2018届高三数学一轮复习： 第2章 第4节 课时分层训练7

2018届高三数学一轮复习： 第2章 第4节 课时分层训练7

课时分层训练(七)　二次函数与幂函数 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　) ‎ ‎【导学号：01772040】‎ A.　　　 B.‎1　‎　‎ C.　　　 D.2‎ C　[由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.]　‎ ‎2．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为(　　)‎ A．－3　　　 B.13‎ C.7　　　 D.5‎ B　[函数f(x)＝2x2－mx＋3图象的对称轴为直线x＝，由函数f(x)的增减区间可知＝－2，∴m＝－8，即f(x)＝2x2＋8x＋3，∴f(1)＝2＋8＋3＝13.]　‎ ‎3．若幂函数y＝(m2－‎3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是(　　)‎ A．－1≤m≤2 B.m＝1或m＝2‎ C．m＝2 D.m＝1‎ B　[由幂函数性质可知m2－‎3m＋3＝1，∴m＝2或m＝1.又幂函数图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝2或m＝1.]‎ ‎4．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) ‎ ‎【导学号：01772041】‎ A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　D D　[由a＋b＋c＝0，a＞b＞c知a＞0，c＜0，则＜0，排除B，C.又f(0)＝c＜0，所以也排除A.]‎ ‎5．若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于(　　)‎ A．－1　　　 B.1‎ C.2　　　 D.－2‎ B　[∵函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，‎ ‎∴函数的最大值在区间的端点取得．‎ ‎∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，‎ ‎∴或解得a＝1.]‎ 二、填空题 ‎6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0)．若f(x)在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a＝________，b＝________.‎ ‎1　0　[因为函数f(x)的对称轴为x＝1，又a＞0，‎ 所以f(x)在[2,3]上单调递增，所以 即解方程得a＝1，b＝0.]‎ ‎7．已知P＝2，Q＝3，R＝3，则P，Q，R的大小关系是________. ‎ ‎【导学号：01772042】‎ P＞R＞Q　[P＝2＝3，根据函数y＝x3是R上的增函数且＞＞，‎ 得3＞3＞3，即P＞R＞Q.]‎ ‎8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈‎ ‎[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围是________．‎ ‎[2,3]　[f(x)＝(x－a)2＋5－a2，根据f(x)在区间(－∞，2]上是减函数知，a≥2，则f(1)≥f(a＋1)，‎ 从而|f(x1)－f(x2)|max＝f(1)－f(a)＝a2－2a＋1，‎ 由a2－2a＋1≤4，解得－1≤a≤3，‎ 又a≥2，所以2≤a≤3.]‎ 三、解答题 ‎9．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．‎ ‎[解]　幂函数f(x)经过点(2，)，‎ ‎∴＝2(m2＋m)－1，即2＝2(m2＋m)－1，‎ ‎∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.4分 又∵m∈N*，∴m＝1.‎ ‎∴f(x)＝x，则函数的定义域为[0，＋∞)，‎ 并且在定义域上为增函数．‎ 由f(2－a)＞f(a－1)，得10分 解得1≤a＜.‎ ‎∴a的取值范围为.12分 ‎10．已知函数f(x)＝x2＋(‎2a－1)x－3，‎ ‎(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；‎ ‎(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．‎ ‎[解]　(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，‎ 对称轴x＝－∈[－2,3]，2分 ‎∴f(x)min＝f＝－－3＝－，‎ f(x)max＝f(3)＝15，‎ ‎∴值域为.5分 ‎(2)对称轴为x＝－.‎ ‎①当－≤1，即a≥－时，‎ f(x)max＝f(3)＝‎6a＋3，‎ ‎∴6a＋3＝1，即a＝－满足题意；8分 ‎②当－＞1，即a＜－时，‎ f(x)max＝f(－1)＝－‎2a－1，‎ ‎∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．‎ 综上可知a＝－或－1. 12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·江西九江一中期中)函数f(x)＝(m2－m－1)x‎4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，ab＜0，则f(a)＋f(b)的值(　　) ‎ ‎【导学号：01772043】‎ A．恒大于0 B.恒小于0‎ C．等于0 D.无法判断 A　[∵f(x)＝(m2－m－1)x‎4m9－m5－1是幂函数，‎ ‎∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.‎ 当m＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．‎ 当m＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意，‎ ‎∴f(x)＝x2 015.‎ ‎∴幂函数f(x)＝x2 015是定义域R上的奇函数，且是增函数．‎ 又∵a，b∈R，且a＋b＞0，∴a＞－b，‎ 又ab＜0，不妨设b＜0，‎ 则a＞－b＞0，∴f(a)＞f(－b)＞0，‎ 又f(－b)＝－f(b)，‎ ‎∴f(a)＞－f(b)，∴f(a)＋f(b)＞0.故选A.]‎ ‎2．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．‎ 　[由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，‎ 当x∈[2,3]时，‎ y＝x2－5x＋4∈，‎ 故当m∈时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的图象有两个交点．]‎ ‎3．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.‎ ‎(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；‎ ‎(2)在(1)的条件下，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．‎ ‎[解]　(1)由题意知 解得2分 所以f(x)＝x2＋2x＋1，‎ 由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].6分 ‎(2)由题意知，x2＋2x＋1＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k＜x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立，8分 令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，‎ 由g(x)＝2＋知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k＜1，‎ 即k的取值范围是(－∞，1).12分