2017-2018学年河北省武邑中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年河北省武邑中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年河北省武邑中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．函数在上的最大值和最小值分别是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题设知y′=6x2−6x−12，‎ 令y′>0，解得x>2，或x<−1，‎ 故函数y=2x3−3x2−12x+5在[0,2]上减,在[2,3]上增，‎ 当x=0，y=5；当x=3，y=−4；当x=2，y=−15.‎ 由此得函数y=2x3−3x2−12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是5，−15；‎ 故选B.‎ ‎2．设，则的值分别是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据随机变量符合二项分布，由二项分布的期望和方差的公式，及条件中所给的期望和方差的值，列出期望和方差的关系式，得到关于和的方程组，解方程组即可.‎ 详解：因为随机变量服从二项分布且，‎ 所以，，‎ 两式相除可得，所以，故选D.‎ 点睛：本题考查了二项分布与次独立重复试验的模型，考查了二项分布的期望与方差的公式，本题解答的关键在于通过期望、方差的公式列出方程组，试题比较基础，属于基础题.‎ ‎3．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任取2件，则出现次品的概率为（ ）‎ A. B. C. D. 以上都不对 ‎【答案】C ‎【解析】分析：出现次品的对立事件是取到两件正品，由此利用对立事件的概率计算公式，即可求出其中出现次品的概率.‎ 详解：因为一批产品共件，其中件次品，件合格品，‎ 所以从这批产品中任意抽件，基本事件总数，‎ 其中出现次品的对立事件是取到两件正品，‎ 所以出现次品的概率为，故选C.‎ 点睛：本题考查了古典概型概率的求解，试题比较基础，属于基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎4．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）‎ A. 1440种 B. 960种 C. 720种 D. 480种 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：可分3步．‎ 第一步，排两端，∵从5名志愿者中选2名有种排法，‎ 第二步，∵2位老人相邻，把2个老人看成整体，与剩下的3名志愿者全排列，有种排法 第三步，2名老人之间的排列，有种排法 最后，三步方法数相乘，共有20×24×2=960种排法 ‎【考点】排列、组合及简单计数问题 ‎5．设，则函数单调递增区间为（ ）‎ A. B. 和 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先求出函数的定义域，在求导数，令导数大于，解得的范围，即为函数的单调递增区间.‎ 详解：函数的定义域为，‎ 则，‎ 令，因为，解得，‎ 所以函数的单调递增区间为，故选C.‎ 点睛：本题考查了利用导数求解函数的单调区间，解答的易错点是忘记函数的定义域导致错解，着重考查学生的推理与运算能力.‎ ‎6．甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）‎ A. 甲类水果的平均质量 B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小 D. 乙类水果的质量服从正态分布的参数 ‎【答案】D ‎【解析】由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故A，B，C，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故D 不正确．故选：D．‎ ‎7．如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形是正方形， 分别是的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：‎ ‎①直线与直线是异面直线；②直线与直线异面 ‎③直线平面；④平面平面 其中正确的有（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：把平面展开图折叠后得到立体图形，根据异面直线的概念即可判定①②，再利用线面平行的判定定理，由，可证得平面；根据面面垂直的判定定理，即可得到④不正确.‎ ‎ 详解：如图所示，‎ ‎ ①中，连接，则分别是的中点，所以，‎ 所以，所以共面，所以直线与直线是共面直线，‎ 所以①是错误的；‎ ‎②因为平面平面平面，所以直线与直线是异面直线，所以是正确的；‎ ‎③由①知，因为平面平面，所以平面，所以是正确的；‎ ‎④由于不能推出线面垂直，所以平面平面是不成立的，‎ 综上只有②③是正确的，故选B.‎ ‎ ‎ ‎ 点睛：本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：‎ ‎（1）对于异面直线的判定——要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；‎ ‎ （2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.‎ ‎8．侧棱长都都相等的四棱锥中，下列结论正确的有（ ）个 ‎①为正四棱锥；②各侧棱与底面所成角都相等；‎ ‎③各侧面与底面夹角都相等；④四边形可能为直角梯形 ‎（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：紧扣正四棱锥的概念，即可判定命题的真假.