新课标版高考数学复习题库考点23 双曲线

新课标版高考数学复习题库考点23 双曲线

‎ ‎ 考点23 双曲线 ‎ ‎1.（2010·安徽高考理科·Ｔ5）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） (D)‎ ‎【命题立意】本题主要考查双曲线方程及其中系数的几何意义，考查考生对双曲线方程的理解认知水平． ‎ ‎【思路点拨】方程化为标准形式确定半实轴长和半虚轴长由求 确定右焦点坐标 ‎ 【规范解答】选 C.双曲线方程为，即 · ‎，，得，‎ · 它的右焦点坐标为，故C正确.‎ ‎2.（2010·浙江高考理科·Ｔ8）设，分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ ‎（A） 　　　　（B）　　　　 （C）　　 （D）‎ ‎【命题立意】本题考查圆锥曲线的相关知识，考查双曲线的基础知识，解题的关键是熟练掌握双曲线的 定义、渐近线的求法.‎ ‎【思路点拨】本题利用条件及双曲线的定义，构造三角形解题.‎ ‎【规范解答】选C.由题意作图如下..作F2Q⊥PF1于Q，则为线段的垂直平分 线，且.，.代入双曲线方程得，‎ 即.把代入得，‎ 即，，‎ ‎，渐近线方程为，即.‎ ‎【方法技巧】（1）涉及到圆锥曲线上的点到焦点的距离时用定义解题比较方便.（2）求双曲线的渐近线时可令，解出渐近线方程.‎ ‎3.（2010·辽宁高考理科·Ｔ9）设双曲线的—个焦点为F，虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎【命题立意】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了两直线垂直的条件，双曲线的离心率.‎ ‎【思路点拨】‎ ‎【规范解答】选D.不妨设双曲线方程为焦点F（c,0）,虚轴端点B（0，b）,则渐近线方程为，直线BF的斜率,,即 ‎∴两边同时除以可得，　解得.‎ ‎4.（2010·浙江高考文科·Ｔ10）设O为坐标原点，,是双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠P=60°，∣OP∣=,则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ ‎（A）x±y=0 （B）x±y=0‎ ‎（C）x±=0 （D）±y=0‎ ‎【命题立意】本题将解析几何与三角知识相结合，主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何图形、几何性质、渐近线方程以及斜三角形的解法，属中档题.‎ ‎【思路点拨】本题先利用双曲线的定义式及相关三角形知识，可解出间的关系，再求渐近线方程.‎ ‎【规范解答】选D.如图所示，作点P关于原点的对称点，则四边形为平行四边形，，.°°.‎ 在中，由余弦定理，得，‎ ‎，.与联立解得，在中，°，由余弦定理得 ‎，，，，‎ 渐近线方程为.‎ ‎5.（2010·天津高考理科·Ｔ5）已知双曲线的一条渐近线方程是y=,‎ 它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 ( )‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） 　（D）‎ ‎【命题立意】考查双曲线、抛物线的方程和几何性质.‎ ‎【思路点拨】根据双曲线的渐近线方程和焦点列方程组，求出和.‎ ‎【规范解答】选B.由题意可得 所以双曲线方程为.‎ ‎6.（2010·福建高考理科·Ｔ7）若点O和点F（-2，0）分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（ 　　）‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎【命题立意】本题主要考查求解双曲线的方程以及以平面向量为背景的最值的求解,属中档题.‎ ‎【思路点拨】 先求出双曲线的方程，设P为动点，依题意写出的表达式，进而转化为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解.‎ ‎【规范解答】选B.双曲线的方程为.设，‎ 则，，‎ ‎.又，∴当时，.‎ ‎7.（2010·海南高考理科·T12）已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为（　　）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【命题立意】本小题主要考查了直线和圆锥曲线的位置关系.‎ ‎【思路点拨】根据题意可先设出双曲线的方程，然后列方程组进行求解.‎ ‎【规范解答】选B.由于AB的中点为N(-12,-15)，所以直线的斜率，所以直线的方程为.由于F(3,0)是E的焦点，可设双曲线的方程为，‎ 设，由 因为AB的中点为N(-12,-15)，所以，解得，故选B.‎ ‎【方法技巧】先根据题意设出双曲线的方程，再利用根与系数的关系，列出两根之和满足的等式，然后利用中点坐标求出参数，进而解决相关的问题.‎ ‎8.（2010·福建高考文科·Ｔ１3）若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程式为y=，则ｂ等于　　　　　　　 .‎ ‎【命题立意】本题考查双曲线的渐近线方程.‎ ‎【思路点拨】焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为.‎ ‎【规范解答】双曲线的渐近线方程为 ‎【答案】1‎ ‎【方法技巧】1.