专题11-3 变量间的相关性（讲）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测

专题11-3 变量间的相关性（讲）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测

‎ ‎ ‎2018年高考数学讲练测【新课标版理】【讲】第十一章 统计，统计案例 第03节 变量间的相关性 ‎【考纲解读】‎ 考　点 考纲内容 五年统计 分析预测 变量间的相关关系 (1) 会作两个有关联变量 的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系.‎ (2) 了解最小二乘法的思 想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.‎ ‎2017课标Ⅱ,理18‎ ‎2016课标Ⅲ,理18‎ ‎2015课标I,理19‎ ‎2014课标Ⅱ,理19‎ ‎1.主要考查变量间相关关系与其他知识的综合，联系实际.‎ ‎【知识清单】‎ 一．相关关系的判断 ‎ ‎1．变量间的相关关系 ‎(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．‎ ‎(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．‎ ‎2．相关系数的计算公式 若，则两变量相关性很强.若，则两变量相关性一般，否则即说无相关性.‎ 对点练习：‎ 观察下列各图形．‎ 其中两个变量x、y具有相关关系的图是(　　)‎ A．(1)(2)　　　　　 B．(1)(4)‎ C．(3)(4) D．(2)(3)‎ ‎【答案】A ‎【解析】由变量相关性定义，如果散点大部分分布在一条直线附近就说两变量具有相关性，通过观察(1)、(2)符合．故选A.‎ 二．回归分析与线性回归方程 ‎1.线性相关关系与回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．‎ ‎2.回归方程 ‎①最小二乘法：求回归直线使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．‎ ②回归方程：方程是两个具有线性相关关系的变量的一组数据的回归方程，其中是待定系数.‎ ‎ ‎ ‎3.回归分析 ‎①定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．‎ ②样本点的中心：在具有线性相关关系的数据中，，称为样本点的中心.‎ ③相关系数 a．计算公式：‎ ‎ ‎ b．当r>0时，表明两个变量正相关；‎ 当r<0时，表明两个变量负相关．‎ r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间相关性越弱．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．‎ 对点练习：‎ 设，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是（ ）‎ ‎（A）和的相关系数为直线的斜率 ‎（B）和的相关系数在0到1之间 ‎（C）当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同 ‎（D）直线过点 ‎【答案】D ‎【考点深度剖析】‎ ‎ 本节主要考查学生在应用问题中构造抽样模型、识别模型、选择适当的抽样方法抽取样本.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1相关关系的判断 ‎ ‎【1-1】【2017届湖南益阳市高三9月调研数学】某公司2010～2015年的年利润（单位：百万元）与年广告支出（单位：百万元）的统计资料如下表所示：‎ 根据统计资料，则 A．利润中位数是16，与有正线性相关关系 B．利润中位数是17，与有正线性相关关系 C．利润中位数是17，与有负线性相关关系 D．利润中位数是18，与有负线性相关关系 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：6个数中间两个为16,18，平均数为17，即为中位数，又增加时，也跟着增加，因此是正相关．故选B．‎ ‎【1-2】观察下列关于两个变量和的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次为（ ）.‎ A．正相关、负相关、不相关 B．负相关、不相关、正相关 C．负相关、正相关、不相关 D．正相关、不相关、负相关 ‎【答案】D ‎【领悟技法】‎ 相关关系与函数关系的异同点：‎ ‎(1)相同点：两者均是指两个变量的关系．‎ ‎(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．‎ ‎②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2018届河北省石家庄市高三数学一模】下列说法错误的是( )‎ A. 回归直线过样本点的中心 B. 两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1‎ C. 对分类变量与,随机变量的观测值越大,则判断“与有关系”的把握程度越小 D. 在回归直线方程中,当解释变量每增加1个单位时,预报变量平均增加0.2个单位 ‎【答案】C ‎【解析】根据相关定义分析知A、B、D正确；C中对分类变量与的随机变量的观测值来说， 越大，“与有关系”的招把握程度越大，故C不正确，故选C．‎ ‎【变式二】【2018届池州市联考】对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得 到如下折线图。下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（ ）个。‎ ‎①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分；‎ ‎②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；‎ ‎③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；‎ ‎④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分。‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】C 考点2 回归分析与线性回归方程 ‎【2-1】【广西柳州市2018届高三毕业班上学期摸底联考】为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如图统计数据表：‎ 收入（万元）‎ ‎8.3‎ ‎8.5‎ ‎9.9‎ ‎11.4‎ ‎11.9‎ 支出（万元）‎ ‎6.3‎ ‎7.4‎ ‎8.1‎ ‎8.5‎ ‎9.7‎ 据上表得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭的年支出为（ ）‎ A. 11.4万元 B. 11.8万元 C. 12.0万元 D. 12.2万元 ‎【答案】B ‎【解析】根据表格可求出， ，又因为，代入回归直线方程可求出，即可得到回归直线方程，当15时， 。 