2017-2018学年广东省深圳市高级中学高二上学期期中考试 数学（理）

2017-2018学年广东省深圳市高级中学高二上学期期中考试 数学（理）

深圳市高级中学2017－2018学年第一学期期中测试 高二理科数学 命题人：黄克之 审题人：环伟城 本试卷由两部分组成。‎ 第一部分：高二数学第一学期前的基础知识和能力考查，共64分；‎ 选择题包含第3题、第4题、第5题、第7题、第8题、第11题共30分；‎ 填空题包含第15题、第16题共10分；‎ 解答题包含18题、第19题共24分；‎ 第二部分：高二数学第一学期的基础知识和能力考查，共86分；‎ 选择题包含第1题、第2题、第6题、第9题、第10题、第12题共30分；‎ 填空题包含第13题、第14题共10分；‎ 解答题包含第17题、第20题、第21题、第22题共46分。‎ 全卷共22题，共计150分。考试时间为120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。‎ ‎2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。‎ ‎3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。‎ 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.‎ ‎1. 已知命题p：“，是偶数”，则为（ ）‎ A． ，不是偶数 B． ，是偶数 C． ，不是偶数 D． ，不是偶数 ‎2．若方程表示的是焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3． 在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．函数是定义在上的偶函数，且，则下列不等式一定正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎5．x，y满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A．4 B． C．5 D．7 ‎ ‎6．已知抛物线截直线的线段长度为2p，则m的值是（ ）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎7．使函数为奇函数，且在上是减函数的的一个值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8．数列中，是数列的前n项和，若对于任意的正整数n，成等差数列，则（ ）‎ A．0 B．50 C．100 D．200‎ ‎9.双曲线，过焦点的弦AB长为m，另一焦点为，则的周长是（ ）‎ A．4a B． C． D．‎ ‎10. 如图，在正方体中，棱长为1， 分别为与的中点， 到平面的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．关于x的方程有一个根是1，则一定是（ ）‎ A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 ‎ ‎12．设，椭圆的两焦点分别为，椭圆上有一点P，若，满足条件的点P有（ ）‎ A．0个 B．0个或2个 C．2个或4个 D．0个或2个或4个 二．填空题：共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知集合，集合，若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________.‎ ‎14．与双曲线有相同的渐近线且过点的双曲线的标准方程是________________.‎ ‎15．已知，则________.‎ ‎16．已知等比数列的公比为，且数列第11项的平方等于第6项，若存在正整数k使得，则k的取值范围是________.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）如图，已知四边形AEFB和四边形EFCD是两个矩形，且，，平面平面，G为EF的中点，连接AG、CG和AC.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）求直线AB和平面AGC所成角的正弦值.‎ ‎18．（本小题满分12分）已知数列满足 ‎（1）证明是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和.‎ ‎19．（本小题满分12分）中，，且最长边的边长为1，求：‎ ‎（1）角C的大小；‎ ‎（2）最短边的边长.‎ ‎20．（本小题满分12分）已知椭圆，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称.‎ ‎21．（本小题满分12分）已知是正三棱柱，D是AC中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求二面角的度数.‎ ‎22．（本小题满分12分）已知圆：和点，动圆经过点且与圆相切，圆心的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）点是曲线与轴正半轴的交点，点，在曲线上，若直线，的斜率，满足，求△面积的最大值．‎ 理科数学答案 一．选择题：‎ ‎1．C ‎2．C 解得.‎ ‎3．B ‎ ‎4．A ‎5．C 如图所示 ‎6． D 直线经过焦点，所以，所以，可得AB中点横坐标为，即为焦点，所以直线垂直于x轴，.‎ ‎7．B 函数，由于 是奇函数，所以，由于上是减函数，所以时满足条件，所以.‎ ‎8．B ，令，得. 时，，因为，得，所以.‎ ‎9．C 设，则，，，所以.‎ ‎10．B 点到平面的距离即点到平面的距离,且,,设到平面的距离d,由三棱锥- 的体积可得, ,即,解得d=.‎ ‎ 11．D 将1代入方程，得，，将代入且整理，得到，得，即，得，所以是等腰三角形.‎ ‎12．C 命题等价于椭圆和圆的交点个数. 令，分别得到，因为，所以有2个交点或者4个交点，即P有2个或4个.‎ 二．填空题：‎ ‎13． ，是的充分不必要条件，则是A的真子集，所以.‎ ‎14． 令，带入得，所以标准方程是.‎ ‎15． .‎ ‎16． ，，所以 ，所以，所以，所以.‎ 三、解答题： ‎ ‎17．设，分别以为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则 ‎（1），‎ 所以.‎ ‎（2），设平面AGC的法向量为，则，得.‎ 设和的夹角为，则，所以AB和平面AGC夹角的正弦是.‎ ‎18．（1），，所以是以为首项，3为公比的等比数列，，所以.‎ ‎ （2）.‎ ‎19．（1）‎ ‎，得.‎ ‎（2）因为，且. 所以，所以最短边为b. ，.‎ ‎20．设直线与互相垂直，且交椭圆于两点，‎ 联立，得，且该方程必有两个不相等的实数根，则，得. 若A、B关于对称，所以的中点在上，由韦达定理得，，所以，得，所以.‎ ‎21．（1）连接交于点E，连接ED.‎ 因为是矩形，所以E为中点，所以为的中位线 所以∥，所以∥平面 ‎（2）设，如图建立空间直角坐标系Oxyz，，，‎ 则，‎ 得 ‎，‎ 设 得，平面的法向量为，设交角为，则，所以，二面角为 ‎22．（1）圆：的圆心为，半径为 点在圆内，因为动圆经过点且与圆相切 所以动圆与圆内切，设动圆的半径为，则 因为动圆经过点，所以，‎ 所以曲线是以，为焦点，长轴长为的椭圆 由，，得，所以曲线的方程为 ‎ ‎（2）直线的斜率为0时，不合题意，‎ 设，，直线：，‎ 联立，得，‎ ‎，‎ 又，知 ‎ ‎ 代入得 又，化简得 ‎ 解得，故直线过定点 ‎ 由，解得 ‎ ‎ ‎（当且仅当时取等号）．综上，△面积的最大值为 ‎