由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得两条直线的方程，如双曲线的渐近线方程为，即；双曲线的渐近线方程为，即.‎ ‎2.如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.‎ ‎9.（2010·天津高考文科·Ｔ１3）已知双曲线的一条渐近线方程是 ‎，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程为 . ‎ ‎【命题立意】考查双曲线、抛物线的方程和几何性质.‎ ‎【思路点拨】根据双曲线的渐近线方程和焦点，列方程组，求出和.‎ ‎【规范解答】由题意可得 所以双曲线方程为.‎ ‎【答案】‎ ‎10.（2010·江苏高考·Ｔ6）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为__________.‎ ‎【命题立意】本题考查双曲线上点的坐标的求法，双曲线的焦点坐标以及两点间距离公式的应用.‎ 求M的坐标 求右焦点坐标 利用两点的距离公式求解 ‎【思路点拨】 ‎ ‎【规范解答】,双曲线的右焦点坐标为F2（4，0）.‎ 由两点间的距离公式得 ‎【答案】4‎ ‎11.（2010·北京高考理科·Ｔ１3）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ，渐近线方程为 .‎ ‎【命题立意】本题考查双曲线与椭圆的基础知识.‎ ‎【思路点拨】先由椭圆方程求出焦点坐标，再利用离心率求，利用求.令求渐近线方程. ‎ ‎【规范解答】由题知双曲线的焦点为，，离心率，，，双曲线方程为.令，得渐近线方程为 ‎【答案】（，0） ‎ ‎12.（2010·山东高考理科·Ｔ21）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为 ‎（1）求椭圆和双曲线的标准方程.‎ ‎（2）设直线，的斜率分别为，，证明.‎ ‎（3）是否存在常数，使得恒成立？‎ 若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【命题立意】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线 的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试 题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力.其中问题（3）‎ 是一个开放性问题，考查了考生的观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力. ‎ ‎【思路点拨】(1)根据离心率和周长构造含有的方程组，可求出椭圆的方程，再根据双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点可求双曲线的方程.（2）设出点P的坐标，再将用点P的坐标表示，并利用点P在双曲线上进行化简.（3）设直线AB的斜率为，则由（2）的结果可将直线CD的斜率用表示，然后写出直线AB与CD的方程，利用弦长公式将与表示出来，最后将用表示出来，通过化简可判断是否为常数.‎ ‎【规范解答】（1）由题意知，椭圆离心率为，得.又，所以可解得，，所以，所以椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点坐标为（，0）.因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为.‎ ‎（2）设点P（，），则=，=，所以=‎ ‎.又点P（，）在双曲线上，所以有，即，所以 ‎=1.‎ ‎（3）假设存在常数，使得恒成立，则由（2）知 ‎.设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为所以直线AB的方程为，直线CD的方程为 由方程组，消y得：.设，，‎ 则由根与系数的关系得：.‎ 所以|AB|==.同理可得 ‎|CD|=.‎ 又因为，所以有 ‎=，所以存在常数，使得恒成立.‎ ‎【方法技巧】解析几何中的存在判断型问题 ‎1.基本特征：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形)是否存在或某一结论是否成立. ‎ ‎2.基本策略：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式来证明该式是恒定的.‎ ‎13.（2010·广东高考理科·Ｔ20） 已知双曲线的左、右顶点分别为A1,A2，点P，是双曲线上不同的两个动点，‎ （1） 求直线A1P与A2 Q交点的轨迹E的方程式.‎ （2） 若过点H(O, h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且 ,求h的值.‎ ‎【命题立意】本题为解析几何综合问题，主要考查点的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系.‎ ‎【思路点拨】（1）利用交轨法求点的轨迹方程.‎ ‎ （2）利用互相垂直的两条直线的斜率互为负倒数的关系，设出l1和l2 的方程，代入曲线方程后，利用其判别式为零求出的值.‎ ‎【规范解答】（1）因为A1,A2 分别为的左、右顶点，所以，，‎ ‎， .‎ 两式相乘得：.又因为点在双曲线上，所以.代入上式，求得点的轨迹方程为：.‎ ‎(2)设 ，因为，所以可设 .‎ 将 代入得：,‎ 即： .因为与只有一个交点，所以 ‎ ‎ ①‎ 同理，将 代入，因为与只有一个交点，可得：‎ ‎ ②‎ 由①②得，解得，所以，，‎ 即