故选B ‎【2-2】改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2001到2005年五年间每年考入大学的人数，为了方便计算，2001年编号为1,2002年编号为2，……，2005年编号为5，数据如下：‎ 年份（x）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 人数（y）‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎（1）从这5年中随机抽取两年，求考入大学的人数至少有年多于10人的概率.‎ ‎（2）根据这年的数据，利用最小二乘法求出关于的回归方程，并计算第年的估计值。‎ 参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式 ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.用最小二乘法求回归直线方程的步骤 ‎2. 回归方程的应用 利用回归方程可以对总体进行预测估计,回归方程将部分观测值所反映的规律进行延伸,使我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制,依据自变量的取值估计和预报因变量的值,在现实生活中有广泛的应用.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2015高考北京，文14】高三年级位学生参加期末考试，某班位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．‎ 从这次考试成绩看，‎ ①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ；‎ ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ．‎ ‎【答案】乙；数学 ‎【解析】①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙.②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学.‎ ‎【变式二】【山西实验中学、南海桂城中学2018届高三上学期联考】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位:千元)对年销售量（单位: )和年利润（单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ ‎ ‎ 表中.‎ ‎（1）根据散点图判断与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；‎ ‎（3）已知这种产品的利润与的的关系为.根据（2）的结果回答下列问题：‎ ‎（ⅰ）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ ‎（ⅱ）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？‎ 附:对于一组数据，其回归直线的的斜率和截距的最小二乘估计为.‎ ‎【答案】（1）适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；（2）；‎ ‎（3）①年销售量的预报值，年利润的预报值.②年宣传费为46.24千元.‎ ‎（3）①由（2）知，当时，年销售量的预报值,‎ 年利润的预报值.‎ ‎②根据（2）的结果知，年利润的预报值.‎ 所以当,即时， 取得最大值.‎ 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.‎ 易错试题常警惕 易错典例：【2014高考全国2第19题】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：‎ 年份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ 年份代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 人均纯收入y ‎2.9‎ ‎3.3‎ ‎3.6‎ ‎4.4‎ ‎4.8‎ ‎5.2‎ ‎5.9‎ ‎（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎，‎ 易错分析：本题的易错点是第（Ⅰ）问计算错误，第（Ⅱ）问在2007至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，不知道如何回答.‎ 温馨提醒：这部分内容，主要考查学生的数据处理能力、分析问题解决问题的能力、回归分析的思想方法.除了要熟练掌握基本的方法、步骤，更重要的是计算要细心，在平时的学习中，要克服对计算器的依赖，逐步认真计算，不断培养提高自身的运算能力.‎ 四、学科素养提升之思想方法篇 规范答题 求线性回归方程的方法技巧 ‎ 【典例】某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：‎ 年份 ‎2006‎ ‎2008‎ ‎2010‎ ‎2012‎ ‎2014‎ 需求量/万吨 ‎236‎ ‎246‎ ‎257‎ ‎276‎ ‎286‎ (1) 利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程＝x＋；‎ ‎(2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2016年的粮食需求量．‎ ‎ 【解析】(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将数据处理如下：‎ 年份－2010‎ ‎－4‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ 需求－257‎ ‎－21‎ ‎－11‎ ‎0‎ ‎19‎ ‎29‎ 对处理的数据，容易算得＝0，＝3.2，(4分)‎ ＝＝＝6.5，‎ ＝－＝3.2.(6分)‎ 由上述计算结果，知所求线性回归方程为 －257＝6.5(x－2010)＋3.2，‎ 即＝6.5(x－2010)＋260.2.(8分)‎ (2) 利用所求得的线性回归方程，可预测2016年的粮食需求量大约为6.5×(2016－2010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．(12分)‎ ‎ 满分心得　求线性回归方程时，重点考查的是计算能力．若本题用一般法去解，计算更繁琐 (如年份、需求量，不做如上处理)，所以平时训练时遇到数据较大的题目时，要考虑有没有更简便的方法解决．‎ ‎ ‎