数学文卷·2018届河北省石家庄市高三第一次教学质量检测（2018

数学文卷·2018届河北省石家庄市高三第一次教学质量检测（2018

石家庄市2018届高中毕业班教学质量检测（一）‎ 文科数学 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 若复数满足，其中为虚数单位，则共轭复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知命题，，则是成立的（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 已知某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是（ ）‎ A．合格产品少于8件 B．合格产品多于8件 ‎ C.合格产品正好是8件 D．合格产品可能是8件 ‎5. 在中，点在边上，且，设，，则 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 当时，执行如图所示的程序框图，则输出的值为 （ ）‎ A． 9 B． 15 C. 31 D．63‎ ‎7. 若，函数的图像向右平移个单位长度后与函数图像重合，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 已知奇函数，当时单调递增，且，若，则的取值范围为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎9. 如图，格纸上的小正方形的边长为1，粗线条表示的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的四个面中面积最小是 （ ）‎ A． B． C. 2 D．‎ ‎10. 双曲线 的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线的右支分别交于两点，若点平分线段，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C. 2 D．‎ ‎11. 已知是函数的所有零点之和，则的值为（ ）‎ A．3 B． 6 C. 9 D．12 ‎ ‎12. 定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数 的取值范围是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.抛物线的准线方程是 ．‎ ‎14. 若满足约束条件，则的最大值是 ．‎ ‎15.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，，则此球的表面积等于 ．‎ ‎16. 如图所示，平面四边形的对角线交点位于四边形的内部，，，，，当变化时，对角线的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列是各项均为正数的等比数列，若，.‎ ‎（1）设，求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎18. 某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：‎ ‎（1）求的值及这50名同学数学成绩的平均数；‎ ‎（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在的同学中选出3位作为代表进行座谈，若已知成在的同学中男女比例为2：1，求至少有一名女生参加座谈的概率.‎ ‎19. 已知四棱锥，底面为正方形，且底面，过的平面与侧面的交线为，且满足（表示的面积）.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）当时，求点到平面的距离.‎ ‎20. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点.‎ ‎（1）若以为直径的动圆内切于圆，求椭圆的长轴长；‎ ‎（2）当时，问在轴上是否存在定点，使得为定值？并说明理由.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，且，求证：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，求.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的图像与轴没有交点，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎ CBBDB CBACB DA 二、填空题 ‎ ‎ 13. 14. ‎ ‎15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解: （Ⅰ）由数列是各项均为正数的等比数列 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 则 ①‎ ②‎ ①-②‎ ‎18. 解：（Ⅰ）由题 解得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可知，成绩在的同学有（人）， ‎ 由比例可知男生4人，女生2人，记男生分别为A、B、C、D；女生分别为x、y，‎ 则从6名同学中选出3人的所有可能如下：ABC、ABD、ABx、ABy、ACD、ACx、ACy、ADx、ADy、BCD、BCx、BCy、BDx、BDy、CDx、CDy、Axy、Bxy、Cxy、Dxy——共20种 其中不含女生的有4种ABC、ABD、ACD、BCD ‎ 设：至少有一名女生参加座谈为事件A 则 ‎ ‎19. （Ⅰ）证明：由题知四边形ABCD为正方形 ‎∴AB//CD，又平面PCD，AB平面PCD ‎∴AB//平面PCD ‎ 又AB平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD=EF ‎∴EF // AB，又AB//CD ‎∴EF //CD， ‎ 由S△PEF：S四边形CDEF=1:3知E、F分别为PC、PD的中点 连接BD交AC与G，则G为BD中点，‎ 在△PBD中FG为中位线，∴ EG//PB ‎ ‎∵ EG//PB，EG平面ACE，PB平面ACE ‎∴PB//平面ACE. ‎ ‎（Ⅱ）∵PA=2，AD=AB=1， ∴, ‎ ‎∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA=A，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD 在Rt△CDE中， ‎ 在△ACE中由余弦定理知 ‎∴，∴S△ACE=‎ 设点F到平面ACE的距离为，则 ‎ 由DG⊥AC，DG⊥PA，AC∩PA=A，得DG⊥平面PAC，且 ‎∵E为PD中点，∴E到平面ACF的距离为 ‎ 又F为PC中点，∴S△ACF S△ACP ，∴‎ 由知 ‎∴点F到平面ACE的距离为. ‎ ‎20. 