； (2)求二面角 1D AC E  的余弦值. 19.(本小题满分 12 分) 设直线 l 与抛物线 2 2x y 交于 A，B 两点,与椭圆 2 2 14 2 x y  交于 C，D 两点,设直线 OA, OB，OC， OD( O 为坐标原点)的斜率分别为 1 2 3 4, , ,k k k k ,若 OA⊥OB. ( 1)证明:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标; (2)是否存在常数λ，满足 1 2 3 4( )k k k k   ?并说明理由. 20.(本小题满分 12 分) 新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，电子购物平台成为人们]的热]选择，为提高市场销售业绩，某公司 设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后，对“采用促销"和“没有采用促 销”的营销网点各选取了 50 个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们 J 的年销售总额，并按年销售 总额增长的百分点分成 5 组: [-5,0)，[0,5), [5,10), [10,15)，[15,20], 分别统计后制成如图所示的频率分布直 方图,并规定年销售总额增长 10 个百分点及以上的营销网点为“精英店”. ·5· （1）请根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有 99%的把握认为“精英店与采用促销活动有 关”； (2)某“精英店”为了创造更大的利润,通过分析上一年度的售价 ix (单位:元)和日销 iy (单位:件) ( i=1,2,...,10 )的一组数据后决定选择 2y a bx  作为回归模型进行拟合.具体数据如下表, 表中的 2 ( 1,2, ,10i iw x i   ①根据上表数据计算 a，b 的值; ②已知该公司产品的成本为 10 元/件，促销费用平均 5 元/件,根据所求出的回归模型，分析售价 x 定 为多少时日利润 z 可以达到最大. 附① 2 2 ( ): ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      附②:对应一组数据 1 1 2 2 3 3( , ),( , ),( , ), ( , )n nu v u v u v u v ，其回归直线 v=α + βu 的斜率和截距的最小 ·6· 二乘法估计分别为 10 1 10 2 1 ( )( ) ˆ ˆˆ, . ( ) i i i i i v y u u a v u u u            21. (本小题满分 12 分) 若函数 ( ) ( 1)x xf x e ae mx m    R)为奇函数，且 0x x 时 f(x)有极小值 0( ).f x (1)求实数 a 的值与实数 m 的取值范围; (2)若 0 2( )f x e   恒成立，求实数 m 的取值范围. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程] (本小题满分 10 分) 在新中国成立 70 周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情 在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线如图，在直角坐标系中，以原 点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为ρ=1-sinθ ( 0≤θ<2π,ρ>0)，M 为该曲线上的任意一点. (1)当 3| | 2OM  时，求 M 点的极坐标; (2)将射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转 2  与该曲线相交于点 N，求|MN|最大值. ·7· 23.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 若函数 21( ) ( 1) .4f x x  (1)证明: f(x)+|f(x)-2|≥2 ; (2)若存在 x∈R,且 x≠-1，使得 21 ( ) | 1|4 ( ) f x m mf x     成立,求 m 的取值范围. ·8· ·9· ·10· ·11· ·12· ·13· ·14· ·15· ·16· ·17·