‎ ‎ 详解：由题意，当四棱锥的底面为一个矩形时，‎ 设且底面，此时可得，‎ 而四棱锥此时不是正四棱锥，所以①不正确的，同时各个侧面与底面所成的角也不相等，所以③不正确的；‎ 因为四棱锥满足，所以顶点在底面内的射影为底面的外心，而直角梯形没有外接圆，所以底面不可能是直角梯形，所以④不正确；‎ 设四棱锥满足，所以顶点在底面内的射影为底面的外心，所以各条测量与底面的正弦值都相等，所以②正确的，‎ 综上，故选A.‎ ‎ 点睛：本题主要考查了正四棱锥的概念，我们把底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面正方形的中心的四棱锥，叫做正四棱锥，其中紧扣正棱锥的概念是解答的关键.‎ ‎9．由曲线与直线， 所围成的封闭图形面积为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意作出所围成的图形，如图所示，‎ 图中从左至右三个交点分别为，所以题中所求面积为 ，故选D ‎10．如图，在矩形内：记抛物线与直线围成的区域为（图中阴影部分），随机往矩形内投一点，则点落在区域内的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由x2＋1＝x＋1得x＝0，x＝1，所以 [(x＋1)－(x2＋1)]dx＝ ＝，∴ ，选B.‎ 点睛：‎ ‎(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．‎ ‎11．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）‎ A. 函数有极大值和极小值 B. 函数有极大值和极小值 C. 函数有极大值和极小值 D. 函数有极大值和极小值 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题图可知，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．由此可以得到函数在处取得极大值，在处取得极小值．故选D.‎ ‎【考点】1、利用导数判断函数的单调性；2、利用导数求函数的极值.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查在的根左右两侧的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值.‎ ‎12．若，则在中，正数的个数是（ ）‎ A. 16 B. 72 C. 86 D. 100‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由正弦函数图像的对称性可知，在周期内有,，，…，中共有7个周期，所以的值有14个,所以正数个数为个 ‎【考点】正弦函数图像及对称性，周期性 二、填空题 ‎13．已知函数在点处的导数为2，则__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由得 ，函数在点处的导数为2，所以 ，故答案为.‎ ‎14．已知直线与曲线相切，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：设处切点，根据导数的几何意义，且切点在切线上，列出关于和的方程组，求出方程组，即可得到的值.‎ 详解：设切点坐标为，‎ 因为曲线，所以，‎ 因为与曲线相切，则，………(1)‎ 又切点在切线上，所以，……….(2)‎ 由（1）（2）可得，所以的值为.‎ 点睛：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线在某点处的导数值即为该点处的切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切线在切线上，列出方程组求解，属于中档试题.‎ ‎15．若在上是减函数，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意可得，在上，恒成立，得到，所以只要满足，所以求这个最小值即可求解.‎ 详解：由已知得，在上，，‎ 所以，所以，‎ 因为上，，所以，‎ 所以实数的取值范围是.‎ 点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，本题的解答中把函数的单调性转化为恒成立，运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，有的正负，研究函数的单调区间.‎ ‎16．设随机变量，其中，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：随机变量，根据曲线的对称性得到，根据概率的性质得到结果.‎ 详解：由题意，‎ 所以，‎ 因为随机变量，所以曲线关于对称，‎ 所以.‎ 点睛：本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，其中利用正态分布曲线的对称性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.‎ 三、解答题 ‎17．设函数，其中.已知在处取得极值.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求在点处的切线方程.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】分析：求出原函数的导数，根据在处取得极值，得到，由此求得的值值，则函数的解析式可求；‎ ‎（2）由（1）得到，求得，所以在点处的切线方程可求.‎ 详解：（1）.‎ 因为在处取得极值，所以，‎ 解得，所以.‎ ‎（2）点在上，由（1）可知，‎ ‎，所以切线方程为.