四川省棠湖中学2020届高三下学期第四学月考试数学（文）试题

四川省棠湖中学2020届高三下学期第四学月考试数学（文）试题

‎2020年春四川省棠湖中学高三第四学月考试 文科数学 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.若，则 A. B. C. D. ‎ ‎3.已知实数、满足约束条件，则的最大值为 A. B. C. D.‎ ‎4.“”是“直线的倾斜角大于”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎5.如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺. ‎ 13‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为 A.128.5米 B.132.5米 C.136.5米 D.110.5米 ‎7.已知，是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是 ‎ A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 ‎8.函数（其中，，）的图象如图，则此函数表达式为 ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.已知sin(π‎6‎+α)=cos(π‎6‎-α)‎，则cos2α=‎ ‎ 13‎ A. 1 B. C. ‎0‎ D. ‎‎-1‎ ‎10.已知向量=，.若，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.若关于的不等式在内恒成立，则满足条件的整数的最大值为 ‎ A. B. C. D.‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.求值：_________．‎ ‎14.若等比数列‎{an}‎的前n项和为Sn,且S‎3‎‎=7‎，S‎6‎‎=63‎，则S‎9‎‎=‎____．‎ ‎15.函数的图像可由的图像至少向右平移 个单位长度得到．‎ ‎16.已知抛物线：的焦点为，且到准线的距离为2，直线：与抛物线交于，两点（点在轴上方），与准线交于点，若，则________.‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ 13‎ ‎17.（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照‎(0.0.5),(0.5,1),⋯(4,4.5]‎分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）求直方图的a的值；‎ ‎（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由.‎ ‎（III）估计居民月用水量的中位数.‎ ‎18.（12分）在中，是上的点，平分，.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（II）若，求的长．‎ ‎19.（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，分别为，的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．‎ 13‎ ‎20.（12分）已知，动点在：上运动.线段的中垂线与交于.‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的方程；‎ ‎（II）设、、三点均在曲线上，且，（为原点），求的范围.‎ ‎21.（12分）已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的导函数的单调性；‎ ‎（II）若函数在处取得极大值，求a的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 13‎ 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（II）设P（0，-1），直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知，，；‎ ‎（Ⅰ）若，，求的解集.‎ ‎（II）若最小值为1，求最大值.‎ 13‎ 13‎ ‎2020年春四川省棠湖中学高三第四学月考试 文科数学答案 ‎1.B 2.D 3.C 4.A 5.B 6.C 7.D 8.B 9.C 10.D 11.D 12.C ‎13.1 14.511 15.π‎3‎ 16.‎ ‎17.（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04.‎ 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.‎ 由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，‎ 解得a=0.30.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.‎ 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12="36" 000.‎ ‎（Ⅲ）设中位数为x吨.‎ 因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，‎ 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5‎ 所以2≤x<2.5.‎ 由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.‎ 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.‎ ‎18.解：（1）由正弦定理可得在中，，‎ 13‎ 在中，，‎ 又因为，.‎ ‎（2），由正弦定理得，‎ 设，则，则.‎ 因为，‎ 所以，解得. .‎ ‎19.（Ⅰ）连接，∴，，∴为正三角形.‎ ‎∵为的中点，∴.‎ ‎∵，平面，∴.‎ 又平面，平面，∴平面.‎ ‎∵，分别为，的中点，∴.‎ 又平面，平面，∴平面.‎ 又平面，，‎ ‎∴平面平面.‎ 13‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）中已证.‎ ‎∵平面平面，平面，∴平面.‎ 又，，∴.‎ 在中，∵，，∴.‎ ‎∵，分别为，的中点，‎ ‎∴的面积，‎ ‎∴三棱锥的体积.‎ ‎20.（1）‎ 点轨迹是以、为焦点椭圆.，，，.‎ ‎（2）当斜率存在时，设 ‎，令两根为，.‎ 由.‎ ‎，.‎ 代入，，即.‎ 故.‎ ‎，，‎ 13‎ ‎.‎ 当轴时，易求，范围是.‎ ‎21.（1）∵，∴，∴，‎ ‎①当时，，∴函数在上单调递增；‎ ‎②当时，若，则；若，则，‎ ‎∴函数在上单调递增，在上单调递减．‎ 综上所述，当时．函数在上单调递增，‎ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（2）∵，∴．‎ ‎①由（1）知，当时，在上单调递增，‎ 若，则；若，则，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极小值；不合题意；‎ ‎②当时，在上单调递增，在上是单调递减，∴，‎ ‎∴在上单调递减．∴无极值，不合题意；‎ 13‎ ‎③当时，，由（1）知，在上单调递增，∵，‎ ‎∴若，则；若，则，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极小值，不合题意；‎ ‎④当时，，由（1）知，在上单调递减，∵，‎ ‎∴若，则；若，则．∴在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极大值，符合题意．综上所述，a的取值范围是．‎ ‎22.（1）直线l的参数方程为（t为参数）．消去参数t可得直线l的普通方程为 ‎ 由，得，则有，即，‎ 则曲线C的直角坐标方程为 ‎ ‎（2）将l的参数方程代入，得，设两根为， ‎ 则，为M，N对应的参数，且 所以，线段MN的中点为Q对应的参数为，所以，‎ 13‎ ‎23.（1），时，，‎ 解不等式： 解得答案为：.‎ ‎（2）当时，，.‎ ‎.当即时. 最大值为.‎ 13‎