解：（Ⅰ）设的中点为M，在三角形中，由中位线得：‎ ‎ ‎ 当两个圆相内切时 ，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即 所以，椭圆长轴长为6. ‎ ‎（Ⅱ）由已知，，所以椭圆方程为 ‎ 当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为：‎ 设 由得 恒成立 ‎ ‎ ‎ ‎ 设 ‎ ‎ 当 即时为定值 ‎ 当直线AB斜率不存在时，不妨设 当时，为定值 综上：在X轴上存在定点，‎ 使得为定值 ‎ ‎21. 解：（1）由已知条件，，当时，，‎ ‎，当时，，所以所求切线方程为 ‎ ‎（2）由已知条件可得有两个相异实根，‎ 令，则，‎ ‎1）若，则，单调递增，不可能有两根； ‎ ‎2）若，‎ 令得，可知在上单调递增，在上单调递减，‎ 令解得，‎ 由有，‎ 由有 从而时函数有两个极值点 ‎ 当变化时，，的变化情况如下表 单调递减 单调递增 单调递减 因为，所以，在区间上单调递增，‎ ‎ ‎ 另解：由已知可得，则，令，‎ 则，可知函数在单调递增，在单调递减，‎ 若有两个根，则可得， ‎ 当时， ，‎ 所以在区间上单调递增，‎ 所以 ‎ ‎22. （Ⅰ）由消去得：， ‎ 把代入，得， ‎ 所以曲线C的极坐标方程为. ‎ ‎（Ⅱ）. ‎ 即. ‎ 圆C的圆心C（0，-1）到直线的距离, ‎ 所以 ‎ ‎23.解：（Ⅰ）时，不等式可化为 或， ‎ 即或. ‎ ‎（Ⅱ）当时，，要使函数与轴无交点，‎ 只需即. ‎ 当时，，函数与轴有交点. ‎ 当时，，要使函数与轴无交点，‎ 只需此时a无解. ‎ 综上可知，当时，函数与轴无交点 ‎2017-2018质检一文科答案 一、选择题 ‎ CBBDB CBACB DA 二、填空题 ‎ ‎ 13. 14. ‎ ‎15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解: （Ⅰ）由数列是各项均为正数的等比数列 ‎ ……… 3分 ‎ ……… 5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 则 ①‎ ②……… 7分 ①-②‎ ‎18. 解：（Ⅰ）由题 解得 ……… 3分 ‎ ‎ ‎ ………6分 ‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可知，成绩在的同学有（人）， ………7分 由比例可知男生4人，女生2人，记男生分别为A、B、C、D；女生分别为x、y，‎ 则从6名同学中选出3人的所有可能如下：ABC、ABD、ABx、ABy、ACD、ACx、ACy、ADx、ADy、BCD、BCx、BCy、BDx、BDy、CDx、CDy、Axy、Bxy、Cxy、Dxy——共20种 其中不含女生的有4种ABC、ABD、ACD、BCD ………10分 设：至少有一名女生参加座谈为事件A 则 ………12分 ‎19. （Ⅰ）证明：由题知四边形ABCD为正方形 ‎∴AB//CD，又平面PCD，AB平面PCD ‎∴AB//平面PCD ………………1分 又AB平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD=EF ‎∴EF // AB，又AB//CD ‎ ∴EF //CD， ………………3分 由S△PEF：S四边形CDEF=1:3知E、F分别为PC、PD的中点 ‎ 连接BD交AC与G，则G为BD中点，‎ 在△PBD中FG为中位线，∴ EG//PB ………………5分 ‎ ∵ EG//PB，EG平面ACE，PB平面ACE ‎ ∴PB//平面ACE. ………………6分 ‎（Ⅱ）∵PA=2，AD=AB=1， ∴, ‎ ‎ ∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA=A，‎ ‎ ∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD ‎ 在Rt△CDE中， ………………7分 在△ACE中由余弦定理知 ‎∴，∴S△ACE=‎ 设点F到平面ACE的距离为，则 ………………9分 ‎ 由DG⊥AC，DG⊥PA，AC∩PA=A，得DG⊥平面PAC，且 ‎ ∵E为PD中点，∴E到平面ACF的距离为 ‎ 又F为PC中点，∴S△ACF S△ACP ，∴…………11分 由知 ‎∴点F到平面ACE的距离为. ………………12分 ‎20. ‎ 解：（Ⅰ）设的中点为M，在三角形中，由中位线得：‎ ‎ ………………2分 ‎ 当两个圆相内切时 ，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即 所以，椭圆长轴长为6. ………………4分 ‎（Ⅱ）由已知，，所以椭圆方程为 ‎ ‎………………5分 当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为：‎ 设 由得 恒成立 ‎ ‎ ………………7分 ‎ 设 ‎ ………………9分 当 即时为定值 ………………11分 当直线AB斜率不存在时，不妨设 当时，为定值 综上：在X轴上存在定点，‎ 使得为定值 ……………… 12分 ‎21. 解：（1）由已知条件，，当时，，‎ ‎，当时，，所以所求切线方程为⋯⋯3分 ‎（2）由已知条件可得有两个相异实根，‎ 令，则，‎ ‎1）若，则，单调递增，不可能有两根； ⋯⋯5分 ‎ ‎2）若，‎ 令得，可知在上单调递增，在上单调递减，‎ 令解得，‎ 由有，‎ 由有 从而时函数有两个极值点 ⋯⋯8分 当变化时，，的变化情况如下表 单调递减 单调递增 单调递减 因为，所以，在区间上单调递增，‎ ‎⋯⋯12分 另解：由已知可得，则，令，‎ 则，可知函数在单调递增，在单调递减，‎ 若有两个根，则可得， ⋯⋯8分 当时， ，‎ 所以在区间上单调递增，‎ 所以⋯⋯12分 ‎22. （Ⅰ）由消去得：，..............................................2分 把代入，得，.........................4分 所以曲线C的极坐标方程为......................................5分 ‎（Ⅱ）.......................................................6分 即.......7分 圆C的圆心C（0，-1）到直线的距离,.....................................8分 所以.....................10分 ‎23.‎ 解：（Ⅰ）时，不等式可化为 或，..........................3分 即或............................................5分 ‎（Ⅱ）当时，，要使函数与轴无交点，‎ 只需即................................7分 当时，，函数与轴有交点............8分 当时，，要使函数与轴无交点，‎ 只需此时a无解..........................9分 综上可知，当时，函数与轴无交点...............10分