‎ 点睛：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解答此题需要注意的是函数的极值点处的导数等于零，但导数为零的点不一定是极值点，着重考查了推理与运算能力，试题属于基础题.‎ ‎18．已知复数，求的最大值和最小值.‎ ‎【答案】最大值，最小值.‎ ‎【解析】试题分析：先根据复数乘法法则，再根据复数的模的定义将化为三角函数形式，最后根据三角函数有界性确定最值.‎ 试题解析：‎ 故的最大值为最小值为.‎ ‎19．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，是的中点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)由三垂线定理证得,再根据线面垂直的判定定理判断出面，即可得到面面.(2)先证明≌,可得为所求二面角的平面角,利用余弦定理求出二面角的余弦值即可.‎ 试题解析:‎ ‎ (1)证明：面，，‎ ‎∴由三垂线定理得：.‎ 因而，与面内两条相交直线都垂直，‎ 面，又面，‎ ‎∴面面.‎ ‎(2)作，垂足为，连接.‎ 在中，，又，≌,‎ ‎，故为所求二面角的平面角 ‎，由三垂线定理，得,‎ 在中，，所以.‎ 在等腰三角形中，,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故二面角余弦值为.‎ ‎20．已知二次函数，直线，直线（其中为常数，若直线与函数的图象以及轴与函数的图象所围成的封闭图形（阴影部分），如图所示.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求阴影面积关于的函数的解析式.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）由图可知二次函数的图象过点，并且的最大值为16，可求得二次函数的解析式。（2）由（1）知，函数的解析式为 ，求出二次函数与（其中为常数）的交点，所以阴影部分面积要分两段积分，分[0,1]和[1,2]积分可求得面积。‎ 试题解析：（1）由图可知二次函数的图象过点，并且的最大值为16，‎ 则.‎ ‎（2）由（1）知，函数的解析式为 ，‎ 由，所以，‎ 因为，所以直线与的图象位于左侧的交点坐标为，‎ 由定积分的几何意义知：‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎21．某公司在新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择.‎ 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖.规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则需进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则不能获得奖金.‎ 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元.‎ ‎（1）求员工选择方案甲进行抽奖所获奖金（元）的分布列.‎ ‎（2）试比较某员工选择方案甲与选择方案乙进行抽奖，哪个方案更划算？‎ ‎（3）已知公司共有100人在活动中选择了方案甲，试估计这些员工活动结束后没有获奖的人数.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)28人.‎ ‎【解析】分析：（1）由题意知可能的取值为，分别求出相应的概率，由此能求出某员工选择方案甲进行抽奖的分布列；‎ ‎（2）求出方案甲抽奖所获奖金的均值，选择方案乙进行抽奖次数，从而抽奖所获奖金的均值，由此得到选择方案甲较划算；‎ ‎（3）选择方案甲不获奖的概率为，这些员工不获奖的人数，由此能求出这些员工不获奖的人数.‎ 详解：（1）可能的取值为0,500,1000.‎ ‎,, ‎ 所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金（元）的分布列为 ‎（2）由（1）知，方案甲抽奖所获奖金的均值，‎ 若选择方案乙进行抽奖中奖次数，则，‎ 抽奖所获奖金的均值，故选择方案甲较划算.‎ ‎（3）由（1）知选择方案甲不获奖的概率为，这些员工不获奖的人数为，‎ ‎，故这些员工不获奖的人数约为28人.‎ 点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求法及应用，属于中档试题，解答时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用，求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，点到两点的距离之和等于4，设点的轨迹为.‎ ‎（1）写出的方程；‎ ‎（2）设直线与交于两点，为何值时？此时的值是多少？‎ ‎【答案】(1)；(2)当时，，此时.‎ ‎【解析】分析：（1）设，由椭圆定义可知，点的轨迹是椭圆，从而写出方程即可；‎ ‎（2）设，将直线的方程代入椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，再结合根与系数的关系及向量垂直的条件，最后利用弦长公式即可求得此时的值，从而解决问题.‎ 详解：（1）设，由椭圆定义可知，点的轨迹是以为焦点，以长半轴为2的椭圆，‎ ‎∴.‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（2）联立，消去，整理得：，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 若，则，‎ 解得.‎ ‎∴.‎ ‎ .‎ 故当时，，此时.‎ 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